3.1 Grenser og kontinuitet | Matematikk S1

Grenseverdier og kontinuitet for funksjoner.

50 min

17 oppgaver

GrenseverdiKontinuitetEnsidig grenseUendelig

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

3.2Definisjon av derivasjon 3.9Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Hva er den deriverte?

Den deriverte til en funksjon beskriver hvor raskt funksjonen endrer seg. Den deriverte er:
- Stigningstallet til tangenten til grafen i et punkt
- Den momentane vekstfarten

Vi skriver den deriverte til $f$ som $f'(x)$ eller $\displaystyle \frac{df}{dx}$ .

Den deriverte

f

Geometrisk tolkning

Når $h \to 0$ , nærmer sekanten seg tangenten til kurven.

Den deriverte $f'(a)$ er altså stigningstallet til tangenten til grafen $y = f(x)$ i punktet $(a, f(a))$ .

Tangentens likning i punktet $(a, f(a))$ :
$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

✏️Derivere fra definisjonen

Bruk definisjonen til å derivere $f(x) = x^2$ .

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

$= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (2x + h)$

$= 2x$

Svar: $f'(x) = 2x$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Tangenten og den deriverte

Tangenten til

f(x) = x^2

i punktet

(1, 1)

har stigningstall

f'(1) = 2

. Dra punktet

A

langs grafen og se hvordan tangentens stigningstall endrer seg — det er nettopp den deriverte.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
A = Punkt(f)
T = Tangent(A, f)
SetValue(A, (1, 1))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Vekstfart

Den deriverte gir oss den momentane vekstfarten:

- Gjennomsnittlig vekstfart fra $x$ til $x + h$ : $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
- Momentan vekstfart i $x$ : $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Anvendelser:
- Hvis $s(t)$ er posisjon ved tid $t$ , er $v(t) = s'(t)$ hastigheten
- Hvis $N(t)$ er antall, er $N'(t)$ vekstfarten

✏️Hastighet

En ball kastes rett opp. Høyden er gitt ved $h(t) = 20t - 5t^2$ meter etter $t$ sekunder. Finn hastigheten etter 2 sekunder.

Farten er den deriverte av høyden,

v(t) = h'(t)

. Vi bruker definisjonen i

t = 2

$h(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 20$

$\begin{aligned} h(2 + k) &= 20(2 + k) - 5(2 + k)^2 \\ &= 40 + 20k - 20 - 20k - 5k^2 \\ &= 20 - 5k^2 \end{aligned}$

$\frac{h(2 + k) - h(2)}{k} = \frac{-5k^2}{k} = -5k$

$h'(2) = \lim_{k \to 0} (-5k) = 0$

Svar: Farten etter 2 sekunder er 0 m/s. Ballen er da på toppen.

Flere notasjoner for den deriverte:
- Lagranges notasjon: $f'(x)$ , $y'$
- Leibniz' notasjon: $\displaystyle \frac{df}{dx}$ , $\displaystyle \frac{dy}{dx}$
- Den dobbeltderiverte: $\displaystyle f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2}$ (deriverte av den deriverte)

I oppgave 3, 6, 7, 10 og 11 kan du bruke regelen $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ og at konstantledd har derivert 0. Reglene utleder vi i 3.2. Du kan også finne de deriverte med definisjonen.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Bruk definisjonen til å derivere $f(x) = 3x$ .

Bruk definisjonen til å derivere $g(x) = 5$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn stigningstallet til tangenten til $f(x) = x^2$ i punktet der $x = 3$ .

Skriv opp tangentens likning.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn $f'(2)$ for $f(x) = x^2 + 4x$ ved å bruke $f'(x) = 2x + 4$ .

Skriv opp tangentens likning til $f$ i $x = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Bruk definisjonen til å derivere $f(x) = x^3$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = x^2$ fra $x = 1$ til $x = 3$ .

Finn momentan vekstfart i $x = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Høyden til en ball er $h(t) = 30t - 5t^2$ meter. Finn hastigheten når $t = 1$ .

Når er ballen på toppen?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

For hvilken $x$ -verdi er tangenten til $f(x) = x^2 - 4x$ horisontal?

Hva er funksjonsverdi i dette punktet?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Bruk definisjonen til å derivere $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn $a$ slik at tangenten til $f(x) = x^2$ i $x = a$ går gjennom origo.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn likningen til tangenten til $f(x) = x^2 - 2x + 3$ som har stigningstall 4.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Posisjon er $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ m. Finn når partikkelen er i ro.

Finn akselerasjonen når $t = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at tangentene til $f(x) = x^2$ i punktene $(-2, 4)$ og $(2, 4)$ skjærer hverandre på $y$ -aksen.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Den deriverte $f'(x)$ er den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $x$ — definert som grenseverdien av gjennomsnittlig vekstfart: $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .
- Geometrisk tolkning: $f'(a)$ er stigningstallet til tangenten i punktet $(a, f(a))$ .
- Vekstfart: For en posisjonsfunksjon $s(t)$ er $s'(t)$ farten ved tiden $t$ .
- Notasjon: $f'(x)$ , $y'$ og $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ betyr det samme.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Derivert	Momentan vekstfart / tangentens stigningstall
Sekant	Linje gjennom to punkter på grafen
Tangent	Linje som berører grafen i ett punkt
Differansekvotient	$\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Viktige formler

f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}

- Tangenten i

(a, f(a))

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.