3.9 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

To måter å måle fart på

Styremøtet er i gang, og økonomisjefen viser frem kostnadskurven. «Hvor raskt vokser kostnadene våre?» spør styrelederen. Det høres ut som ett spørsmål, men det er faktisk to. Mener hun gjennomsnittet over det siste året? Eller veksttakten akkurat nå, denne uken, ved dagens produksjonsnivå?

Vekstfart handler om hvor raskt en størrelse endrer seg, og vi møter det daglig: hastigheten til en bil, prisøkningen på en vare, veksten i en populasjon. Matematikken skiller skarpt mellom de to tolkningene. Gjennomsnittlig vekstfart måles over et intervall og er stigningstallet til en sekant. Momentan vekstfart måles i ett punkt og er stigningstallet til tangenten -- altså den deriverte.

I S1 er dette skillet ekstra viktig fordi det kobler derivasjon til økonomi: den momentane vekstfarten til en kostnadsfunksjon har til og med sitt eget navn -- marginalkostnad. I dette kapittelet lærer du å beregne begge typer vekstfart, tolke dem, og estimere dem når du bare har en tabell med målinger.

Sekanten -- gjennomsnittet over et intervall

Den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon $f$ over intervallet $[a, b]$ er gitt ved differansekvotienten

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Geometrisk er dette stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(a, f(a))$ og $(b, f(b))$ -- en rett linje trukket mellom start og slutt, som ignorerer alt som skjer imellom.

La oss regne på en bedrift der inntekten i tusen kroner er $I(x) = 50x - 0{,}5x^2$, der $x$ er antall solgte enheter. Hva er den gjennomsnittlige inntektsøkningen per enhet når salget øker fra 10 til 20 enheter? Vi beregner $I(10) = 500 - 50 = 450$ og $I(20) = 1000 - 200 = 800$, og dermed

$$\frac{I(20) - I(10)}{20 - 10} = \frac{800 - 450}{10} = 35 \text{ tusen kr per enhet}$$

I gjennomsnitt gir altså hver enhet i dette intervallet 35 000 kr i ekstra inntekt. Men merk hva tallet ikke sier: det sier ingenting om hva som skjer ved nøyaktig $x = 15$. Kanskje var inntektsveksten 40 i starten av intervallet og 30 mot slutten -- gjennomsnittet glatter over alle detaljene, akkurat som gjennomsnittsfarten på en biltur skjuler både køen og forbikjøringene.

Tangenten -- farten akkurat nå, og marginalkostnaden

For å svare på «akkurat nå» krymper vi intervallet. Den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $x = a$ er grenseverdien av differansekvotienten når intervallet går mot null:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Geometrisk er dette stigningstallet til tangenten i punktet $(a, f(a))$ -- den momentane vekstfarten er altså den deriverte.

La oss se hva dette gir i økonomien. En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 200$, der $x$ er antall produserte enheter i tusen og $K$ er kostnaden i tusen kroner. Først gjennomsnittet fra $x = 10$ til $x = 20$: vi regner ut $K(10) = 20 - 150 + 500 + 200 = 570$ og $K(20) = 160 - 600 + 1000 + 200 = 760$, så den gjennomsnittlige vekstfarten er $\displaystyle \frac{760 - 570}{10} = 19$ -- kostnadene øker i snitt med 19 000 kr per tusen enheter i dette intervallet.

Så det momentane bildet ved $x = 10$. Vi deriverer: $K'(x) = 0{,}06x^2 - 3x + 50$, og

$$K'(10) = 6 - 30 + 50 = 26$$

Ved produksjonsnivået 10 (tusen enheter) vokser kostnadene med 26 000 kr per tusen enheter. I økonomi kalles $K'(x)$ for grensekostnaden eller marginalkostnaden: den forteller omtrent hva det koster å produsere én enhet til ved dagens nivå. Legg merke til forskjellen fra gjennomsnittet (19): ved akkurat $x = 10$ er kostnadsveksten brattere enn snittet over hele intervallet. Det er denne typen presisjon styrelederen egentlig spør etter -- og som blir helt sentral i kapittel 4.

Når du bare har en tabell -- numerisk estimering

I virkeligheten har vi ofte ingen formel, bare målinger. Da kan vi likevel estimere den momentane vekstfarten numerisk: velg en liten $h$ og beregn

$$f'(a) \approx \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Har vi formelen, men vil regne numerisk, velger vi typisk $h = 0{,}001$ eller $h = 0{,}0001$ for god nøyaktighet. Ofte får vi et enda bedre estimat med den symmetriske differansekvotienten, som bruker punkter på begge sider:

$$f'(a) \approx \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$$

La oss bruke dette på ekte måledata. Temperaturen i en ovn er målt hvert 5. minutt:

Vi kunne også brukt fremoverdifferansen $\displaystyle \frac{T(15) - T(10)}{5} = \frac{38}{5} = 7{,}6$ eller bakoverdifferansen $\displaystyle \frac{T(10) - T(5)}{5} = \frac{55}{5} = 11{,}0$. De spriker -- fordi temperaturveksten bremser opp -- og den symmetriske, som balanserer begge sider, gir normalt det beste estimatet. Etter 10 minutter stiger temperaturen altså med omtrent 9,3 grader per minutt.

Oppsummering

Spørsmålet «hvor raskt vokser det?» har to presise svar. Den gjennomsnittlige vekstfarten over $[a, b]$ er $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ -- stigningstallet til sekanten, et gjennomsnitt som glatter over detaljene. Den momentane vekstfarten i $x = a$ er $f'(a)$ -- stigningstallet til tangenten, farten akkurat der og da.

For kostnadsfunksjonen $K$ fant vi gjennomsnittlig vekst 19 tusen kr per tusen enheter over intervallet, men momentan vekst $K'(10) = 26$ ved nivået 10. Den momentane vekstfarten til en kostnadsfunksjon har sitt eget navn i økonomien: marginalkostnaden -- den tilnærmede kostnaden ved å produsere én enhet til.

Når vi bare har tabellverdier, estimerer vi numerisk: $\displaystyle f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ for liten $h$, eller enda bedre med den symmetriske differansekvotienten $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$ -- slik vi fant at ovnstemperaturen steg med 9,3 °C/min.

Skillet mellom sekant og tangent, gjennomsnitt og øyeblikk, er selve broen mellom derivasjon og økonomi -- og i kapittel 4 går vi over den broen for fullt.