6.2 Binomisk fordeling | Matematikk S1

Binomiske forsøk og binomisk fordeling.

60 min

21 oppgaver

Binomisk forsøkBinomisk fordelingForventningStandardavvik

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

6.3Normalfordelingen

Binomiske forsøk

Mange situasjonar i røyndomen kan skildrast som gjentekne forsøk der vi er interesserte i talet på «suksessar». Til dømes:
- Tal seksarar ved 10 terningkast
- Tal rette svar på ei prøve med flervalsspørsmål
- Tal defekte produkt i ein produksjonsserie
- Tal pasientar som blir friske av ei behandling

Desse situasjonane har noko felles: Vi gjer eit forsøk fleire gonger, og kvart forsøk har to moglege utfall.

Binomisk forsøk

n

For at modellen skal gjelde, må forsøka vere uavhengige. Det tyder at utfallet av eitt forsøk ikkje påverkar sannsynet i dei andre.

Eksempel: Dersom du trekkjer kuler frå ei urne med tilbakelegging, er trekka uavhengige. Utan tilbakelegging er dei avhengige, og då gjeld ikkje binomisk fordeling (då bruker vi hypergeometrisk fordeling).

Tommelfingerregel: Trekking utan tilbakelegging kan tilnærmast med binomisk fordeling dersom utvalet er lite samanlikna med populasjonen (under 10 %).

Binomisk sannsyn

For å finne sannsynet for nøyaktig $k$ suksessar i $n$ forsøk, treng vi to ting:
1. Sannsynet for éi bestemt rekkjefølgje med $k$ suksessar: $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
2. Talet på rekkjefølgjer med $k$ suksessar blant $n$ forsøk: $\binom{n}{k}$

📜Binomisk sannsynsformel

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er sannsynet for nøyaktig

k

suksessar:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

der $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ er binomialkoeffisienten.

✏️Eksempel 1: Terningkast

Du kastar ein rettferdig terning 4 gonger. Finn sannsynet for å få nøyaktig 2 seksarar.

Løysing:

Her er $n = 4$ , $\displaystyle p = \frac{1}{6}$ (sannsyn for seksar), $k = 2$ .

$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$

$= 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} \approx 0{,}1157$

Sannsynet er ca. $11{,}6\%$ .

✏️Eksempel 2: Flervalstest

Ein flervalstest har 8 spørsmål, kvart med 4 alternativ (eitt rett). Ein elev gjettar tilfeldig. Finn sannsynet for at eleven får minst 5 rette.

Løysing:

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$

$P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$

$P(X=5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^3 = 56 \cdot 0{,}000977 \cdot 0{,}4219 \approx 0{,}0231$

$P(X=6) = \binom{8}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^2 = 28 \cdot 0{,}000244 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}00385$

$P(X=7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}25^7 \cdot 0{,}75^1 = 8 \cdot 0{,}0000610 \cdot 0{,}75 \approx 0{,}000366$

$P(X=8) = \binom{8}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^0 = 1 \cdot 0{,}0000153 \approx 0{,}0000153$

$P(X \geq 5) \approx 0{,}0231 + 0{,}00385 + 0{,}000366 + 0{,}0000153 \approx 0{,}0273$

Sannsynet er ca. $2{,}7\%$ . Rein gjetting gir svært sjeldan 5 eller fleire rette.

📊Utforsk: Binomisk fordeling som stolpediagram

Sannsynsfordelinga til $X \sim \text{Bin}(10,\ 0{,}3)$ . Kvar stolpe viser $P(X = k)$ . Endre $n$ og $p$ i kommandoen og sjå korleis forma på fordelinga endrar seg.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Ein mynt blir kasta 5 gonger. Finn sannsynet for nøyaktig 3 kron.

Finn sannsynet for minst 4 kron.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Avgjer om følgjande er binomiske forsøk. Grunngi svaret.

Tal seksarar ved 10 terningkast.

Tal raude kuler ved trekking av 5 kuler utan tilbakelegging frå ei urne med 20 kuler.

Tal gutar blant 6 nyfødde ved eit sjukehus.

📝Oppgave 3

X \sim \text{Bin}(6, 0{,}3)

. Rekn ut

P(X = 0)

P(X = 1)

P(X = 2)

📝Oppgave 4

Ein kvalitetskontroll viser at 5 % av produkta frå ein fabrikk er defekte. Det blir trekt eit utval på 10 produkt. Finn sannsynet for at det er nøyaktig 1 defekt produkt i utvalet.

📝Oppgave 5

Eit legemiddel har 70 % sjanse for å verke. 8 pasientar blir behandla. Finn sannsynet for at legemiddelet verkar på minst 6 av dei.

Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

For binomisk fordeling finst det enkle formlar for forventningsverdi og varians.

📜Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er:

$E(X) = np$
$\text{Var}(X) = np(1-p)$
$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Eksempel: For $X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$ :
- $E(X) = 100 \cdot 0{,}3 = 30$
- $\text{Var}(X) = 100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 21$
- $\sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}58$

✏️Eksempel 3: Forventningsverdi og standardavvik

Ein skarpskyttar treffer blinken 80 % av gongene. Ho skyt 50 skot. Kva er forventa tal treff, og kva er standardavviket?

Løysing:

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}8)$

$E(X) = np = 50 \cdot 0{,}8 = 40$

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 50 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 8$

$\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$

Vi forventar ca. 40 treff, med eit standardavvik på ca. 2,8 treff.

Kumulative sannsyn

Ofte er vi interesserte i $P(X \leq k)$ eller $P(X \geq k)$ i staden for $P(X = k)$ .

Kumulativt sannsyn:
$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)$

Nyttige samanhengar:
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- $P(X < k) = P(X \leq k-1)$
- $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

I praksis bruker vi kalkulator eller tabell for kumulative binomiske sannsyn når $n$ er stor.

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

X \sim \text{Bin}(20, 0{,}4)

. Finn

E(X)

\sigma

Y \sim \text{Bin}(50, 0{,}1)

. Finn

E(Y)

\sigma

📝Oppgave 7

Ein vaksine har 90 % effektivitet. 15 personar blir vaksinerte. Finn sannsynet for at alle 15 blir verna.

📝Oppgave 8

Sannsynet for at ein tilfeldig vald nordmann er venstrehendt er ca. 10 %. I ein klasse med 25 elevar, finn sannsynet for at det er nøyaktig 3 venstrehendte.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

X \sim \text{Bin}(10, 0{,}5)

. Finn

P(X \leq 3)

Finn $P(X \geq 7)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

I ei spørjeundersøking svarar 60 % at dei støttar eit forslag. Du spør 12 tilfeldige personar. Finn sannsynet for at færre enn helvta i utvalet støttar forslaget.

📝Oppgave 11

Kva er den mest sannsynlege verdien (typetalet) for $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ ? Rekn ut $P(X = k)$ for $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ og finn den høgaste.

📝Oppgave 12

Eit flyselskap veit at 5 % av passasjerane ikkje møter opp. Flyet har 200 sete, og dei sel 210 billettar. La $X$ = talet på dei som ikkje møter opp.

Finn $E(X)$ og $\sigma$ .

Flyet er overbooka dersom færre enn 10 ikkje møter. Finn $P(X < 10)$ med kalkulator.

📝Oppgave 13

Ei urne inneheld 3 raude og 7 blå kuler. Du trekkjer 5 kuler med tilbakelegging. Finn sannsynet for at du trekkjer nøyaktig 2 raude kuler, og samanlikn med resultatet utan tilbakelegging (hypergeometrisk).

📝Oppgave 14

Ein kvalitetskontrollør godkjenner eit parti dersom det er høgst 2 defekte i eit utval på 20. Defektdelen i produksjonen er 8 %. Finn sannsynet for at partiet blir godkjent.

📝Oppgave 15

I ein familie med 4 born, la $X$ vere talet på jenter (anta $p = 0{,}5$ ). Sett opp heile sannsynsfordelinga og teikn eit stolpediagram. Rekn ut $E(X)$ og $\sigma$ både med formelen og direkte frå fordelinga.

📝Oppgave 16

Eit firma tilbyr ein garanti: Dersom meir enn 3 av 20 produkt er defekte, blir heile partiet erstatta (verdi 10 000 kr). Defektdelen er 10 %. Kva er forventa erstatningskostnad per parti?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Binomisk forsøk: Fast tal $n$ uavhengige delforsøk, kvar med to utfall og same suksessannsyn $p$ .
- Binomisk sannsyn: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .
- Forventning og varians: $E(X) = np$ og $\text{Var}(X) = np(1-p)$ .
- Kumulative sannsyn: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ , og digitale verktøy for $P(X \leq k)$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Binomisk forsøk	$n$ like, uavhengige ja/nei-forsøk
Suksessannsyn	$p$ — likt i alle delforsøk
Binomialkoeffisient	$\binom{n}{k}$ — tal måtar å plassere suksessane

Viktige formlar

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

E(X) = np

\text{Var}(X) = np(1-p)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.