3.2 Definisjon av derivasjon | Matematikk S1

Den deriverte som grenseverdi av sekantens stigningstall.

55 min

17 oppgaver

DerivasjonSekantTangentMomentan vekstfartGrenseverdi

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenser og kontinuitet

Brukes videre i

3.3Derivasjonsregler

Grunnleggende derivasjonsregler

I stedet for å bruke definisjonen hver gang, bruker vi derivasjonsregler som gjør arbeidet mye enklere.

I 3.1 fant vi med definisjonen at $(x^2)' = 2x$ og $(x^3)' = 3x^2$ . Mønsteret er at eksponenten flyttes ned foran, og at den nye eksponenten blir én mindre. Det er potensregelen. I oppgave 11 viser du den for $n = 3$ og $n = 4$ med produktregelen.

📜Grunnleggende derivasjonsregler

Konstant:

(c)' = 0

Potensregelen: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Konstantmultiplikasjon: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$

Summeregel: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

Differanseregel: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

✏️Derivere polynom

Deriver $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$ .

Vi bruker potensregelen på hvert ledd:

$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 5 \cdot 2x + 2 - 0$
$= 12x^3 - 10x + 2$

Svar: $f'(x) = 12x^3 - 10x + 2$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Grafen til f og f' sammen

f(x) = x^3 - 3x

(blå) og den deriverte

f'(x) = 3x^2 - 3

(rød). Legg merke til at

f'

er null akkurat der

f

har topp- og bunnpunkt, og at

f'

er negativ der

f

synker.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^3 - 3x
g(x) = f'(x)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
Ekstremalpunkt(f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📜Produktregelen

Hvis

f(x) = u(x) \cdot v(x)

, så er:

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

Huskeregel: "derivert av første ganger andre pluss første ganger derivert av andre"

✏️Produktregelen

Deriver $f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)$ .

u = x^2 + 1

v = x^3 - 2x

u' = 2x

v' = 3x^2 - 2

$f'(x) = u'v + uv'$
$= 2x(x^3 - 2x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 2)$
$= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2$
$= 5x^4 - 3x^2 - 2$

Svar: $f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$

📜Brøkregelen

Hvis

\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

, så er:

f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}

Huskeregel: "derivert av teller ganger nevner minus teller ganger derivert av nevner, delt på nevner i andre"

✏️Brøkregelen

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ .

u = x^2 - 1

v = x + 2

u' = 2x

v' = 1

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$= \frac{2x(x + 2) - (x^2 - 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}$
$= \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 1}{(x + 2)^2}$
$= \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}$

Svar: $f'(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}$

Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner hører ikke til læreplanen i matematikk S1 (MAT04-02). Stoffet hører hjemme i S2. Du trenger det ikke til S1-eksamen. Oppgaver med $e^x$ , $a^x$ og $\ln x$ er merket «(Fordypning)».

📜Eksponential- og logaritmefunksjoner

Naturlig eksponential:

(e^x)' = e^x

Generell eksponential: $(a^x)' = a^x \cdot \ln(a)$

Naturlig logaritme: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Generell logaritme: $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$

✏️Eksponential- og logaritmefunksjoner

Deriver:
a) $f(x) = 3e^x + 2\ln x$
b) $g(x) = 5^x$

a) $\displaystyle f'(x) = 3e^x + \frac{2}{x}$

b) $g'(x) = 5^x \cdot \ln(5) \approx 1{,}61 \cdot 5^x$

Svar: a) $\displaystyle f'(x) = 3e^x + \frac{2}{x}$ b) $g'(x) = 5^x \ln 5$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = x^5$ .

Deriver $g(x) = x^{-2}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$ .

Deriver $\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x^6 - 3x^2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ .

Deriver $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

(Fordypning) Deriver $f(x) = 2e^x - 5\ln x$ .

(Fordypning) Deriver $g(x) = 3 \cdot 2^x$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

(Fordypning) Bruk produktregelen til å derivere $f(x) = x^2 \cdot e^x$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Bruk produktregelen til å derivere $f(x) = (x + 1)(x^2 - 3)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Bruk brøkregelen til å derivere $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

(Fordypning) Bruk brøkregelen til å derivere $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

(Fordypning) Deriver $f(x) = x \cdot \ln x$ .

Finn $f'(e)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Vis at $(x^3)' = 3x^2$ ved å bruke produktregelen på $f(x) = x \cdot x^2$ og at $(x^2)' = 2x$ .

Bruk resultatet i a) og produktregelen på $g(x) = x \cdot x^3$ til å vise at $(x^4)' = 4x^3$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

(Fordypning) Finn $f'(x)$ og $f''(x)$ for $f(x) = x^3e^x$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grunnregler: $(c)' = 0$ , $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(cf)' = cf'$ , $(f \pm g)' = f' \pm g'$ .
- Produktregelen: $(uv)' = u'v + uv'$ .
- Brøkregelen: $\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
- Eksponential og logaritme: $(e^x)' = e^x$ , $(a^x)' = a^x \ln a$ , $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Potensregelen	$(x^n)' = nx^{n-1}$
Produktregelen	Derivasjon av produkt av to funksjoner
Brøkregelen	Derivasjon av brøk
Naturlig logaritme	$\ln x$ , har derivert $\displaystyle \frac{1}{x}$

Viktige formler

(x^n)' = nx^{n-1}

(uv)' = u'v + uv'

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

(e^x)' = e^x

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

(a^x)' = a^x \ln a

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.