1.8 Andregradsfunksjonar og -likningar

Abc-formelen, diskriminant, toppunkt, faktorisering og optimalisering.

60 min

12 oppgaver

AndregradsfunksjonAbc-formelenDiskriminantToppunktFaktorisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Andregradsfunksjonar

Ein andregradsfunksjon har forma:

$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

Grafen til ein andregradsfunksjon er ein parabel:
- Dersom $a > 0$ , peikar parabelen oppover (botnpunkt).
- Dersom $a < 0$ , peikar parabelen nedover (toppunkt).

Andregradsfunksjonar blir mykje brukte i S1 til å modellere situasjonar der veksten ikkje er konstant, til dømes inntekter, areal og rørsle.

Andregradslikningar

Ei andregradslikning har den generelle forma:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

Løysingane til denne likninga blir kalla nullpunkta til funksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ , og dei kan finnast ved hjelp av abc-formelen.

📜abc-formelen

Likninga

ax^2 + bx + c = 0

har løysingane:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Utleiing: Vi fullstendiggjer kvadratet. Vi deler på $a$ og legg til $\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2$ på begge sider:

$ax^2 + bx + c = 0$
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Diskriminanten

ax^2 + bx + c = 0

✏️Døme 1: Bruk av abc-formelen

Løys likninga $2x^2 - 5x - 3 = 0$ .

Løysing:

Her er $a = 2$ , $b = -5$ og $c = -3$ .

Diskriminanten:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Sidan $D > 0$ , har vi to løysingar:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$

$x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3 \qquad x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$

Svar: $x = 3$ eller $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ .

Toppunkt, botnpunkt og symmetriakse

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Døme 2: Finn toppunkt og skisser graf

Gitt $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ . Finn toppunkt, nullpunkt, symmetriakse og skisser grafen.

Løysing:

Toppunkt: $a = -1$ , $b = 6$ , $c = -5$ .

$x_T = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
$y_T = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$

Toppunktet er $(3, 4)$ . Symmetriaksen er $x = 3$ .

Nullpunkt: $-x^2 + 6x - 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0$

$D = 36 - 20 = 16$
$x = \frac{6 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = 5, \quad x_2 = 1$

Toppunktform: $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$

Grafen: Parabelen peikar nedover ( $a = -1 < 0$ ), har toppunkt i $(3, 4)$ og kryssar $x$ -aksen i $(1, 0)$ og $(5, 0)$ . $y$ -akseskjering: $f(0) = -5$ .

Parabelen f(x) = −x² + 6x − 5 med toppunkt (3, 4), nullpunkt (1, 0) og (5, 0), skjering med y-aksen i (0, −5) og stipla symmetriakse x = 3.

Svar: Toppunkt $(3, 4)$ , nullpunkt $x = 1$ og $x = 5$ , symmetriakse $x = 3$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Andregradsfunksjonen

Parabelen

f(x) = x^2 - 2x - 3

med nullpunkt og toppunkt/botnpunkt markert. Endre koeffisientane og sjå korleis nullpunkta og ekstremalpunktet flyttar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2 - 2x - 3
Nullpunkt(f)
E = Ekstremalpunkt(f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Faktorisering av andregradsuttrykk

Når vi kjenner nullpunkta $x_1$ og $x_2$ , kan vi faktorisere:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Spesialtilfelle:
- Dobbeltrot ( $D = 0$ ): $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$
- Ingen reelle nullpunkt ( $D < 0$ ): uttrykket kan ikkje faktoriserast over dei reelle tala

Faktorisering er nyttig for å løyse ulikskapar, forenkle brøkuttrykk og forstå korleis grafen oppfører seg.

Hugs at $a$ -verdien framfor parentesane må vere med når du faktoriserer. Til dømes: $2x^2 - 10x + 12 = 2(x - 2)(x - 3)$ , ikkje $(x - 2)(x - 3)$ .

✏️Døme 3: Optimalisering

Ein bonde har 120 meter gjerde og vil lage ei rektangulær innhegning langs ein vegg (slik at berre tre sider treng gjerde). Finn dimensjonane som gir størst mogleg areal.

Løysing:

Lat $x$ = lengda på dei to sidene vinkelrett på veggen, og $y$ = lengda langs veggen.

Vilkår: $2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x$

Areal: $A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$

Dette er ein andregradsfunksjon med $a = -2 < 0$ , så han har eit maksimum.

Toppunkt:
$x_T = -\frac{120}{2 \cdot (-2)} = 30$

$y = 120 - 2 \cdot 30 = 60$

$A_{\max} = 30 \cdot 60 = 1800$

Svar: Innhegninga bør ha sider $30$ m og $60$ m langs veggen, noko som gir eit areal på $1800$ m $^2$ .

📝Oppgave 1.8.1

Løys andregradslikningane med abc-formelen.

x^2 - 5x + 6 = 0

2x^2 + 3x - 2 = 0

x^2 + 4x + 4 = 0

3x^2 - x - 4 = 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.2

Bruk diskriminanten til å avgjere kor mange løysingar likninga har (utan å løyse henne).

3x^2 - 2x + 5 = 0

4x^2 - 12x + 9 = 0

x^2 + x - 6 = 0

5x^2 + 2x + 1 = 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.3

Gitt $f(x) = x^2 - 8x + 12$ .

Finn nullpunkta til $f$ .

Finn toppunktet (botnpunktet) til parabelen.

Skriv $f(x)$ på toppunktform.

Faktoriser $f(x)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.4

Ei bedrift sel $x$ einingar av eit produkt til prisen $p(x) = 500 - 2x$ kr per eining. Produksjonskostnaden per eining er 100 kr, og faste kostnader er 10 000 kr.

Finn inntektsfunksjonen $I(x) = x \cdot p(x)$ .

Finn kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Finn overskotsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ .

Finn det talet på einingar som gir størst overskot, og rekn ut overskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.5

For kva verdi av $k$ har likninga $x^2 - 6x + k = 0$ nøyaktig éi løysing?

📝Oppgave 1.8.6

Ein ball blir kasta opp frå bakken med ein startfart på 20 m/s. Høgda etter $t$ sekund er gitt ved $h(t) = 20t - 5t^2$ .

Når er ballen på 15 meters høgd?

Finn den maksimale høgda.

Når treffer ballen bakken igjen?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Andregradsfunksjon: $f(x) = ax^2 + bx + c$ har ein parabel som graf. Han vender den hole sida opp når $a > 0$ og ned når $a < 0$ .
- abc-formelen: Løyser $ax^2 + bx + c = 0$ . Diskriminanten $b^2 - 4ac$ avgjer talet på løysingar: to viss positiv, éi viss null, ingen viss negativ.
- Toppunkt/botnpunkt: Ligg på symmetriaksen $x = -\dfrac{b}{2a}$ .
- Faktorisering: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunkta.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Parabel	Grafen til ein andregradsfunksjon
Diskriminant	$b^2 - 4ac$ — avgjer talet på reelle løysingar
Symmetriakse	Vertikal linje $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ gjennom topp-/botnpunktet
Nullpunkt	$x$ -verdi der grafen kryssar $x$ -aksen

Viktige formlar

- abc-formelen:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

- Symmetriakse:

x = -\dfrac{b}{2a}

- Faktorisering:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.