5.7 Linjer i rommet | Matematikk R2

Parameterframstilling og retningsvektor.

55 min

15 oppgaver

LinjeParameterframstillingRetningsvektorSkjæring

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Vektorkoordinater og regning

Brukes videre i

5.8Avstand punkt-linje og punkt-plan

Innleiing

Ei linje i rommet kan ikkje skildrast med éi enkelt likning slik som i planet. I staden bruker vi parameterframstilling, som skildrar alle punkt på linja ved hjelp av éin parameter.

I dette kapittelet skal vi lære å:
- Setje opp parameterframstilling for linjer
- Finne skjeringspunkt mellom linjer
- Klassifisere linjepar (parallelle, skjerande, vindskeive)
- Rekne ut vinklar mellom linjer

Parameterframstilling for ei linje

P_0 = (x_0, y_0, z_0)

✏️Linje gjennom to punkt

Finn parameterframstillinga for linja gjennom $A = (1, 2, 3)$ og $B = (4, -1, 5)$ .

Retningsvektoren er:

\vec{v} = \overrightarrow{AB} = [4-1, -1-2, 5-3] = [3, -3, 2]

Med $A$ som basispunkt får vi:
$\vec{r} = [1, 2, 3] + t[3, -3, 2]$

På koordinatform:
$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - 3t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$

Kontroll: For $t = 0$ får vi $A = (1, 2, 3)$ . For $t = 1$ får vi $(4, -1, 5) = B$ .

Same linje, ulike framstillingar:

Ei linje kan skildrast på uendeleg mange måtar ved å velje:
- Forskjellige basispunkt på linja
- Forskjellige retningsvektorar (parallelle vektorar)

Til dømes skildrar $\vec{r} = [4, -1, 5] + t[-6, 6, -4]$ same linje som i dømet over.

Klassifisering av linjepar

\vec{v}_1 = k \cdot \vec{v}_2

✏️Finne skjeringspunkt

Finn eventuelt skjeringspunkt mellom linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 0] + s[1, 1, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [2, 1, 1] + t[1, -1, 0]$

For at linjene skal skjere, må det finnast

s

t

slik at punkta er like:

$\begin{cases} 1 + s = 2 + t \\ 2 + s = 1 - t \\ 0 + s = 1 + 0 \cdot t \end{cases}$

Frå tredje likning: $s = 1$

Set inn i første likning: $1 + 1 = 2 + t \Rightarrow t = 0$

Kontroll i andre likning: $2 + 1 = 3$ og $1 - 0 = 1$ . Dette stemmer ikkje!

Konklusjon: Linjene skjer ikkje.

Sidan retningsvektorane $[1, 1, 1]$ og $[1, -1, 0]$ ikkje er parallelle, er linjene vindskeive.

✏️Skjerande linjer

Finn skjeringspunktet mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [0, 1, 2] + s[1, 2, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [3, 5, 1] + t[1, 1, -1]$

Vi set koordinatane like:

$\begin{cases} s = 3 + t \\ 1 + 2s = 5 + t \\ 2 + s = 1 - t \end{cases}$

Frå første: $s = 3 + t$

Set inn i andre: $1 + 2(3 + t) = 5 + t \Rightarrow 1 + 6 + 2t = 5 + t \Rightarrow t = -2$

Då er $s = 3 + (-2) = 1$

Kontroll i tredje: $2 + 1 = 3$ og $1 - (-2) = 3$ . Stemmer!

Skjeringspunktet (set inn $s = 1$ i $\ell_1$ ):
$(0 + 1, 1 + 2, 2 + 1) = (1, 3, 3)$

📜Vinkel mellom linjer

Vinkelen

\theta

mellom to linjer med retningsvektorar

\vec{v}_1

\vec{v}_2

er gjeven ved:

$\cos \theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|}$

Vi bruker absoluttverdi fordi vi ønskjer den spisse vinkelen ( $0° \leq \theta \leq 90°$ ).

✏️Vinkel mellom linjer

Finn vinkelen mellom linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 2] + s[2, 1, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 1, 0] + t[1, -1, 2]$

Retningsvektorar:

\vec{v}_1 = [2, 1, 1]

\vec{v}_2 = [1, -1, 2]

Skalarprodukt:
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 2 - 1 + 2 = 3$

Lengder:
$|\vec{v}_1| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
$|\vec{v}_2| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Vinkelen:
$\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = 0.5$

$\theta = \arccos(0.5) = 60°$

✏️Er linjene parallelle?

Undersøk om linjene er parallelle:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 3] + s[2, -4, 6]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 0, 1] + t[-1, 2, -3]$

Vi sjekkar om retningsvektorane er parallelle:

$\vec{v}_1 = [2, -4, 6]$ og $\vec{v}_2 = [-1, 2, -3]$

Vi ser at $\vec{v}_1 = -2 \cdot \vec{v}_2$ :
$[2, -4, 6] = -2 \cdot [-1, 2, -3] = [2, -4, 6] \checkmark$

Konklusjon: Linjene er parallelle.

For å sjekke om dei er identiske, testar vi om eit punkt frå $\ell_2$ ligg på $\ell_1$ :

Punktet $(0, 0, 1)$ frå $\ell_2$ : Ligg det på $\ell_1$ ?
$\begin{cases} 0 = 1 + 2s \Rightarrow s = -\frac{1}{2} \\ 0 = 2 - 4s \Rightarrow s = \frac{1}{2} \end{cases}$

Ulike verdiar av $s$ betyr at punktet ikkje ligg på $\ell_1$ .

Linjene er parallelle, men ikkje samanfallande.

Vindskeive linjer

I tre dimensjonar kan to linjer vere vindskeive - dei skjer ikkje og er ikkje parallelle. Dette er ein viktig skilnad frå planet, der to linjer anten er parallelle eller skjerande.

Vindskeive linjer ligg i ulike plan og "passerer forbi kvarandre" utan å møtast.

📝Oppgave 5.7.1

Skriv parameterframstillinga for linja gjennom $P = (2, -1, 3)$ med retningsvektor $\vec{v} = [1, 4, -2]$ .

📝Oppgave 5.7.2

Finn parameterframstillinga for linja gjennom $A = (3, 1, 2)$ og $B = (1, 4, -1)$ .

📝Oppgave 5.7.3

Ligg punktet $Q = (5, 7, 0)$ på linja $\ell: \vec{r} = [1, 3, 2] + t[2, 2, -1]$ ?

📝Oppgave 5.7.4

Avgjer om linjene er parallelle, skjerande eller vindskeive:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 1] + s[1, 2, 3]$
- $\ell_2: \vec{r} = [2, 2, 4] + t[2, 4, 6]$

📝Oppgave 5.7.5

Finn skjeringspunktet mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [2, 1, 0] + s[1, -1, 2]$
- $\ell_2: \vec{r} = [4, 0, 3] + t[1, 0, -1]$

📝Oppgave 5.7.6

Finn vinkelen mellom linjene $\ell_1: \vec{r} = [0, 0, 0] + s[1, 1, 0]$ og $\ell_2: \vec{r} = [1, 0, 1] + t[0, 1, 1]$ .

📝Oppgave 5.7.7

Finn likninga for linja som går gjennom $P = (1, 2, 3)$ og er parallell med linja $\ell: \vec{r} = [0, 1, 0] + t[2, -1, 4]$ .

📝Oppgave 5.7.8

Finn skjeringspunktet mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 1] + s[2, 1, 3]$
- $\ell_2: \vec{r} = [3, 0, 4] + t[-1, 2, 0]$

📝Oppgave 5.7.9

Finn parameterframstillinga for linja som går gjennom punktet $P = (2, 1, -1)$ og skjer begge linjene:
- $\ell_1$ : $x$ -aksen
- $\ell_2$ : Linja $\vec{r} = [0, 1, 1] + t[1, 0, 0]$

📝Oppgave 5.7.10

Ei linje $\ell$ går gjennom punktet $A = (1, 2, 3)$ og er vinkelrett på planet $\alpha: 2x - y + 2z = 5$ .

a) Finn parameterframstillinga for $\ell$ .
b) Finn skjeringspunktet mellom $\ell$ og $\alpha$ .
c) Finn avstanden frå $A$ til planet $\alpha$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Parameterframstilling: Ei linje gjennom $P_0$ med retningsvektor $\vec{v}$ : $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v}$ , altså $x = x_0 + tv_1$ , $y = y_0 + tv_2$ , $z = z_0 + tv_3$ .
- Klassifisering av linjepar: Parallelle (parallelle retningsvektorar), skjerande (felles punkt) eller vindskeive (verken parallelle eller skjerande).
- Skjeringspunkt: Set parameterframstillingane lik kvarandre (med ulike parametrar!) og løys likningssettet.
- Vinkel mellom linjer: $\displaystyle \cos\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Retningsvektor	Vektor langs linja
Parallelle linjer	Parallelle retningsvektorar
Skjerande linjer	Har felles punkt
Vindskeive linjer	Verken parallelle eller skjerande

Viktige formlar

\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v}

\displaystyle \cos\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.