1.7 Likningssett

Grafisk løsning, innsettingsmetoden, addisjonsmetoden og tolkning av løsninger.

55 min

11 oppgaver

LikningssettInnsettingsmetodenAddisjonsmetodenGrafisk løsning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.6Rette linjer og ettpunktsformelen

Lineære likningssett

Eit lineært likningssett med to ukjende $x$ og $y$ består av to eller fleire lineære likningar som skal løysast samtidig:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Løysinga er dei verdiane av $x$ og $y$ som oppfyller begge likningane samtidig.

Geometrisk representerer kvar likning ei rett linje i koordinatsystemet, og løysinga er skjeringspunktet mellom dei to linjene.

Grafisk løysing

Den enklaste metoden er å teikne begge linjene i eit koordinatsystem og lese av skjeringspunktet.

Framgangsmåte:
1. Skriv begge likningane på forma $y = ax + b$ .
2. Teikn begge linjene i eit koordinatsystem.
3. Les av koordinatane til skjeringspunktet.

Fordel: Gjev ei god visuell forståing av problemet.
Ulempe: Vanskeleg å lese av nøyaktige verdiar, særleg for brøkar og desimaltal.

Geometrisk tolking av likningssett

a_1 \neq a_2

Innsetjingsmetoden

Innsetjingsmetoden (substitusjonsmetoden) går ut på å løyse ei likning for ei av dei ukjende og setje uttrykket inn i den andre likninga.

Framgangsmåte:
1. Løys den eine likninga for $x$ eller $y$ .
2. Set uttrykket inn i den andre likninga.
3. Løys den nye likninga (med berre éi ukjend).
4. Set verdien tilbake for å finne den andre ukjende.

Metoden fungerer best når ein av koeffisientane er 1 eller $-1$ , slik at vi unngår brøkar.

✏️Eksempel 1: Innsetjingsmetoden

Løys likningssettet:

$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$

Løysing:

Steg 1: Løys likning (I) for $y$ :
$y = 7 - 2x$

Steg 2: Set inn i likning (II):
$x - 3(7 - 2x) = -6$
$x - 21 + 6x = -6$
$7x = 15$
$x = \frac{15}{7}$

Steg 3: Finn $y$ :
$y = 7 - 2 \cdot \frac{15}{7} = \frac{49 - 30}{7} = \frac{19}{7}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{15}{7}$ og $\displaystyle y = \frac{19}{7}$ .

Kontroll i (II): $\displaystyle \frac{15}{7} - 3 \cdot \frac{19}{7} = \frac{15 - 57}{7} = \frac{-42}{7} = -6$ ✓

Addisjonsmetoden

Addisjonsmetoden (eliminasjonsmetoden) går ut på å leggje saman eller trekkje frå likningane slik at ei av dei ukjende forsvinn.

Framgangsmåte:
1. Multipliser eventuelt den eine eller begge likningane med passande tal slik at koeffisienten framføre ei av dei ukjende blir lik (med motsett forteikn).
2. Adder dei to likningane.
3. Løys likninga med éi ukjend.
4. Set verdien inn i ei av dei opphavlege likningane for å finne den andre ukjende.

Metoden fungerer godt når koeffisientane er heiltal, og vi kan unngå brøkar.

✏️Eksempel 2: Addisjonsmetoden

Løys likningssettet:

$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$

Løysing:

Vi ser at koeffisientane framføre $y$ allereie har motsett forteikn ( $+2$ og $-2$ ), så vi legg saman likningane:

$\begin{aligned} 3x + 2y &= 12 \\ + \; 5x - 2y &= 4 \\ \hline 8x &= 16 \end{aligned}$

$x = 2$

Set inn i (I): $3 \cdot 2 + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ .

Svar: $x = 2$ og $y = 3$ .

Kontroll i (II): $5 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 10 - 6 = 4$ ✓

✏️Eksempel 3: Praktisk problem

Ein kinobillettbutikk sel vaksenbillettar for 150 kr og barnebillettar for 90 kr. Ein dag selde dei til saman 200 billettar og hadde ei inntekt på 24 600 kr. Kor mange vaksenbillettar og kor mange barnebillettar blei selde?

Løysing:

Lat $v$ = talet på vaksenbillettar og $b$ = talet på barnebillettar.

$\begin{cases} v + b = 200 \\ 150v + 90b = 24\,600 \end{cases}$

Frå likning (I): $v = 200 - b$ . Set inn i (II):

$150(200 - b) + 90b = 24\,600$
$30\,000 - 150b + 90b = 24\,600$
$-60b = -5\,400$
$b = 90$

Då er $v = 200 - 90 = 110$ .

Svar: Det blei selt 110 vaksenbillettar og 90 barnebillettar.

Kontroll: $110 + 90 = 200$ ✓ og $150 \cdot 110 + 90 \cdot 90 = 16\,500 + 8\,100 = 24\,600$ ✓

Spesialtilfelle

Ikkje alle likningssett har ei eintydig løysing.

Inga løysing: Dersom eliminasjonen gjev ei sjølvmotseiing (t.d. $0 = 5$ ), har likningssettet inga løysing. Geometrisk tyder dette at linjene er parallelle.

Uendeleg mange løysingar: Dersom eliminasjonen gjev ein identitet (t.d. $0 = 0$ ), har likningssettet uendeleg mange løysingar. Geometrisk tyder dette at linjene er identiske.

Det er viktig å kjenne att desse tilfella og kunne forklare kva som skjer geometrisk.

På S1-eksamen blir det forventa at du kan løyse likningssett med både innsetjingsmetoden og addisjonsmetoden. Vel den metoden som gjev enklast rekning. Hugs alltid å kontrollere svaret ved innsetjing i begge dei opphavlege likningane.

📝Oppgave 1.7.1

Løys likningssetta med innsetjingsmetoden.

\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}

\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}

\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 3y = 5 \end{cases}

📝Oppgave 1.7.2

Løys likningssetta med addisjonsmetoden.

\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 2x - y = 1 \end{cases}

\begin{cases} 4x + 5y = 23 \\ 3x + 5y = 20 \end{cases}

\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}

📝Oppgave 1.7.3

Avgjer om likningssettet har éi løysing, inga løysing eller uendeleg mange løysingar. Grunngi svaret.

\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}

\begin{cases} 3x + 6y = 9 \\ x + 2y = 5 \end{cases}

\begin{cases} 5x - 3y = 7 \\ 2x + y = 4 \end{cases}

📝Oppgave 1.7.4

Ein frukthandlar sel eple og pærer. Per kjøpte 3 kg eple og 2 kg pærer og betalte 110 kr. Lise kjøpte 2 kg eple og 4 kg pærer og betalte 120 kr. Finn kiloprisen for eple og pærer.

Set opp eit likningssett med $e$ = kilopris eple og $p$ = kilopris pærer.

Løys likningssettet.

📝Oppgave 1.7.5

Løys likningssettet:

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1 \end{cases}$

📝Oppgave 1.7.6

To tal har summen 50 og differansen 14. Finn tala. Deretter: Tre kaffiar og to bollar kostar 145 kr, medan to kaffiar og tre bollar kostar 130 kr. Finn prisen for ein kaffi og ein bolle.

Finn dei to tala med sum 50 og differanse 14.

Finn prisen for kaffi ( $k$ ) og bolle ( $b$ ).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineært likningssett: To likningar med to ukjende. Løysinga er skjeringspunktet mellom dei to linjene.
- Innsetjingsmetoden: Løys den eine likninga for éin variabel, og set uttrykket inn i den andre.
- Addisjonsmetoden: Gang likningane med passande tal slik at ein variabel forsvinn når du legg dei saman.
- Spesialtilfelle: Parallelle linjer gjev inga løysing, samanfallande linjer gjev uendeleg mange løysingar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Likningssett	Fleire likningar som skal gjelde samtidig
Innsetjingsmetoden	Setje uttrykk for éin variabel inn i den andre likninga
Addisjonsmetoden	Leggje saman likningar så ein variabel blir eliminert
Inkonsistent system	Likningssett utan løysing (parallelle linjer)

Viktige formlar

- Éi løysing: linjene skjer kvarandre (ulike stigingstal)
- Inga løysing: parallelle linjer (same stigingstal, ulikt konstantledd)
- Uendeleg mange: same linje

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.