3.2 Definisjon av derivasjon

Verktøykassen som sparer deg for timevis med arbeid

I forrige kapittel deriverte vi $f(x) = x^2$ ved hjelp av definisjonen -- en hel grenseverdiberegning for én eneste funksjon. Se nå for deg at du jobber som analytiker i en bedrift, og sjefen sender deg en kostnadsmodell med ledd som $3x^4$, en brøk av to polynomer og en eksponentialfunksjon. Skulle du brukt definisjonen på alt dette, hadde dagen vært over før du var ferdig med første ledd.

Heldigvis har matematikere gjort grovarbeidet én gang for alle. Resultatet er derivasjonsreglene: en verktøykasse av ferdige formler som lar oss derivere nesten hva som helst på sekunder. I dette kapittelet lærer du grunnreglene for polynomer, produktregelen, kvotientregelen og reglene for eksponential- og logaritmefunksjoner. Med disse i hånden blir derivasjon håndverk i stedet for slit.

Grunnreglene -- polynomer på samlebånd

Det første verktøyet er en liten samling regler som til sammen tar hånd om alle polynomer.

En konstant endrer seg aldri, så dens deriverte er null: $(c)' = 0$. Potensregelen sier at $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ -- eksponenten hopper ned som faktor, og den nye eksponenten blir én lavere. Konstantfaktorer blir med på lasset: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Og summer og differanser kan deriveres ledd for ledd: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$ og $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

La oss bruke hele verktøysettet på ett polynom. Vi skal derivere

$$f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$$

Vi tar ett ledd om gangen. Potensregelen på $x^4$ gir $4x^3$, og konstanten 3 blir med: $3 \cdot 4x^3 = 12x^3$. På samme måte gir $-5x^2$ leddet $-5 \cdot 2x = -10x$. Leddet $2x$ har derivert $2$ (siden $(x)' = 1$), og konstanten $-7$ forsvinner helt. Til sammen:

$$f'(x) = 12x^3 - 10x + 2$$

Sammenlign dette med grenseverdiregningen i forrige kapittel -- det som før tok en halv side, tar nå tre linjer. Legg også merke til mønsteret: et fjerdegradspolynom fikk en tredjegrads derivert. Graden synker alltid med én når vi deriverer et polynom.

Produkter og brøker -- når funksjoner samarbeider

Hva om funksjonen er et produkt av to uttrykk? Da frister det å derivere hver faktor for seg og gange sammen -- men det er feil! Derivasjon av produkter følger sin egen regel.

Produktregelen: Hvis $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, så er

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Huskeregelen er «derivert av første ganger andre, pluss første ganger derivert av andre». La oss derivere $f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)$. Vi setter $u = x^2 + 1$ og $v = x^3 - 2x$, slik at $u' = 2x$ og $v' = 3x^2 - 2$. Da blir

$$f'(x) = 2x(x^3 - 2x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 2) = 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2 = 5x^4 - 3x^2 - 2$$

For brøker finnes en tilsvarende regel. Kvotientregelen: Hvis $\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, så er

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Huskeregelen: «derivert av teller ganger nevner, minus teller ganger derivert av nevner -- delt på nevner i andre». Merk minustegnet: i kvotientregelen er rekkefølgen viktig!

Vi prøver på $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$. Med $u = x^2 - 1$, $v = x + 2$, $u' = 2x$ og $v' = 1$:

$$f'(x) = \frac{2x(x + 2) - (x^2 - 1) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}$$

Eksponentialfunksjoner og logaritmer -- vekstens egne funksjoner

Økonomiske modeller er fulle av eksponentiell vekst: sparekontoer, inflasjon, kundevekst. Derfor trenger vi regler for eksponential- og logaritmefunksjoner også.

Den mest bemerkelsesverdige regelen først: den naturlige eksponentialfunksjonen er sin egen deriverte,

$$(e^x)' = e^x$$

Funksjonen $e^x$ vokser altså i hvert punkt med en fart som er nøyaktig lik sin egen verdi. Det er nettopp denne egenskapen som gjør tallet $e \approx 2{,}718$ så spesielt.

For en generell eksponentialfunksjon med grunntall $a$ dukker det opp en konstant: $(a^x)' = a^x \cdot \ln(a)$. For den naturlige logaritmen gjelder $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$, og for en generell logaritme $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$.

La oss bruke reglene. For $f(x) = 3e^x + 2\ln x$ deriverer vi ledd for ledd:

$$f'(x) = 3e^x + \frac{2}{x}$$

Og for $g(x) = 5^x$ får vi

$$g'(x) = 5^x \cdot \ln(5) \approx 1{,}61 \cdot 5^x$$

Tolkningen er verdt å stoppe ved: en størrelse som femdobles per tidsenhet, vokser i hvert øyeblikk med omtrent 1,61 ganger sin egen verdi. Vekstfarten til en eksponentialfunksjon er alltid proporsjonal med funksjonsverdien -- jo større beholdningen er, desto raskere vokser den. Det er den matematiske kjernen i alt fra rentesrente til virusspredning.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi fylt verktøykassen. Grunnreglene håndterer polynomer: $(c)' = 0$, potensregelen $(x^n)' = nx^{n-1}$, konstantfaktorer følger med, og summer deriveres ledd for ledd: $(f \pm g)' = f' \pm g'$. Slik fant vi at $3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$ har derivert $12x^3 - 10x + 2$.

Produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ og kvotientregelen $\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ tar hånd om produkter og brøker -- husk at man aldri bare kan derivere faktorene hver for seg.

For vekstfunksjonene gjelder $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$, $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ og $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Den vakreste innsikten er at $e^x$ er sin egen deriverte, og at eksponentiell vekst alltid har vekstfart proporsjonal med sin egen størrelse.

Med disse reglene deriverer du raskt og sikkert -- men én type funksjon mangler fortsatt: funksjoner inni andre funksjoner, som $e^{2x+1}$. Det er tema for neste kapittel: kjerneregelen.