3.9 Gjennomsnittleg og momentan vekstfart

Sekant og tangent, differansekvotienten og estimering av den deriverte.

55 min

17 oppgaver

Gjennomsnittleg vekstfartMomentan vekstfartSekantTangent

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenser og kontinuitet

Gjennomsnittleg og momentan vekstfart

Vekstfart handlar om kor raskt ein storleik endrar seg. Vi møter dette dagleg: farten til ein bil, prisauke på ei vare, eller veksten i ein populasjon.

I matematikken skil vi mellom to typar vekstfart:
- Gjennomsnittleg vekstfart over eit intervall (stigingstalet til sekanten)
- Momentan vekstfart i eit punkt (stigingstalet til tangenten)

Omgrepa koplar derivasjon til økonomiske og praktiske samanhengar. Til dømes er den momentane vekstfarten til ein kostnadsfunksjon det vi kallar grensekostnad.

Gjennomsnittleg vekstfart

f

Sekanten som gjennomsnittsmål

Sekanten gir oss eit gjennomsnittsbilete av endringa. Tenk deg at inntekta til ei bedrift i tusen kroner er gitt ved $I(x) = 50x - 0{,}5x^2$ der $x$ er talet på selde einingar.

Viss bedrifta sel mellom 10 og 20 einingar, er den gjennomsnittlege inntektsauken per eining:

$\begin{aligned} &\frac{I(20) - I(10)}{20 - 10} \\ = {}&\frac{(1000 - 200) - (500 - 50)}{10} \\ = {}&\frac{800 - 450}{10} \\ = {}&35 \text{ tusen kr per eining} \end{aligned}$

Men denne gjennomsnittsverdien seier ingenting om kva som skjer ved nøyaktig $x = 15$ einingar.

Momentan vekstfart

f

Numerisk estimering av momentan vekstfart

Sjølv om vi kan rekne ut den deriverte analytisk, er det nyttig å estimere momentan vekstfart numerisk. Vi vel ein liten verdi av $h$ og reknar ut:

$f'(a) \approx \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Ofte får vi eit betre estimat ved å bruke den symmetriske differansekvotienten:

$f'(a) \approx \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$

Typisk vel vi $h = 0{,}001$ eller $h = 0{,}0001$ for god nøyaktigheit.

✏️Eksempel 1: Gjennomsnittleg vekstfart for ein kostnadsfunksjon

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 200$ der $x$ er talet på produserte einingar (i tusen) og $K(x)$ er kostnaden i tusen kroner.

a) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til kostnadene frå $x = 10$ til $x = 20$ .
b) Tolk svaret i ein økonomisk samanheng.

a) Gjennomsnittleg vekstfart:

Vi reknar ut $K(10)$ og $K(20)$ :

$K(10) = 0{,}02 \cdot 1000 - 1{,}5 \cdot 100 + 50 \cdot 10 + 200 = 20 - 150 + 500 + 200 = 570$

$K(20) = 0{,}02 \cdot 8000 - 1{,}5 \cdot 400 + 50 \cdot 20 + 200 = 160 - 600 + 1000 + 200 = 760$

$\begin{aligned} &\frac{K(20) - K(10)}{20 - 10} = \frac{760 - 570}{10} \\ = {}&19 \text{ tusen kr per tusen einingar} \end{aligned}$

Svar: a) 19 tusen kr per tusen einingar. b) Mellom 10 000 og 20 000 einingar aukar kostnadene i gjennomsnitt med 19 000 kr for kvar ekstra 1000 einingar som blir produserte.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Sekant og tangent

Gjennomsnittleg vekstfart er stigingstalet til sekanten gjennom

(1, 1)

(3, 9)

(grøn). Momentan vekstfart i

x = 1

er stigingstalet til tangenten (raud). Flytt punkt

B

nærmare

A

og sjå sekanten nærme seg tangenten.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
A = (1, 1)
B = (3, 9)
s = Line(A, B)
T = Tangent(1, f)
SetColor(s, "Green")
SetColor(T, "Red")
SetColor(f, "Blue")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 2: Momentan vekstfart og grensekostnad

Med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 200$ :

a) Finn den momentane vekstfarten til $K$ i $x = 10$ .
b) Kva kallar vi dette i økonomi?

a) Vi deriverer:

K'(x) = 0{,}06x^2 - 3x + 50

$\begin{aligned} K'(10) &= 0{,}06 \cdot 100 - 3 \cdot 10 + 50 \\ &= 6 - 30 + 50 = 26 \end{aligned}$

Den momentane vekstfarten er 26 tusen kr per tusen einingar.

b) I økonomi blir $K'(x)$ kalla grensekostnaden. Han fortel oss omtrent kva det kostar å produsere éi ekstra eining (eller eigentleg 1000 einingar ekstra, gitt eininga vår).

Svar: a) $K'(10) = 26$ tusen kr per tusen einingar. b) Grensekostnaden. Ved $x = 10$ kostar 1000 einingar ekstra omtrent 26 000 kr.

✏️Eksempel 3: Numerisk estimering frå tabell

Temperaturen $T$ (i $°C$ ) i ein omn er målt kvart 5. minutt:

$t$ (min)	$T(t)$
0	20
5	85
10	140
15	178
20	198
25	206

Estimer den momentane vekstfarten i

t = 10

minutt.

Vi bruker den symmetriske differansekvotienten med naboverdiane

t = 5

t = 15

$T'(10) \approx \frac{T(15) - T(5)}{15 - 5} = \frac{178 - 85}{10} = 9{,}3 \text{ °C/min}$

Svar: $T'(10) \approx 9{,}3$ °C/min. Etter 10 minutt aukar temperaturen med omtrent 9,3 gradar per minutt.

Kontroll: Framoverdifferansen gir $\displaystyle \frac{T(15) - T(10)}{5} = \frac{178 - 140}{5} = 7{,}6$ .

Bakoverdifferansen gir $\displaystyle \frac{T(10) - T(5)}{5} = \frac{140 - 85}{5} = 11{,}0$ .

Den symmetriske ligg mellom dei og gir normalt det beste estimatet.

📝Oppgave 3.9.1

Ein funksjon er gitt ved $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til $f$ over intervallet $[1, 4]$ .

Finn den momentane vekstfarten til $f$ i $x = 2$ .

Kva fortel svaret i b) om grafen til $f$ i $x = 2$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.2

Folketalet i ein by er modellert ved $B(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ der $t$ er talet på år etter 2020.

Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå $t = 0$ til $t = 5$ .

Bruk den symmetriske differansekvotienten med $h = 0{,}5$ til å estimere $B'(3)$ .

📝Oppgave 3.9.3

Ei bedrift har inntektsfunksjonen $I(x) = 120x - 0{,}5x^2$ der $x$ er talet på selde einingar.

Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til inntekta frå $x = 40$ til $x = 60$ .

Finn grenseinntekta $I'(x)$ og rekn ut $I'(50)$ .

Forklar kvifor gjennomsnittleg og momentan vekstfart er like i dette tilfellet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.4

Tabellen viser omsetnaden $O(t)$ (i millionar kr) for ein nettbutikk der $t$ er talet på år etter oppstart.

Gitt $O(2) = 3{,}2$ , $O(3) = 4{,}8$ , $O(4) = 7{,}1$ . Estimer $O'(3)$ ved hjelp av den symmetriske differansekvotienten.

Tolk svaret i ein økonomisk samanheng.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.5

Ein funksjon er gitt ved $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ .

Finn den gjennomsnittlege vekstfarten over intervallet $[0, 2]$ .

Finn den momentane vekstfarten i $x = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.6

Vasstanden $h(t)$ i ein dam (i meter) er gitt ved $h(t) = 0{,}1t^2 - 2t + 15$ der $t$ er talet på timar etter midnatt.

Finn den gjennomsnittlege endringa i vasstand frå $t = 4$ til $t = 8$ .

Finn den momentane endringsraten ved $t = 6$ .

Når sluttar vasstanden å søkke?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.7

Inntektsfunksjonen til ei bedrift er $I(x) = 200x - 2x^2$ der $x$ er talet på einingar (i hundre).

Finn den gjennomsnittlege inntektsauken frå $x = 20$ til $x = 30$ .

Finn grenseinntekta $I'(x)$ og rekn ut $I'(25)$ .

For kva verdi av $x$ er grenseinntekta lik null? Kva tyder dette?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.8

Temperaturen i eit kjølerom er modellert ved $T(t) = 25 \cdot 0{,}9^t + 3$ der $T$ er i $\degree C$ og $t$ er i timar.

Finn den gjennomsnittlege avkjølingsfarten dei første 2 timane.

Bruk den symmetriske differansekvotienten med $h = 0{,}5$ til å estimere $T'(1)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.9

Ein partikkel beveger seg langs ei rett linje. Posisjonen er gitt ved $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ der $s$ er i meter og $t$ er i sekund.

Finn den gjennomsnittlege farten frå $t = 0$ til $t = 3$ .

Finn den momentane farten $v(t) = s'(t)$ .

Når står partikkelen stille? Når beveger han seg framover?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.10

Kostnadsfunksjonen til ei bedrift er $K(x) = 0{,}05x^3 - 3x^2 + 80x + 1000$ der $x$ er talet på einingar.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ og rekn ut $K'(20)$ og $K'(40)$ .

Finn den gjennomsnittlege kostnadsauken frå $x = 20$ til $x = 40$ .

Samanlikn svaret i b) med $K'(30)$ . Forklar resultatet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.11

Tabellen viser talet på abonnentar $A(t)$ (i tusen) for ei straumeteneste:

Gitt $A(0) = 50$ , $A(1) = 68$ , $A(2) = 90$ , $A(3) = 108$ . Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå $t = 0$ til $t = 3$ .

Estimer den momentane vekstfarten i $t = 1$ og $t = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.9.12

Ein funksjon $f$ oppfyller $f(3) = 10$ , $f(3{,}01) = 10{,}05$ og $f(2{,}99) = 9{,}96$ .

Estimer $f'(3)$ ved hjelp av framoverdifferansen med $h = 0{,}01$ .

Estimer $f'(3)$ ved hjelp av bakoverdifferansen.

Estimer $f'(3)$ ved hjelp av den symmetriske differansekvotienten. Kva for estimat er truleg best?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Gjennomsnittleg vekstfart i $[a, b]$ : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — stigingstalet til sekanten.
- Momentan vekstfart i $x = a$ : $f'(a)$ — stigingstalet til tangenten.
- Numerisk estimering: Bruk eit lite intervall rundt punktet når du berre har tabellverdiar.
- Økonomisk tolking: $K'(x)$ er grensekostnaden — den tilnærma kostnaden ved å produsere éi eining til.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Gjennomsnittleg vekstfart	Endring delt på intervallengd (sekant)
Momentan vekstfart	Den deriverte i punktet (tangent)
Grensekostnad	$K'(x)$ , kostnadsauken per ekstra eining

Viktige formlar

- Gjennomsnittleg vekstfart:

\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

- Momentan vekstfart:

f'(a)

- Numerisk:

f'(a) \approx \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

for liten

h

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.