4.3 Etterspørsel og elastisitet

Når prisen bestemmer salget

En liten teknologibedrift har utviklet en smartklokke og skal sette prisen. Så langt i kurset har vi latt bedrifter selge så mye de vil til fast pris — men i virkeligheten påvirker prisen hvor mange som kjøper. Setter de prisen opp, faller salget. Den sammenhengen fanges av etterspørselsfunksjonen.

Etterspørselsfunksjonen $x(p)$ angir hvor mange enheter som etterspørres når prisen er $p$. Alternativt kan vi snu den og skrive prisen som funksjon av mengden, $p(x)$. Typisk er begge avtagende: $x'(p) < 0$ — etterspørselen synker når prisen øker — og $p'(x) < 0$ — prisen må senkes for å selge mer.

Markedsavdelingen har estimert $x(p) = 1000 - 5p$ for klokka. La oss lese modellen. Ved pris $p = 100$ kr blir etterspørselen $x(100) = 1000 - 500 = 500$ enheter. Vil vi vite hvilken pris som gir akkurat 500 solgte, løser vi $1000 - 5p = 500$ og får $p = 100$ — samme punkt, lest fra motsatt kant. Og den høyeste prisen noen i det hele tatt vil betale? Den finner vi der etterspørselen dør ut: $1000 - 5p = 0$ gir $p = 200$ kr. Over 200 kr selger bedriften ingenting.

Modellen er enkel, men den åpner et helt nytt landskap: nå henger inntekten sammen med prisen på en mer subtil måte enn «pris ganger et fast antall». Det landskapet skal vi utforske — og finne toppen av.

Inntekten — pris ganger mengde, men begge teller

Når prisen styrer etterspørselen, blir inntekten produktet av to størrelser som drar i hver sin retning. Med etterspørselen $x(p) = a - bp$ blir inntekten som funksjon av prisen

$$I(p) = p \cdot x(p) = p(a - bp) = ap - bp^2$$

Har vi i stedet prisen som funksjon av mengden, skriver vi $I(x) = p(x) \cdot x$.

For smartklokka: $I(p) = p(1000 - 5p) = 1000p - 5p^2$. Dette er en nedovervendt parabel — lav pris gir mange solgte men lite per stykk, høy pris gir mye per stykk men få solgte. Et sted imellom ligger toppen. Vi deriverer og setter lik null:

$$I'(p) = 1000 - 10p = 0 \quad \Rightarrow \quad p = 100 \text{ kr}$$

Maksimal inntekt blir $I(100) = 1000 \cdot 100 - 5 \cdot 100^2 = 100\,000 - 50\,000 = 50\,000$ kr, og ved den prisen selges $x(100) = 500$ klokker.

Legg merke til hva som skjedde: derivasjon, som du lærte som et verktøy for tangenter og ekstremalpunkter, ble her et prissettingsverktøy. Bedriften trenger ikke prøve seg fram i markedet — modellen peker direkte på prisen som maksimerer inntekten. Men ett spørsmål gjenstår: hvor følsom er egentlig etterspørselen for prisendringer? Hvis bedriften setter prisen opp én prosent, mister den da en halv prosent av kundene, eller tre prosent? Det spørsmålet har et eget navn i økonomien, og svaret avgjør om en prisøkning lønner seg.

Priselastisitet — markedets følsomhet

Priselastisiteten $e$ måler den prosentvise endringen i etterspørsel i forhold til den prosentvise endringen i pris:

$$e = \frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta p}{p}} = \frac{p}{x} \cdot \frac{\Delta x}{\Delta p}$$

Med derivasjon blir den eksakt: $\displaystyle e = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p)$. Fordi etterspørselen synker når prisen øker, er $e$ vanligvis negativ, og vi tolker ofte tallverdien $|e|$. Er $|e| > 1$, kalles etterspørselen elastisk — følsom for pris. Er $|e| < 1$, er den uelastisk — lite følsom. Og $|e| = 1$ kalles enhetselastisk.

For smartklokka: $x(p) = 1000 - 5p$ gir $x'(p) = -5$, så

$$e = \frac{p}{1000 - 5p} \cdot (-5) = \frac{-5p}{1000 - 5p}$$

Ved $p = 50$: $\displaystyle e = \frac{-250}{750} = -\frac{1}{3}$. Uelastisk — en prisøkning på 1 % koster bare 0,33 % av salget, så prisøkning lønner seg. Ved $p = 100$: $\displaystyle e = \frac{-500}{500} = -1$. Enhetselastisk. Og setter vi $e = -1$ og løser, får vi nettopp $p = 100$.

Det er ingen tilfeldighet. Det gjelder en vakker sammenheng: priselastisiteten ved inntektsmaksimum er alltid $e = -1$. Når $|e| > 1$ øker inntekten ved prisreduksjon; når $|e| < 1$ øker den ved prisøkning; og ved $|e| = 1$ står inntekten på toppen. Elastisiteten forteller altså ikke bare hvor følsomt markedet er — den forteller bedriften hvilken retning prisen bør justeres.

Oppsummering: prisen, salget og følsomheten

Smartklokke-bedriften startet med ett spørsmål — hva skal klokka koste? — og endte med tre verktøy. Etterspørselsfunksjonen $x(p)$ beskriver hvor mye markedet kjøper ved pris $p$; den er avtagende, og dens nullpunkt angir den høyeste prisen noen vil betale.

Inntekten med etterspørsel er $I(p) = p \cdot x(p)$ — et produkt der prisen og mengden drar hver sin vei, slik at inntektskurven blir en nedovervendt parabel med en topp som derivasjon finner eksakt: $I'(p) = 0$ ga $p = 100$ kr og 50 000 kr i maksimal inntekt.

Priselastisiteten $\displaystyle e = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p)$ måler markedets følsomhet: prosentvis endring i etterspørsel per prosent prisendring. Tolkningen styrer strategien — $|e| < 1$ (uelastisk) betyr at prisøkning øker inntekten, $|e| > 1$ (elastisk) betyr at prisøkning senker den, og toppen av inntektskurven ligger nøyaktig der $e = -1$.

Dermed henger alt sammen: etterspørselen gir inntekten, inntekten gir optimumet, og elastisiteten forklarer hvorfor optimumet ligger der det ligger. I kapittel 4.5 går vi dypere inn i elastisitetsbegrepet og møter slektningene krysspriselastisitet og inntektselastisitet.