2.1 Introduksjon til differensiallikningar | Matematikk S2

Kva er differensiallikningar og løysingsomgrep.

45 min

17 oppgaver

DifferensiallikningLøysingGenerell løysingPartikulær løysing

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Fordjuping (utanfor læreplanen)

Dette stoffet høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Differensiallikningar høyrer til matematikk R2. I S2 modellerer vi eksponentiell og logistisk vekst i datasett med regresjon og vekstfaktor. Du treng det ikkje til S2-eksamen.

Kva er ei differensiallikning?

Ei differensiallikning er ei likning som inneheld ein ukjend funksjon og den deriverte. Vi vil finne funksjonen som tilfredsstiller likninga.

Eksempel: $y' = 2x$ er ei differensiallikning. Løysinga er $y = x^2 + C$ .

Differensiallikning

y = y(x)

✏️Enkel differensiallikning

Løys $y' = 3x^2$ med initialvilkår $y(0) = 5$ .

Generell løysing: Integrer begge sider.

y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C

Partikulær løysing: Bruk $y(0) = 5$ :
$5 = 0^3 + C \Rightarrow C = 5$

Svar: $y = x^3 + 5$

Bruksområde

Differensiallikningar blir brukte til å modellere:
- Folkevekst
- Radioaktivt forfall
- Temperaturendring (Newtons avkjølingslov)
- Økonomisk vekst
- Spreiing av sjukdommar

✏️Vekstmodell

Ein bakteriekultur veks med ein rate proporsjonal med storleiken. Set opp differensiallikninga.

Lat

N(t)

vere talet på bakteriar ved tid

t

"Rate proporsjonal med storleiken" tyder:
$\frac{dN}{dt} = kN$

der $k > 0$ er vekstkonstanten.

Dette er den klassiske eksponentiell vekst-modellen.

Kontroll av at $N = Ce^{kt}$ er ei løysing: $N' = C \cdot ke^{kt} = k \cdot Ce^{kt} = kN$

Svar: $\displaystyle \frac{dN}{dt} = kN$ , med løysing $N(t) = Ce^{kt}$

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Løys $y' = 4x$ .

Finn den partikulære løysinga der $y(0) = 3$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Løys $y' = e^x$ med $y(0) = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Løys $\displaystyle y' = \frac{1}{x}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Verifiser at $y = Ce^{2x}$ er løysing av $y' = 2y$ .

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Løys $y' = x + 1$ med $y(2) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Farten til ein partikkel er $v(t) = 6t - 2$ . Finn posisjon $s(t)$ viss $s(0) = 5$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Set opp differensiallikninga for radioaktivt forfall der nedbrytingsraten er proporsjonal med mengda.

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Løys $y'' = 6x$ med $y'(0) = 2$ og $y(0) = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Verifiser at $y = x^2 + Cx$ tilfredsstiller $xy' - y = x^2$ .

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Akselerasjonen til eit fallande objekt med luftmotstand kan modellerast som $a = g - kv$ . Set opp differensiallikninga for $v(t)$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn alle funksjonar $f$ slik at $f'(x) = f(x)$ og $f(0) = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ein funksjon tilfredsstiller $y' = 2xy$ og $y(0) = 1$ . Verifiser at $y = e^{x^2}$ er løysinga.

Oppsummering

Læringspunkt:
- Ei differensiallikning er ei likning som inneheld ein ukjend funksjon og den deriverte.
- Likningar av typen $y' = f(x)$ blir løyste ved direkte integrasjon: $y = \int f(x)\,dx$ .
- Den generelle løysinga inneheld ein fri konstant $C$ ; eit initialvilkår gjev ei partikulær løysing.
- Ein føreslått funksjon blir verifisert som løysing ved å setje han (og den deriverte) inn i likninga.
- Ordenen til likninga er den høgaste deriverte som inngår — $y'' = 6x$ har orden 2 og krev to vilkår.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Differensiallikning	Likning med ukjend funksjon og den deriverte
Generell løysing	Familie av løysingar med fri(e) konstant(ar)
Partikulær løysing	Éi bestemt løysing, fastlagd av initialvilkår
Orden	Høgaste deriverte i likninga
Initialvilkår	Kjend verdi, t.d. $y(0) = 3$

Viktige formlar:

y' = f(x) \implies y = \int f(x)\,dx + C

y' = ky \implies y = Ce^{kx} \quad (\text{eksponentiell vekst/nedgang})

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.