4.3 Etterspørsel og elastisitet | Matematikk S1

Etterspørselsfunksjoner og priselastisitet — analyse med derivasjon.

55 min

17 oppgaver

EtterspørselElastisitetPriselastisitetMarkedslikevekt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Derivasjon i økonomiske modeller

Brukes videre i

4.4Lønnsomhetsanalyse 4.5Elastisitet — utvidet

Etterspurnad og elastisitet

Så langt har vi gått ut frå at bedrifta kan selje så mange einingar ho vil til ein fast pris. I praksis vil ofte prisen påverke kor mange einingar som blir etterspurde. Når prisen går opp, søkk vanlegvis etterspurnaden.

I dette kapittelet skal vi sjå på etterspurnadsfunksjonar og eit viktig omgrep kalla priselastisitet.

Etterspurnadsfunksjonen

Etterspurnadsfunksjonen skildrar samanhengen mellom prisen på ei vare og kor mange einingar som blir etterspurde i marknaden.

Etterspurnadsfunksjon

x(p)

✏️Eksempel 1: Etterspurnadsfunksjon

Ei bedrift har funne at etterspurnaden etter produktet deira kan skildrast med funksjonen:

$x(p) = 1000 - 5p$

der $p$ er prisen i kroner og $x$ er tal på einingar.

a) Kor mange einingar blir etterspurde når prisen er 100 kr?
b) Kva pris gir etterspurnad på 500 einingar?
c) Kva er maksimal pris bedrifta kan ta?

Løysing:

a) Vi set inn $p = 100$ :
$x(100) = 1000 - 5 \cdot 100 = 1000 - 500 = 500 \text{ einingar}$

b) Vi løyser $x(p) = 500$ :
$1000 - 5p = 500$
$-5p = -500$
$p = 100 \text{ kr}$

c) Maksimal pris er når etterspurnaden er 0:
$x(p) = 0$
$1000 - 5p = 0$
$p = 200 \text{ kr}$

Ved pris over 200 kr vil ingen kjøpe produktet.

📝Oppgave 1

Ei bedrift har etterspurnadsfunksjonen $x(p) = 800 - 4p$ .

Kor mange einingar blir etterspurde når prisen er 50 kr?

Kva pris gir etterspurnad på 400 einingar?

Kva er maksimal pris før etterspurnaden blir null?

Kor mange einingar blir etterspurde når vara er gratis?

Løs oppgaven Tren

Inntekt med etterspurnadsfunksjon

Når prisen påverkar etterspurnaden, blir inntektsfunksjonen meir komplisert. Inntekta blir pris gonger mengd, der mengda er avhengig av prisen.

Inntektsfunksjon med etterspurnad

x(p) = a - bp

✏️Eksempel 2: Inntekt med etterspurnadsfunksjon

Etterspurnadsfunksjonen er $x(p) = 1000 - 5p$ .

a) Finn inntektsfunksjonen $I(p)$ .
b) Ved kva pris er inntekta maksimal?
c) Kva er maksimal inntekt?

Løysing:

a) Inntektsfunksjonen:
$I(p) = p \cdot x(p) = p(1000 - 5p) = 1000p - 5p^2$

b) For maksimum set vi $I'(p) = 0$ :
$I'(p) = 1000 - 10p = 0$
$p = 100 \text{ kr}$

c) Maksimal inntekt:
$I(100) = 1000 \cdot 100 - 5 \cdot 100^2 = 100000 - 50000 = 50000 \text{ kr}$

Ved pris 100 kr blir $x(100) = 500$ einingar selde, og inntekta blir 50 000 kr.

📝Oppgave 2

Ei bedrift har etterspurnadsfunksjonen $x(p) = 600 - 3p$ .

Finn inntektsfunksjonen $I(p)$ .

Finn $I'(p)$ .

Ved kva pris er inntekta maksimal?

Finn maksimal inntekt.

Løs oppgaven Tren

Priselastisitet

Priselastisiteten fortel oss kor følsam etterspurnaden er for prisendringar. Han måler den prosentvise endringa i etterspurnad i høve til den prosentvise endringa i pris.

Priselastisitet

e

Tolking av priselastisitet:

Verdi	Nemning	Tyding
$\|e\| > 1$	Elastisk	Etterspurnaden er følsam for prisendringar
$\|e\| = 1$	Einingselastisk	Proporsjonal endring
$\|e\| < 1$	Uelastisk	Etterspurnaden er lite følsam for pris

Merk:

e

er vanlegvis negativ (etterspurnaden søkk når prisen aukar), men vi bruker ofte

|e|

✏️Eksempel 3: Utrekning av priselastisitet

Etterspurnadsfunksjonen er $x(p) = 1000 - 5p$ .

a) Finn eit generelt uttrykk for priselastisiteten $e$ .
b) Rekn ut priselastisiteten når $p = 50$ kr.
c) Rekn ut priselastisiteten når $p = 100$ kr.
d) Ved kva pris er etterspurnaden einingselastisk?

Løysing:

a) Vi har $x(p) = 1000 - 5p$ og $x'(p) = -5$ .

Priselastisiteten:
$e = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p) = \frac{p}{1000 - 5p} \cdot (-5) = \frac{-5p}{1000 - 5p}$

b) For $p = 50$ :
$e = \frac{-5 \cdot 50}{1000 - 5 \cdot 50} = \frac{-250}{750} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33$

$|e| < 1$ : Etterspurnaden er uelastisk. Ein prisauke på 1% gir ca. 0,33% nedgang i etterspurnad.

c) For $p = 100$ :
$e = \frac{-5 \cdot 100}{1000 - 5 \cdot 100} = \frac{-500}{500} = -1$

$|e| = 1$ : Etterspurnaden er einingselastisk.

d) Einingselastisk når $e = -1$ :
$\frac{-5p}{1000 - 5p} = -1$
$5p = 1000 - 5p$
$10p = 1000$
$p = 100 \text{ kr}$

📝Oppgave 3

Ei bedrift har etterspurnadsfunksjonen $x(p) = 800 - 4p$ .

Finn $x'(p)$ .

Finn eit uttrykk for priselastisiteten $e$ .

Rekn ut priselastisiteten når $p = 50$ kr.

Ved kva pris er etterspurnaden einingselastisk?

Løs oppgaven Tren

📜Samanheng mellom elastisitet og inntekt

Priselastisiteten ved inntektsmaksimum er alltid $e = -1$ (einingselastisk).

- Når $|e| > 1$ (elastisk): Prisreduksjon aukar inntekta
- Når $|e| < 1$ (uelastisk): Prisauke aukar inntekta
- Når $|e| = 1$ (einingselastisk): Inntekta er maksimal

📝Oppgave 4

Etterspurnadsfunksjonen er $x(p) = 500 - 2p$ .

Finn inntektsfunksjonen $I(p)$ .

Ved kva pris er inntekta maksimal?

Rekn ut priselastisiteten ved denne prisen.

Stadfest at $|e| = 1$ ved inntektsmaksimum.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Ei bedrift sel eit produkt der prisen kan uttrykkjast som funksjon av mengda: $p(x) = 200 - 0{,}5x$ .

Finn etterspurnaden når prisen er 100 kr.

Finn inntektsfunksjonen $I(x) = p(x) \cdot x$ .

Ved kva mengd er inntekta maksimal?

Kva er prisen ved maksimal inntekt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Ein daglegvarebutikk har funne at etterspurnaden etter mjølk kan skildrast med $x(p) = 2000 - 100p$ der $p$ er prisen i kroner per liter.

Rekn ut priselastisiteten når prisen er 10 kr.

Er etterspurnaden elastisk eller uelastisk ved denne prisen?

Dersom prisen blir auka til 15 kr, kva blir elastisiteten?

Kva vil skje med inntekta dersom prisen blir auka frå 10 kr til 15 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$ og etterspurnadsfunksjonen $p(x) = 120 - 0{,}1x$ der $p$ er prisen og $x$ er mengda.

Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn mengda som gir maksimalt overskot.

Kva pris bør bedrifta setje?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Priselastisiteten for eit produkt er målt til $e = -2$ når prisen er 80 kr.

Kva tyder dette for etterspurnaden?

Dersom prisen blir auka med 5%, omtrent kor mykje endrar etterspurnaden seg?

Bør bedrifta auke eller senke prisen for å auke inntekta?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Ei bedrift har etterspurnadsfunksjonen $\displaystyle x(p) = \frac{10000}{p}$ (konstantelastisk etterspurnad).

Finn $x'(p)$ .

Finn eit uttrykk for priselastisiteten.

Kva er spesielt med denne etterspurnadsfunksjonen?

Stadfest at inntekta er konstant.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 10x + 1000$ og prisfunksjonen $p(x) = 50 - 0{,}2x$ .

Finn inntektsfunksjonen og overskotsfunksjonen.

Finn grenseinntekta $I'(x)$ og grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengd ved å setje $I'(x) = K'(x)$ .

Finn optimal pris og maksimalt overskot.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

To produkt har følgjande etterspurnadsfunksjonar:
- Produkt A: $x_A(p) = 1000 - 10p$
- Produkt B: $x_B(p) = 500 - 2p$

Rekn ut priselastisiteten for begge produkta når prisen er 20 kr.

Kva produkt har mest elastisk etterspurnad ved denne prisen?

For kva produkt vil ein prisauke ha størst effekt på etterspurnaden?

📝Oppgave 12

Ein monopolist har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 500$ og etterspurnadsfunksjonen $x(p) = 200 - 2p$ .

Uttrykk prisen som funksjon av mengda.

Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn overskotsfunksjonen og optimal produksjonsmengd.

Finn monopolprisen og maksimalt overskot.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Etterspurnadsfunksjonen $q(p)$ viser kor mykje som blir etterspurt ved pris $p$ — han er vanlegvis avtakande.
- Inntekt med etterspurnad: $I(p) = p \cdot q(p)$ .
- Priselastisitet: $E = q'(p) \cdot \dfrac{p}{q(p)}$ måler prosentvis endring i etterspurnad ved 1 % prisauke.
- Elastisitet og inntekt: $|E| < 1$ (uelastisk): prisauke aukar inntekta. $|E| > 1$ (elastisk): prisauke senkar inntekta. $E = -1$ : inntekta er maksimal.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Etterspurnadsfunksjon	Mengd seld som funksjon av prisen
Priselastisitet	Følsemda i etterspurnaden for prisendringar
Elastisk	$\lvert E\rvert > 1$ — følsam etterspurnad
Uelastisk	$\lvert E\rvert < 1$ — lite følsam etterspurnad

Viktige formlar

I(p) = p \cdot q(p)

E = q'(p) \cdot \dfrac{p}{q(p)}

- Inntektsmaksimum:

E = -1

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.