7.3 Ikkje-lineær regresjon | Matematikk S1

Eksponentiell, potens- og logaritmisk regresjon — modellval og logaritmisk transformasjon.

55 min

17 oppgaver

Eksponentiell regresjonPotensiell regresjonLogaritmisk transformasjonModellval

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Lineær regresjon

Brukes videre i

8.6Selvstendig samfunnsøkonomisk prosjekt

Når lineær regresjon ikkje er nok

Ikkje alle samanhengar er lineære. Mange fenomen i naturen og samfunnet følgjer andre mønster:
- Eksponentiell vekst: Bakterievekst, rentes rente, smittespreiing
- Potenssamanheng: Bremselengd og fart, areal og sidelengd
- Logaritmisk vekst: Lydstyrke (desibel), jordskjelvstyrke (Richter)

Dersom spreiingsplottet eller residualplottet viser at ein lineær modell ikkje passar, prøver vi ikkje-lineære modellar.

Eksponentiell regresjon

Ein eksponentiell modell har forma:
$y = a \cdot b^x \quad \text{eller} \quad y = a \cdot e^{kx}$

der $a > 0$ er startverdien og $b > 0$ (eller $k$ ) bestemmer vekstraten.

Kjenneteikn i spreiingsplottet:
- Kurva stig stadig raskare ( $b > 1$ ) eller avtek stadig saktare ( $0 < b < 1$ )
- Ser ut som ei «J-form» (vekst) eller «fallande kurve» (nedgang)

Logaritmisk transformasjon

y = a \cdot b^x

✏️Eksempel 1: Eksponentiell regresjon

Ein bakteriekultur doblar seg omtrent kvar 3. time. Talet på bakteriar vart målt:

Timar ( $x$ )	Tal ( $y$ )
0	100
3	210
6	420
9	870
12	1750

Finn ein eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

Løysing:

Transformer $y$ til $\ln y$ :

$x$	$\ln y$
0	4,605
3	5,347
6	6,040
9	6,768
12	7,467

Lineær regresjon på

(x, \ln y)

:
GeoGebra (RegLin på punktene

(x, \ln y)

\ln y = 0{,}238x + 4{,}617

Tilbake til eksponentiell form:

a = e^{4{,}617} \approx 101

b = e^{0{,}238} \approx 1{,}269

Modell:

y = 101 \cdot 1{,}269^x

Tolking: Starttalet er ca. 100 bakteriar, og talet aukar med ca. 26,9 % per time.

Kontroll: $y(3) = 101 \cdot 1{,}269^3 \approx 206$ (nær observert 210)

Svar: $y = 101 \cdot 1{,}269^x$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Eksponentiell regresjon

Datapunkt som veks med (omtrent) fast prosent per steg, og den eksponentielle regresjonsmodellen funnen med RegEksp. Samanlikn med RegLin på dei same punkta — kva for ein modell passar best?

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = {(0, 2), (1, 3.1), (2, 4.9), (3, 7.8), (4, 12.3)}
f = RegEksp(l1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Kva type samanheng (lineær, eksponentiell, potens) passar best for befolkningsvekst over tid?

Kva passar for samanhengen mellom radius og areal av ein sirkel?

Kva passar for lydstyrke (desibel) som funksjon av avstand?

📝Oppgave 2

Verdien av ein bil ( $y$ , tusen kr) som funksjon av alder ( $x$ , år):

$x$	$y$
0	350
2	270
4	210
6	160
8	125
10	95

Finn ein eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

📝Oppgave 3

Talet på brukarar ( $y$ , millionar) av ein app over tid ( $x$ , månader):

$x$	$y$
1	0,5
3	1,2
6	4,0
9	13
12	42

Vis at ein eksponentiell modell passar betre enn ein lineær. Bruk kalkulator.

Potensregresjon

Ein potensmodell har forma:
$y = a \cdot x^b$

Logaritmisk transformasjon:
$\ln y = \ln a + b \cdot \ln x$

Set vi $Y = \ln y$ og $X = \ln x$ , får vi lineær samanheng:
$Y = bX + \ln a$

Framgangsmåte:
1. Transformer begge variablane: $(\ln x, \ln y)$
2. Utfør lineær regresjon
3. Eksponenten $b$ er stigingstalet, og $a = e^{\text{konstantledd}}$

✏️Eksempel 2: Potensregresjon

Bremselengda ( $y$ , meter) som funksjon av fart ( $x$ , km/t):

$x$	$y$
30	6
50	16
70	32
90	53
110	79

Finn ein potensmodell

y = a \cdot x^b

Løysing:

Transformer til $\ln$ -verdiar:

$\ln x$	$\ln y$
3,401	1,792
3,912	2,773
4,248	3,466
4,500	3,970
4,700	4,369

Lineær regresjon på

(\ln x, \ln y)

\ln y = 1{,}99 \cdot \ln x - 4{,}99

b = 1{,}99 \approx 2

a = e^{-4{,}99} \approx 0{,}0068

Modell:

y \approx 0{,}0068 \cdot x^2

Tolking: Bremselengda er tilnærma proporsjonal med kvadratet av farten. Blir farten dobla, blir bremselengda firedobla.
Svar:

y \approx 0{,}0068 \cdot x^2

📝Oppgave 4

Perioden ( $y$ , sekund) til ein pendel som funksjon av lengda ( $l$ , meter):

$l$	$y$
0,25	1,00
0,50	1,41
1,00	2,00
1,50	2,45
2,00	2,83

Finn ein potensmodell og samanlikn med den teoretiske formelen

\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Korleis kan du visuelt avgjere om ein eksponentiell eller ein potensmodell passar best?

Kva er skilnaden mellom eksponentiell og potensvekst for store $x$ -verdiar?

📝Oppgave 6

Kroppsoverflata ( $y$ , m²) som funksjon av kroppsvekta ( $x$ , kg):

$x$	$y$
40	1,25
50	1,42
60	1,56
70	1,68
80	1,80
90	1,90
100	2,00

Bruk kalkulator til å finne den beste modellen blant lineær, eksponentiell og potens. Samanlikn

R^2

-verdiane.

Velje beste modell

Når du har fleire kandidatmodellar, bør du bruke fleire kriterium for å velje den beste:

1. $R^2$ -verdien: Høgare er betre, men ver forsiktig med overtilpassing.

2. Residualplott: Den beste modellen har residual utan systematisk mønster.

3. Fagleg rimelegheit: Vel ein modell som gir meining i konteksten.

4. Prediksjon: Sjekk at modellen gir rimelege verdiar, spesielt utanfor dataområdet.

I GeoGebra kan du bruke følgjande kommandoar for regresjonsanalyse:

- RegLin(liste) — Lineær regresjon
- RegEksp(liste) — Eksponentiell regresjon
- RegPot(liste) — Potensregresjon
- RegLog(liste) — Logaritmisk regresjon
- RegPoly(liste, grad) — Polynomregresjon

I rekneark (Excel/Google Sheets):
- Legg inn data og lag eit spreiingsplott
- Høgreklikk på dataserien → Legg til trendlinje
- Vel type (lineær, eksponentiell, polynom, potens)
- Kryss av for «Vis likning» og «Vis $R^2$ -verdi»

📝Oppgave 7

BNP per innbyggjar ( $x$ , tusen dollar) og forventa levealder ( $y$ , år) for 7 land:

$x$	$y$
2	55
5	63
10	70
20	75
30	78
40	80
60	82

Finn lineær og logaritmisk modell (

y = a + b \cdot \ln x

), og avgjer kva for ein som passar best.

📝Oppgave 8

Befolkninga i Noreg (i millionar):

År	Innbyggjarar
1900	2,24
1925	2,81
1950	3,28
1975	4,01
2000	4,49
2024	5,50

x

= år etter 1900. Finn lineær og eksponentiell modell. Kva for ein føretrekkjer du, og kvifor?

📝Oppgave 9

Følgjande data viser mengda av eit radioaktivt stoff ( $y$ , mg) etter $x$ timar:

$x$	$y$
0	100
5	71
10	50
15	35
20	25
25	18

Finn ein eksponentiell modell og bestem halveringstida.

📝Oppgave 10

Eit datasett gir følgjande $R^2$ -verdiar for ulike modellar:

- Lineær: $R^2 = 0{,}72$
- Eksponentiell: $R^2 = 0{,}68$
- Potens: $R^2 = 0{,}91$
- Andregradspolynom: $R^2 = 0{,}95$

Kva for ein modell vel du? Diskuter fordelar og ulemper med å velje modellen med høgast $R^2$ .

📝Oppgave 11

Energiforbruket ( $y$ , kWh) i ein bygning som funksjon av utetemperatur ( $x$ , °C):

$x$	$y$
$-10$	450
$-5$	380
0	300
5	230
10	170
15	120
20	90

Bruk digitale verktøy til å finne den beste modellen blant lineær, eksponentiell og potens. Tolk modellen.

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor logaritmisk transformasjon gjer ei eksponentiell kurve til ei rett linje.

Forklar tilsvarande for potensmodellen $y = a \cdot x^b$ .

Kva er fordelen med å bruke digitale verktøy framfor manuell utrekning for ikkje-lineær regresjon?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentiell regresjon: $y = a \cdot b^x$ — passar når dataene endrar seg med fast prosent per eining. Logaritmisk transformasjon ( $\ln y$ mot $x$ ) gir ei rett linje.
- Potensregresjon: $y = a \cdot x^k$ — rett linje når både $\ln y$ og $\ln x$ blir brukte. Tierlogaritmen $\lg$ kan brukast på same måte (sjå R4).
- Modellval: Samanlikn $R^2$ , men sjå òg på residualplott og om modellforma gir meining i konteksten.
- Digitale verktøy (GeoGebra, rekneark) gjer regresjonen — din jobb er å velje og vurdere modellen.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Eksponentiell modell	$y = a \cdot b^x$ — fast prosentvis endring
Potensmodell	$y = a \cdot x^k$
Logaritmisk transformasjon	Gjer kurva lineær
Modellval	$R^2$ + residual + kontekst

Viktige formlar

y = a \cdot b^x \Rightarrow \ln y = \ln a + x\ln b

y = a \cdot x^k \Rightarrow \ln y = \ln a + k\ln x

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.