1.6 Rette linjer og ettpunktsformelen

Stigningstall, ettpunktsformelen, topunktsformelen, parallelle og vinkelrette linjer.

50 min

11 oppgaver

StigningstallEttpunktsformelTopunktsformelParallelle linjerVinkelrette linjer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.7Likningssett

Rette linjer

Ei rett linje i eit koordinatsystem kan skildrast ved ei likning på forma $y = ax + b$ , der:
- $a$ er stigingstalet (kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med 1)
- $b$ er konstantleddet (der linja kryssar $y$ -aksen)

Rette linjer er fundamentale i matematikk og naturvitskap. Dei blir brukte til å modellere lineære samanhengar, til dømes prising, temperaturomrekning og rørsle med konstant fart.

I S1 treng vi meir presise metodar for å finne likninga til linja ut frå ulike opplysningar.

Stigingstal (helling)

a

Topunktsformelen

Når vi kjenner to punkt $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ på ei rett linje, kan vi finne likninga i to steg:

1. Rekn ut stigingstalet: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Set inn i $y = ax + b$ med eitt av punkta og løys for $b$ .

Alternativt kan vi bruke topunktsformelen direkte:

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Denne formelen uttrykkjer at stiginga mellom eit vilkårleg punkt $(x, y)$ på linja og $(x_1, y_1)$ er den same som stiginga mellom dei to kjende punkta.

Einpunktsformelen

a

✏️Eksempel 1: Einpunktsformelen

Finn likninga til linja som går gjennom punktet $(3, 5)$ og har stigingstal $a = 2$ .

Løysing:

Vi bruker einpunktsformelen $y - y_1 = a(x - x_1)$ med $(x_1, y_1) = (3, 5)$ og $a = 2$ :

$y - 5 = 2(x - 3)$
$y - 5 = 2x - 6$
$y = 2x - 1$

Svar: Linja har likninga $y = 2x - 1$ .

Kontroll: For $x = 3$ : $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ ✓

✏️Eksempel 2: Linje gjennom to punkt

Finn likninga til linja som går gjennom punkta $A(1, 4)$ og $B(4, -2)$ .

Løysing:

Steg 1: Finn stigingstalet:

$a = \frac{-2 - 4}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$

Steg 2: Bruk einpunktsformelen med punktet $(1, 4)$ :

$y - 4 = -2(x - 1)$
$y - 4 = -2x + 2$
$y = -2x + 6$

Svar: Linja har likninga $y = -2x + 6$ .

Kontroll: For $x = 4$ : $y = -2 \cdot 4 + 6 = -2$ ✓

📊Utforsk: Einpunktsformelen

Linja gjennom punktet $(2, 3)$ med stigingstal $\displaystyle -\frac{1}{2}$ , teikna med einpunktsformelen $y - y_1 = a(x - x_1)$ . Endre stigingstalet i uttrykket og sjå korleis linja vrir seg om punktet.

📜Parallelle og vinkelrette linjer

Lat $l_1$ ha stigingstal $a_1$ og $l_2$ ha stigingstal $a_2$ .

Parallelle linjer: $l_1 \parallel l_2 \iff a_1 = a_2$

To linjer er parallelle viss og berre viss dei har same stigingstal.

Vinkelrette linjer: $l_1 \perp l_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1$

To linjer er vinkelrette viss og berre viss produktet av stigingstala er $-1$ , det vil seie $\displaystyle a_2 = -\frac{1}{a_1}$ .

✏️Eksempel 3: Parallelle og vinkelrette linjer

Linja $l$ har likninga $y = 3x - 1$ . Finn likninga til:

a) linja $m$ som er parallell med $l$ og går gjennom $(2, 1)$

b) linja $n$ som er vinkelrett på $l$ og går gjennom $(6, 4)$

Løysing:

Linja $l$ har stigingstal $a_l = 3$ .

a) Parallell linje: $a_m = a_l = 3$ . Med einpunktsformelen:

$y - 1 = 3(x - 2)$
$y = 3x - 5$

b) Vinkelrett linje: $\displaystyle a_n = -\frac{1}{a_l} = -\frac{1}{3}$ . Med einpunktsformelen:

$y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 6)$
$y - 4 = -\frac{1}{3}x + 2$
$y = -\frac{1}{3}x + 6$

Svar: a) $y = 3x - 5$ , b) $\displaystyle y = -\frac{1}{3}x + 6$ .

Praktiske bruksområde

Rette linjer blir ofte brukte til å modellere samanhengar i røynda:

- Kostnadsfunksjonar: $K(x) = ax + b$ , der $a$ er variabel kostnad per eining og $b$ er faste kostnader
- Temperaturomrekning: $\displaystyle F = \frac{9}{5}C + 32$ (Celsius til Fahrenheit)
- Rørsle med konstant fart: $s(t) = v \cdot t + s_0$ , der $v$ er fart og $s_0$ startposisjon

Når vi kjenner to datapunkt, kan vi bruke topunktsformelen til å finne den lineære modellen.

Når du skal finne likninga til ei rett linje, sjekk alltid svaret ditt ved å setje inn eitt av dei kjende punkta. Dersom punktet ikkje tilfredsstiller likninga, har du gjort ein feil.

📝Oppgave 1.6.1

Finn likninga til linja med gitt stigingstal gjennom gitt punkt.

Stigingstal $a = 4$ gjennom $(1, 3)$ .

Stigingstal $\displaystyle a = -\frac{1}{2}$ gjennom $(4, 6)$ .

Stigingstal $a = 0$ gjennom $(2, 7)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.2

Finn likninga til linja gjennom dei to punkta.

(2, 3)

(5, 9)

(-1, 4)

(3, -4)

(0, -3)

(6, 0)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.3

Linja $l$ har likninga $y = -2x + 5$ .

Finn likninga til linja $m$ som er parallell med $l$ og går gjennom $(3, 1)$ .

Finn likninga til linja $n$ som er vinkelrett på $l$ og går gjennom $(0, -2)$ .

Finn skjeringspunktet mellom $l$ og $n$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.4

Ei bedrift har faste kostnader på 20 000 kr per månad. Når dei produserer 100 einingar, er totalkostnaden 45 000 kr. Vi går ut frå at samanhengen mellom talet på einingar $x$ og totalkostnaden $K(x)$ er lineær.

Finn kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Kva kostar det å produsere 200 einingar?

Kor mange einingar kan produserast for 100 000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.5

Bestem likninga til linja som står vinkelrett på linja $3x - 2y = 6$ og går gjennom punktet $(3, 1)$ .

📝Oppgave 1.6.6

Ein trekant har hjørne i $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ og $C(2, 8)$ .

Finn likninga til alle tre sidene i trekanten.

Finn likninga til høgda frå $C$ ned på $AB$ .

Finn likninga til midtnormalen til $AB$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stigingstal: $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ fortel kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med 1.
- Einpunktsformelen: Ei linje gjennom $(x_1, y_1)$ med stigingstal $a$ : $y - y_1 = a(x - x_1)$ .
- Parallelle linjer har same stigingstal. Vinkelrette linjer har stigingstal som oppfyller $a_1 \cdot a_2 = -1$ .
- Praktisk tolking: Stigingstalet er endring per eining (t.d. pris per km), konstantleddet er startverdien.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stigingstal	Endring i $y$ per eining auke i $x$
Konstantledd	$y$ -verdien der linja kryssar $y$ -aksen
Einpunktsformelen	$y - y_1 = a(x - x_1)$
Vinkelrette linjer	$a_1 \cdot a_2 = -1$

Viktige formlar

- Stigingstal:

a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

- Einpunktsformelen:

y - y_1 = a(x - x_1)

- Likninga til linja:

y = ax + b

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.