3.7 Derivasjon av sammensatte funksjoner | Matematikk S1

Implisitt derivasjon

Nokre gonger er samanhengen mellom $x$ og $y$ gitt ved ei likning (t.d. $x^2 + y^2 = 25$ ) utan at $y$ er løyst ut. Vi finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved å derivere begge sider med omsyn på $x$ og bruke kjerneregelen på $y$ -ledda:

$\frac{d}{dx}[y^n] = n \cdot y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}$

Framgangsmåte:
1. Deriver begge sider med omsyn på

x

2. Kvart

y

-ledd gir ein faktor

\displaystyle \frac{dy}{dx}

(kjerneregelen)
3. Samle alle

\displaystyle \frac{dy}{dx}

-ledd på éi side
4. Faktoriser ut

\displaystyle \frac{dy}{dx}

og del

✏️Eksempel 1: Sirkel

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $x^2 + y^2 = 25$ .

Deriver: $\displaystyle 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ . Løys: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

I $(3,4)$ : $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$ .

✏️Eksempel 2: Produkt av x og y

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $xy + y^2 = 1$ .

Produktregelen på

xy

\displaystyle y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0

$\frac{dy}{dx}(x+2y) = -y \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x+2y}$

📝Oppgave 3.7.1

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon.

x^2 + y^2 = 16

3x + 4y = 12

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.2

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

x^2y + xy^2 = 6

\sin(y) = x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.3

Finn tangentlinja til $x^2 + xy + y^2 = 7$ i punktet $(1,2)$ .

📝Oppgave 3.7.4

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $e^{xy} = x + y$ .

📝Oppgave 3.7.5

Vis at tangenten til ellipsen $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ i $(x_0,y_0)$ er $\displaystyle \frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Implisitt derivasjon: Når $y$ er gitt implisitt ved ei likning, deriverer vi begge sider med omsyn på $x$ og hugsar at $y$ er ein funksjon av $x$ : $(y^2)' = 2y \cdot y'$ .
- Framgangsmåte: Deriver kvart ledd, samle alle ledd med $y'$ , og løys for $y'$ .
- Bruk: Finne stigingstal til tangentar på kurver som sirklar og hyperblar, der $y$ ikkje enkelt kan isolerast.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Implisitt likning	Likning som bind $x$ og $y$ saman utan at $y$ er isolert
$y'$	Den deriverte av $y$ med omsyn på $x$
Kjerneregel på $y$	$(y^n)' = ny^{n-1}y'$

Viktige formlar

(y^2)' = 2yy'

(xy)' = y + xy'

(produktregel)
- Sirkelen

x^2 + y^2 = r^2

har

y' = -\dfrac{x}{y}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver