5.7 Linjer i rommet

To droner i samme luftrom

To droner flyr i hver sin rett linje gjennom det samme luftrommet. Kontrollsystemet må svare på et kritisk spørsmål: kommer banene deres til å krysse hverandre? I planet ville svaret vært enkelt — to linjer som ikke er parallelle, må skjære hverandre. Men i rommet finnes en tredje mulighet som overrasker mange: linjene kan passere forbi hverandre uten å møtes, som to motorveier i hver sin etasje av et kryss. Slike linjer kalles vindskjeve.

Før vi kan svare, trenger vi en måte å beskrive linjer i rommet på. Og her møter vi en liten overraskelse til: en linje i rommet kan ikke fanges i én enkelt ligning, slik $y = ax + b$ gjorde jobben i planet. (Én lineær ligning i $x$, $y$ og $z$ beskriver som kjent et helt plan.) Løsningen er parameterframstillingen: vi beskriver linjen som en bevegelse — start i et punkt, og gå langs en retningsvektor, der parameteren $t$ forteller hvor langt du har kommet. Det passer en flyvende drone perfekt: $t$ kan til og med tolkes som tiden.

I denne fortellingen setter vi opp parameterframstillinger for linjer, lærer å klassifisere linjepar som parallelle, skjærende eller vindskjeve, finner skjæringspunkter ved å løse likningssett — og måler til slutt vinkelen mellom to kurser med skalarproduktet. Alt kontrollsystemet trenger for å holde dronene fra hverandre.

Linjen som bevegelse

En linje i rommet bestemmes av et punkt og en retning. Står du i punktet $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ og beveger deg langs retningsvektoren $\vec{v} = [a, b, c]$, sveiper du ut hele linjen:

$$\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{v}$$

der parameteren $t$ løper gjennom alle reelle tall. På koordinatform: $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$. Hver verdi av $t$ gir ett punkt på linjen — negative $t$ tar deg bakover, positive framover.

Skal linjen gå gjennom to gitte punkter, lager du retningsvektoren selv. For linjen gjennom $A = (1, 2, 3)$ og $B = (4, -1, 5)$ er $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = [3, -3, 2]$, og med $A$ som basispunkt:

$$\vec{r} = [1, 2, 3] + t[3, -3, 2]$$

altså $x = 1 + 3t$, $y = 2 - 3t$, $z = 3 + 2t$. Kontrollér gjerne: $t = 0$ gir $A$, og $t = 1$ gir $B$ — parameteren teller brøkdeler av veien fra $A$ til $B$.

Én linje, mange framstillinger: du kan fritt velge et annet basispunkt på linjen, og en hvilken som helst vektor parallell med $\vec{v}$ som retning. For eksempel beskriver $\vec{r} = [4, -1, 5] + t[-6, 6, -4]$ nøyaktig samme linje som over — start i $B$, dobbel fart, motsatt vei. To framstillinger som ser helt ulike ut, kan altså være samme linje; det du sammenligner, er om retningsvektorene er parallelle og om de deler et punkt.

Parallelle, skjærende eller vindskjeve?

Tilbake til de to dronene. I rommet kan to linjer forholde seg til hverandre på tre måter. De kan være parallelle: retningsvektorene er skalarmultipler av hverandre, $\vec{v}_1 = k\vec{v}_2$ — og da er de enten sammenfallende (samme linje) eller ekte parallelle (møtes aldri). De kan være skjærende, med nøyaktig ett felles punkt. Eller de kan være vindskjeve: verken parallelle eller skjærende, men glidende forbi hverandre i hver sin «etasje» av rommet. Den siste muligheten finnes ikke i planet, og glemmes derfor lett.

Hvordan avgjør vi det i praksis? Først sjekker du retningsvektorene: parallelle vektorer betyr parallelle linjer (test så et punkt for å skille sammenfallende fra ekte parallelle). Hvis ikke, leter du etter et skjæringspunkt: sett framstillingene lik hverandre — og her lurer klassikerfellen: bruk ulike parameternavn, for eksempel $s$ og $t$, siden dronene ikke trenger å være på samme sted samtidig i parameterverdiene sine.

Ta $\ell_1: \vec{r} = [0, 1, 2] + s[1, 2, 1]$ og $\ell_2: \vec{r} = [3, 5, 1] + t[1, 1, -1]$. Koordinatvis likhet gir tre likninger: $s = 3 + t$, $1 + 2s = 5 + t$, $2 + s = 1 - t$. De to første gir $t = -2$ og $s = 1$, og den tredje stemmer som kontroll: $3 = 3$. Linjene skjærer, og innsetting av $s = 1$ gir skjæringspunktet $(1, 3, 3)$.

Men prøv $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 0] + s[1, 1, 1]$ og $\ell_2: \vec{r} = [2, 1, 1] + t[1, -1, 0]$: to av likningene gir $s = 1$ og $t = 0$, men kontrollikningen gir $3 \neq 1$. Ingen løsning — og siden retningsvektorene $[1,1,1]$ og $[1,-1,0]$ heller ikke er parallelle, er linjene vindskjeve. Kontrollsystemet kan puste lettet ut: banene krysser aldri.

Vinkelen mellom to kurser

Selv når banene ikke krysser, vil kontrollsystemet vite hvor mye kursene spriker. Vinkelen mellom to linjer defineres som vinkelen mellom retningsvektorene deres — med én justering: en linje har ingen foretrukket retning, så vi vil alltid ha den spisse vinkelen. Det ordner absoluttverdien:

$$\cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|}, \qquad 0° \leq \theta \leq 90°$$

Uten absoluttverdien kunne vi fått den stumpe tvillingvinkelen i stedet, avhengig av hvilken vei retningsvektorene tilfeldigvis peker.

Et eksempel: $\ell_1$ har retningsvektor $\vec{v}_1 = [2, 1, 1]$ og $\ell_2$ har $\vec{v}_2 = [1, -1, 2]$. Skalarproduktet er $2 - 1 + 2 = 3$, og begge lengdene er $\sqrt{6}$. Dermed er $\displaystyle \cos\theta = \frac{|3|}{6} = \frac{1}{2}$, og $\theta = 60°$ — en ren tabellverdi til slutt.

Og parallellitetstesten fortjener et siste eksempel. Linjene $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 3] + s[2, -4, 6]$ og $\ell_2: \vec{r} = [0, 0, 1] + t[-1, 2, -3]$ har retningsvektorer der $[2, -4, 6] = -2 \cdot [-1, 2, -3]$: parallelle. Sammenfallende? Test punktet $(0, 0, 1)$ fra $\ell_2$ på $\ell_1$: første koordinat krever $\displaystyle s = -\frac{1}{2}$, andre krever $\displaystyle s = \frac{1}{2}$ — motstridende, så punktet ligger ikke på $\ell_1$. Konklusjon: ekte parallelle, aldri i kontakt, og kursvinkelen er $0°$.

Dermed har kontrollsystemet hele bildet: klassifiser linjeparet, finn eventuelt skjæringspunkt, og mål vinkelen. Tre verktøy — parameterframstilling, likningssett og skalarprodukt — og luftrommet er kartlagt.

Oppsummering

To droner i samme luftrom satte dagsordenen: beskriv banene, og avgjør om de møtes. Beskrivelsen ble parameterframstillingen $\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{v}$ — linjen som bevegelse fra et basispunkt langs en retningsvektor, med koordinatformen $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$. Gjennom to punkter lagde vi retningsvektoren med «slutt minus start», og vi så at samme linje har uendelig mange framstillinger: andre basispunkter, parallelle retningsvektorer.

Klassifiseringen av linjepar ga rommets tre muligheter: parallelle (retningsvektorene er skalarmultipler — sammenfallende hvis de også deler et punkt), skjærende (ett felles punkt), og den tredimensjonale spesialiteten vindskjeve — verken parallelle eller skjærende. Skjæringspunkter fant vi ved å sette framstillingene lik hverandre med ulike parametre $s$ og $t$, løse to av likningene og bruke den tredje som dommer: stemmer den, skjærer linjene; stryker den, og retningene ikke er parallelle, er linjene vindskjeve.

Vinkelen mellom kursene målte skalarproduktet: $\displaystyle \cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1||\vec{v}_2|}$, der absoluttverdien alltid leverer den spisse vinkelen — våre to eksempelkurser spriket nøyaktig $60°$.

Linjer og plan er nå begge på plass som parameterframstillinger og ligninger. Det som gjenstår, er avstandene mellom dem — hvor nær den vindskjeve naboen egentlig kommer. Det er neste kapittel.