3.1 Grenser og kontinuitet

Hvor raskt vokser salget akkurat nå?

Tenk deg at du driver en liten nettbutikk. På skjermen foran deg ligger en graf som viser omsetningen uke for uke. Kurven peker oppover -- bra! Men investoren du møter i morgen kommer til å stille et mye skarpere spørsmål: «Hvor raskt vokser salget akkurat nå?» Ikke i gjennomsnitt siden nyttår, ikke over de siste tre månedene -- men i dette øyeblikket.

Det spørsmålet høres enkelt ut, men det skjuler en av de største ideene i matematikken: den deriverte. Den deriverte til en funksjon beskriver hvor raskt funksjonen endrer seg i hvert enkelt punkt. Geometrisk er den stigningstallet til tangenten til grafen, og praktisk er den den momentane veksthastigheten. Vi skriver den deriverte til $f$ som $f'(x)$ eller $\displaystyle \frac{df}{dx}$.

I dette kapittelet skal vi bygge dette verktøyet fra grunnen av -- og du vil se at det samme verktøyet brukes til alt fra fart på en ball til kostnadsanalyse i en bedrift.

Fra gjennomsnitt til øyeblikk -- definisjonen

La oss starte med det vi faktisk kan måle. Hvis vi kjenner funksjonsverdiene i to punkter, kan vi regne ut den gjennomsnittlige endringen mellom dem. Brøken

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

kalles differansekvotienten, og den representerer stigningstallet til en sekant -- en rett linje gjennom to punkter på grafen. Det er som å måle gjennomsnittsfarten på en biltur: total strekning delt på total tid.

Men investoren vår spurte om akkurat nå. Trikset er å la de to punktene gli mot hverandre: vi lar $h$ bli mindre og mindre. Den deriverte av $f$ i punktet $x$ er definert som grenseverdien

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

hvis denne grenseverdien eksisterer.

La oss prøve definisjonen på $f(x) = x^2$. Vi setter inn og regner:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$$

Vi faktoriserer ut $h$ i telleren og forkorter:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$

Altså er $f'(x) = 2x$. Legg merke til hva dette betyr: den deriverte er selv en funksjon. I punktet $x = 3$ endrer $f$ seg med fart $f'(3) = 6$, mens i $x = -1$ er farten $f'(-1) = -2$ -- der synker grafen.

Tangenten -- linjen som berører

Hva skjer geometrisk når $h \to 0$? Se for deg sekanten gjennom to punkter på grafen. Når det ene punktet glir mot det andre, vrir sekanten seg gradvis -- helt til den i grensen bare berører grafen i ett punkt. Denne linjen kalles tangenten, og den deriverte $f'(a)$ er nettopp stigningstallet til tangenten til grafen $y = f(x)$ i punktet $(a, f(a))$.

Dette gir oss en oppskrift på tangentens likning i punktet $(a, f(a))$:

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

La oss bruke den. For $f(x) = x^2$ vet vi at $f'(x) = 2x$. I punktet $(1, 1)$ er stigningstallet $f'(1) = 2$, og tangentens likning blir

$$y - 1 = 2(x - 1) \quad \Leftrightarrow \quad y = 2x - 1$$

Tegner du grafen til $x^2$ og linjen $y = 2x - 1$ sammen, ser du at linjen legger seg perfekt inntil kurven i punktet $(1, 1)$ -- den har nøyaktig samme retning som grafen der.

Tangenten er mer enn et pent bilde. Den er den beste lineære tilnærmingen til funksjonen nær punktet: zoomer du langt nok inn på en glatt kurve, ser den ut som en rett linje -- og den linjen er tangenten. Det er derfor den deriverte er så nyttig: den fanger funksjonens oppførsel i et punkt med ett eneste tall.

Vekstfart -- fra ballkast til bedrift

Nå skal vi se hvorfor den deriverte dukker opp overalt. Husk skillet: den gjennomsnittlige veksthastigheten fra $x$ til $x + h$ er differansekvotienten $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, mens den momentane veksthastigheten i $x$ er grenseverdien $f'(x)$.

Ta et klassisk eksempel. En ball kastes rett opp, og høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = 20t - 5t^2$ meter. Farten er den deriverte av posisjonen: $v(t) = h'(t) = 20 - 10t$. Etter 2 sekunder er farten

$$v(2) = 20 - 10 \cdot 2 = 0 \text{ m/s}$$

Null fart! Ballen står stille et øyeblikk -- den er på toppen av banen. Slik avslører den deriverte vendepunktet i historien, bokstavelig talt.

Det samme mønsteret gjelder alle størrelser som endrer seg: Hvis $s(t)$ er posisjonen ved tid $t$, er $v(t) = s'(t)$ hastigheten. Hvis $N(t)$ er antall kunder, er $N'(t)$ hvor raskt kundemassen vokser. Og i kapitlene om økonomi skal vi se at hvis $K(x)$ er kostnaden ved å produsere $x$ enheter, forteller $K'(x)$ omtrent hva neste enhet koster.

Til slutt litt om skrivemåter, for du vil møte flere. Lagranges notasjon er $f'(x)$ og $y'$, mens Leibniz' notasjon er $\displaystyle \frac{df}{dx}$ eller $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ -- de betyr nøyaktig det samme. Deriverer vi den deriverte én gang til, får vi den andrederiverte, skrevet $f''(x)$ eller $\displaystyle \frac{d^2f}{dx^2}$. Den får en hovedrolle senere, når vi skal skille toppunkter fra bunnpunkter.

Oppsummering

Vi startet med et spørsmål fra investoren: hvor raskt vokser salget akkurat nå? Svaret er den deriverte -- den momentane vekstfarten til en funksjon. Den er definert som grenseverdien av gjennomsnittlig vekstfart:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Brøken inni grenseverdien kalles differansekvotienten og er stigningstallet til en sekant gjennom to punkter på grafen. Når $h \to 0$, blir sekanten til en tangent, og $f'(a)$ er tangentens stigningstall i punktet $(a, f(a))$. Tangentens likning er $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Vi brukte definisjonen til å vise at $f(x) = x^2$ gir $f'(x) = 2x$, og vi så at den deriverte tolkes som vekstfart: for en posisjonsfunksjon $s(t)$ er $s'(t)$ farten, og for en kostnadsfunksjon $K(x)$ forteller $K'(x)$ omtrent hva neste enhet koster. Skrivemåtene $f'(x)$, $y'$ og $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ betyr det samme, og $f''(x)$ er den andrederiverte. I neste kapittel slipper vi å bruke definisjonen hver gang -- da lærer vi derivasjonsreglene.