6.3 Normalfordelinga | Matematikk S1

Kontinuerlege fordelingar og normalfordelinga.

60 min

23 oppgaver

NormalfordelingStandardnormalfordelingz-verdiNormalfordelingsapproksimasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Dette kapittelet høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S1 (MAT04-02). Stoffet høyrer heime i S2. Du treng det ikkje til S1-eksamen. Les det som fordjuping.

Normalfordelinga

Normalfordelinga er den viktigaste sannsynsfordelinga i statistikk. Ho skildrar mange naturlege fenomen:
- Høgd og vekt i ein befolkning
- Måleusikkerheit i eksperiment
- IQ-score og testresultat
- Tal på feil i produksjon (ved store tal)

Normalfordelinga er ei kontinuerleg fordeling, i motsetnad til binomisk fordeling som er diskret. Grafen blir kalla ei klokkeforma kurve (Gausskurve).

Normalfordeling

X

68-95-99,7-regelen

Normalfordelinga har ein svært nyttig eigenskap som gir oss ein tommelfingerregel for kor stor del av verdiane som fell innanfor ulike intervall rundt gjennomsnittet.

📜68-95-99,7-regelen (den empiriske regelen)

For ein normalfordelt variabel

X \sim N(\mu, \sigma^2)

gjeld:

$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}683 \quad (68{,}3\%)$
$P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954 \quad (95{,}4\%)$
$P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 \quad (99{,}7\%)$

Tolking:
- Ca. 68 % av verdiane ligg innanfor 1 standardavvik frå gjennomsnittet
- Ca. 95 % ligg innanfor 2 standardavvik
- Ca. 99,7 % ligg innanfor 3 standardavvik

✏️Eksempel 1: 68-95-99,7-regelen

Høgda til vaksne menn i Noreg er tilnærma normalfordelt med $\mu = 180$ cm og $\sigma = 7$ cm. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne omtrentleg del menn med høgd mellom 166 cm og 194 cm.

Løysing:

$166 = 180 - 2 \cdot 7 = \mu - 2\sigma$
$194 = 180 + 2 \cdot 7 = \mu + 2\sigma$

Intervallet $[166, 194]$ er $\mu \pm 2\sigma$ .

Ifølgje 68-95-99,7-regelen ligg ca. 95,4 % av verdiane i dette intervallet.

Svar: Omtrent 95 % av norske menn har altså høgd mellom 166 cm og 194 cm.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Normalfordelinga og 68-regelen

Tettleikskurva til standard normalfordeling

N(0, 1)

. Det skraverte arealet mellom

-1

1

er sannsynet

P(-1 \le Z \le 1) \approx 0{,}68

. Endre grensene til

\pm 2

og sjekk 95-regelen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = Normal(0, 1, x, false)
a = Integral(f, -1, 1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Vekta til nyfødde er normalfordelt med $\mu = 3{,}5$ kg og $\sigma = 0{,}5$ kg. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne delen nyfødde med vekt mellom 3,0 kg og 4,0 kg.

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Med $\mu = 180$ og $\sigma = 7$ , bruk 68-95-99,7-regelen til å finne delen menn som er over 194 cm.

Finn delen menn under 173 cm.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Ei maskin fyller flasker med brus. Volumet er normalfordelt med $\mu = 500$ ml og $\sigma = 3$ ml. Omtrent kor stor del av flaskene har mellom 494 og 506 ml?

📝Oppgave 4

IQ-score er normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ . Finn omtrentleg del av befolkninga med IQ over 130.

Standardnormalfordeling og z-score

For å berekne sannsynlegheiter nøyaktig (ikkje berre med tommelfingerregelen), standardiserer vi til standardnormalfordelinga $Z \sim N(0, 1)$ .

Z-score (standardisering)

X \sim N(\mu, \sigma^2)

✏️Eksempel 2: Berekning med z-score

Høgda til vaksne menn er $X \sim N(180, 7^2)$ . Finn sannsynet for at ein tilfeldig mann er kortare enn 172 cm.

Løysing:

Rekn ut z-score:
$z = \frac{172 - 180}{7} = \frac{-8}{7} \approx -1{,}14$

Slå opp i normalfordelingstabell (eller bruk kalkulator):
$P(X < 172) = P(Z < -1{,}14) \approx 0{,}1271$

Svar: Ca. 12,7 % av menn er kortare enn 172 cm.

✏️Eksempel 3: Sannsyn for eit intervall

X \sim N(180, 7^2)

. Finn

P(175 < X < 190)

Løysing:

Standardiser begge grensene:
$\begin{aligned} &z_1 = \frac{175 - 180}{7} \approx -0{,}714 \\ &\text{og}\; z_2 = \frac{190 - 180}{7} \approx 1{,}429 \end{aligned}$

Bruk tabell/kalkulator:
$P(175 < X < 190) = P(-0{,}714 < Z < 1{,}429)$
$= P(Z < 1{,}429) - P(Z < -0{,}714)$
$\approx 0{,}9234 - 0{,}2376 = 0{,}6858$

Svar: Ca. 68,6 % av menn har høgd mellom 175 og 190 cm.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

X \sim N(50, 8^2)

. Finn

P(X < 62)

Finn $P(X > 42)$ .

Finn $P(46 < X < 58)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Levetida til ein type lyspære er normalfordelt med $\mu = 1200$ timar og $\sigma = 100$ timar. Finn sannsynet for at ei tilfeldig lyspære varer lenger enn 1350 timar.

📝Oppgave 7

Ein eksamen har normalfordelte resultat med $\mu = 52$ poeng og $\sigma = 12$ poeng. Det krevst 40 poeng for å bestå. Finn delen som strauk.

📝Oppgave 8

X \sim N(100, 15^2)

. Finn verdien

x_0

slik at

P(X < x_0) = 0{,}90

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Anna fekk 78 poeng på ein norskprøve ( $\mu = 65$ , $\sigma = 10$ ) og 82 poeng på ein matteprøve ( $\mu = 70$ , $\sigma = 8$ ). På kva prøve presterte ho relativt sett best?

Kor stor prosentdel av elevane fekk dårlegare enn Anna i kvart fag?

📝Oppgave 10

Ei maskin produserer skruar med lengd $X \sim N(50{,}0\text{ mm}, 0{,}2^2)$ . Skruar utanfor intervallet $[49{,}5, 50{,}5]$ mm blir kasserte. Finn delen som blir kassert.

Normalapproksimasjon til binomisk fordeling

Når $n$ er stor, er binomisk fordeling vanskeleg å berekne direkte. Heldigvis kan vi bruke normalfordelinga som ei tilnærming.

📜Normalapproksimasjon til binomisk fordeling

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

n

er tilstrekkeleg stor, kan

X

tilnærmast med:

$X \approx N(np, np(1-p))$

Tommelfingerregel: Approksimasjonen er god når:
$np \geq 5 \quad \text{og} \quad n(1-p) \geq 5$

Kontinuitetskorreksjon: Sidan vi tilnærmar ei diskret fordeling med ei kontinuerleg, bør vi bruke korreksjon:
$P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

✏️Eksempel 4: Normalapproksimasjon

X \sim \text{Bin}(100, 0{,}4)

. Finn

P(X \leq 45)

ved hjelp av normalapproksimasjon.

Løysing:

Rekn ut parametrar:
$\mu = np = 100 \cdot 0{,}4 = 40$
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}899$

Sjekk: $np = 40 \geq 5$ ✓ og $n(1-p) = 60 \geq 5$ ✓

Standardiser med kontinuitetskorreksjon:
$z = \frac{45{,}5 - 40}{4{,}899} = \frac{5{,}5}{4{,}899} \approx 1{,}123$

Slå opp:
$P(X \leq 45) \approx P(Z \leq 1{,}123) \approx 0{,}8693$

Svar: $P(X \leq 45) \approx 0{,}869$

📝Oppgave 11

X \sim \text{Bin}(200, 0{,}3)

. Bruk normalapproksimasjon til å finne

P(X \geq 70)

📝Oppgave 12

Eit parti med 60 % støtte i befolkninga. I ei undersøking med 150 personar, kva er sannsynet for at mellom 80 og 100 støttar partiet?

📝Oppgave 13

Ein fabrikk har 2 % feilrate. I eit parti på 500 einingar, finn sannsynet for at det er meir enn 15 defekte.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor 68-95-99,7-regelen er eit spesialtilfelle av z-score-berekning.

Finn det eksakte sannsynet for å vere innanfor 1,5 standardavvik frå gjennomsnittet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Temperaturen ein gitt dag er normalfordelt med $\mu = 15°C$ og $\sigma = 4°C$ .

Finn sannsynet for at temperaturen er over 20°C.

Finn temperaturen som berre 5 % av dagane overstig.

Finn det symmetriske intervallet rundt $\mu$ som inneheld 90 % av dagane.

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Ein mynt blir kasta 400 gonger. Bruk normalapproksimasjon til å finne sannsynet for mellom 190 og 210 kron (inkludert).

📝Oppgave 17

I ein by bur det 10 000 personar. 30 % er under 18 år. I eit tilfeldig utval på 300 personar, finn sannsynet for at mellom 80 og 100 er under 18 år.

📝Oppgave 18

Reaksjonstida for ein sjåfør er normalfordelt med $\mu = 0{,}8$ s og $\sigma = 0{,}15$ s. Ein sjåfør blir rekna som «treg» dersom reaksjonstida er over 1,1 s.

Finn delen sjåførar som blir rekna som trege.

Finn grensa for dei raskaste 10 % av sjåførane.

Blant 500 sjåførar, kor mange er venta å ha reaksjonstid mellom 0,6 s og 1,0 s?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Normalfordelinga er klokkeforma og symmetrisk om forventningsverdien $\mu$ , med spreiing gitt av standardavviket $\sigma$ .
- 68–95–99,7-regelen: Ca. $68\,\%$ av verdiane ligg innanfor $\mu \pm \sigma$ , $95\,\%$ innanfor $\mu \pm 2\sigma$ og $99{,}7\,\%$ innanfor $\mu \pm 3\sigma$ .
- Z-score: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ — talet på standardavvik frå gjennomsnittet, gjer ulike fordelingar samanliknbare.
- Normalapproksimasjon: Ei binomisk fordeling kan tilnærmast med $N\bigl(np,\ np(1-p)\bigr)$ , altså $\mu = np$ og $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ , når $n$ er stor.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Normalfordeling	Klokkeforma, symmetrisk fordeling
$\mu$ og $\sigma$	Forventningsverdi og standardavvik
Z-score	Standardisert avvik frå gjennomsnittet
Empirisk regel	68–95–99,7-regelen

Viktige formlar

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

- Binomisk

\approx N\bigl(np,\ np(1-p)\bigr)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.