5.5 Stokastiske variabler og forventningsverdi

Stokastiske variabler, sannsynlighetsfordelinger, forventningsverdi, varians og standardavvik.

55 min

8 oppgaver

Stokastisk variabelForventningsverdiVariansStandardavvik

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

5.6Simulering med digitale verktøy

Stokastiske variablar

I dagleglivet møter vi stadig usikre utfall: kva blir omsetninga i bedrifta i morgon, kor mange kundar kjem i dag, eller kva blir avkastninga på ei investering? For å analysere slike situasjonar bruker vi stokastiske variablar.

Ein stokastisk variabel $X$ er ein variabel som kan ta ulike verdiar avhengig av utfallet av eit tilfeldig eksperiment. Vi skriv $P(X = x)$ for sannsynet for at $X$ tek verdien $x$ .

Eksempel frå næringslivet: La $X$ vere talet på reklamasjonar ein nettbutikk får på ein tilfeldig vald dag. Basert på historiske data kan butikken setje opp ei sannsynsfordeling og planleggje kundeservice-bemanninga deretter.

Sannsynsfordeling og forventningsverdi

X

📜Reknereglar for E og Var

For konstantar

a

b

og stokastiske variablar

X

Y

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Dersom $X$ og $Y$ er uavhengige:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Desse reglane er svært nyttige når vi analyserer samansette økonomiske storleikar, til dømes totalinntekt frå fleire uavhengige produkt.

✏️Eksempel: Forventa gevinst i eit lotteri

Ei bedrift arrangerer eit internt lotteri for tilsette. Billetten kostar 50 kr. Gevinststorleikane og sannsyna er:

Gevinst (kr)	Sannsyn
0	0,60
50	0,25
200	0,12
1000	0,03

a) Rekn ut forventa gevinst.
b) Rekn ut standardavviket.
c) Er det lurt å kjøpe ein billett?

a) Forventa gevinst:

$E(X) = 0 \cdot 0{,}60 + 50 \cdot 0{,}25 + 200 \cdot 0{,}12 + 1000 \cdot 0{,}03$
$= 0 + 12{,}5 + 24 + 30 = 66{,}5 \text{ kr}$

b) Varians og standardavvik:

$\text{Var}(X) = (0-66{,}5)^2 \cdot 0{,}60 + (50-66{,}5)^2 \cdot 0{,}25 + (200-66{,}5)^2 \cdot 0{,}12 + (1000-66{,}5)^2 \cdot 0{,}03 \approx 30989 \text{ kr}^2$

$\sigma = \sqrt{30989} \approx 176 \text{ kr}$

c) Vurdering:

Forventa gevinst (66,5 kr) er høgare enn billettprisen (50 kr), så i gjennomsnitt tener ein 16,5 kr per billett. Men standardavviket er stort (176 kr), så det er stor uvisse. På lang sikt er det gunstig, men enkeltutfall varierer mykje.

📝Oppgave 1

Ein seljar har dagleg sal $X$ (tal einingar) med følgjande fordeling: $P(X=0)=0{,}10$ , $P(X=1)=0{,}30$ , $P(X=2)=0{,}40$ , $P(X=3)=0{,}20$ .

Stadfest at dette er ei gyldig sannsynsfordeling.

Rekn ut forventa dagleg sal $E(X)$ .

Dersom forteneste per eining er 150 kr, kva er forventa dagleg forteneste?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Eit investeringsprosjekt gir følgjande årlege avkastning (i tusen kr): $-50$ med $P=0{,}15$ , $0$ med $P=0{,}20$ , $100$ med $P=0{,}40$ , $200$ med $P=0{,}25$ .

Rekn ut forventa årleg avkastning.

Rekn ut standardavviket til avkastninga.

Tolk resultata i ein økonomisk kontekst.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

To uavhengige produktlinjer: Produkt A: $E(X_A) = 120$ kr, $\sigma_A = 30$ kr. Produkt B: $E(X_B) = 80$ kr, $\sigma_B = 20$ kr. Dagleg totalinntekt er $T = X_A + X_B$ .

Finn $E(T)$ .

Finn $\text{Var}(T)$ og $\sigma_T$ (sidan $X_A$ og $X_B$ er uavhengige).

Forklar kvifor $\sigma_T < \sigma_A + \sigma_B$ , og kva dette tyder for diversifisering.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stokastisk variabel: Ein talverdi bestemt av eit tilfeldig forsøk, med ei sannsynsfordeling $P(X = x_i) = p_i$ .
- Forventningsverdi: $E(X) = \sum x_i p_i$ — gjennomsnittet i det lange løp.
- Varians og standardavvik: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ og $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ .
- Reknereglar: $E(aX + b) = aE(X) + b$ og $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stokastisk variabel	Tilfeldig talverdi $X$
Forventningsverdi	Langsiktig gjennomsnitt $E(X)$
Varians	Spreiingsmål $\text{Var}(X)$
Standardavvik	$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Viktige formlar

E(X) = \sum x_i p_i

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(aX + b) = aE(X) + b

\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.