5.1 Vektorar i tre dimensjonar | Matematikk R2

Introduksjon til romvektorar og koordinatar.

50 min

15 oppgaver

RomkoordinatarVektorKomponentarLengd

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

5.2Vektorkoordinater og regning

Frå planet til rommet

I R1 lærte du om vektorar i planet, altså i to dimensjonar. No skal vi utvide dette til tre dimensjonar - rommet vi lever i.

Mange praktiske problem krev at vi arbeider i tre dimensjonar:
- Fly og dronar som rører seg i luftrommet
- Krefter som verkar på konstruksjonar i alle retningar
- Molekyl og krystallstrukturar i kjemi
- Grafikk i dataspel og animasjonsfilmar
- GPS og navigasjon

Heldigvis er overgangen frå to til tre dimensjonar ganske naturleg. Dei fleste reknereglane frå R1 gjeld framleis - vi legg berre til ein ekstra koordinat.

Det tredimensjonale koordinatsystemet

I to dimensjonar brukte vi $x$ -aksen og $y$ -aksen. I tre dimensjonar legg vi til ein $z$ -akse som står vinkelrett på dei to andre.

Vi bruker eit rettvinkla (eller ortogonalt) koordinatsystem der alle tre aksane står vinkelrett på kvarandre. Det vanlegaste er eit høgrehandssystem:

Høgrehandsregelen:
Hald høgre hand med fingrane pekande langs positiv $x$ -akse. Krøll fingrane mot positiv $y$ -akse. Då peikar tommelen i retning av positiv $z$ -akse.

Eit punkt $P$ i rommet vert gjeve med tre koordinatar: $P = (x, y, z)$

- $x$ -koordinaten gjev avstanden langs $x$ -aksen
- $y$ -koordinaten gjev avstanden langs $y$ -aksen
- $z$ -koordinaten gjev høgda over $xy$ -planet

Koordinatar i rommet

P

✏️Eksempel 1: Punkt i rommet

Skildra plasseringa av punkta:

a) $A = (3, 0, 0)$
b) $B = (2, 4, 0)$
c) $C = (1, 2, 3)$
d) $D = (0, 0, -2)$

Løysing:

a) $A = (3, 0, 0)$ ligg på $x$ -aksen, 3 einingar frå origo i positiv $x$ -retning.

b) $B = (2, 4, 0)$ ligg i $xy$ -planet (sidan $z = 0$ ), 2 einingar langs $x$ -aksen og 4 einingar langs $y$ -aksen.

c) $C = (1, 2, 3)$ ligg 1 eining langs $x$ -aksen, 2 einingar langs $y$ -aksen, og 3 einingar over $xy$ -planet.

d) $D = (0, 0, -2)$ ligg på $z$ -aksen, 2 einingar under $xy$ -planet (negativ $z$ -verdi).

Svar: $A$ ligg på $x$ -aksen, $B$ i $xy$ -planet, $C$ over $xy$ -planet og $D$ på den negative delen av $z$ -aksen.

Vektorar i rommet

Ein vektor i rommet er, akkurat som i planet, ein storleik med både lengd og retning.

Vi skriv vektorar med pil over: $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{v}$ , eller med feite bokstavar: $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{v}$ .

Ein vektor frå punkt $A$ til punkt $B$ vert skriven $\overrightarrow{AB}$ .

Vektor i rommet

\vec{a}

Posisjonsvektor og vektor mellom to punkt

Posisjonsvektoren til eit punkt $P = (x, y, z)$ er vektoren frå origo til $P$ :

$\vec{OP} = [x, y, z]$

For å finne vektoren $\overrightarrow{AB}$ frå punkt $A = (a_1, a_2, a_3)$ til punkt $B = (b_1, b_2, b_3)$ , bruker vi same regel som i to dimensjonar:

$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = [b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3]$

Med andre ord: slutt minus start for kvar koordinat.

✏️Eksempel 2: Finne vektor mellom to punkt

La $A = (1, 3, 2)$ og $B = (4, -1, 5)$ .

a) Finn vektoren $\overrightarrow{AB}$
b) Finn vektoren $\overrightarrow{BA}$

Løysing:

a) Vi bruker formelen slutt minus start:
$\overrightarrow{AB} = [4-1, -1-3, 5-2] = [3, -4, 3]$

Svar: a) $\overrightarrow{AB} = [3, -4, 3]$

b) Vektoren $\overrightarrow{BA}$ går motsett veg:
$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-(-1), 2-5] = [-3, 4, -3]$

Vi ser at $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ , akkurat som venta.

Svar: b) $\overrightarrow{BA} = [-3, 4, -3]$

Lengda av ein vektor

Lengda (eller norma) til ein vektor $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ er ei naturleg utviding av formelen frå to dimensjonar. Vi bruker setninga til Pytagoras to gonger.

📜Lengda av ein vektor i rommet

For ein vektor

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

er lengda gjeven ved:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Utleiing:
Tenk på vektoren $\vec{a}$ som diagonalen i ei eske med sider $a_1$ , $a_2$ og $a_3$ .

Først finn vi diagonalen i botnen (i $xy$ -planet): $d = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

Deretter brukar vi Pytagoras igjen med denne diagonalen og høgda $a_3$ :
$|\vec{a}| = \sqrt{d^2 + a_3^2} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

✏️Eksempel 3: Lengd av vektor

Finn lengda av vektoren $\vec{v} = [2, -3, 6]$ .

Løysing:

Vi bruker lengdeformelen:

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Svar: $|\vec{v}| = 7$

Avstand mellom to punkt

Avstanden mellom to punkt $A$ og $B$ er det same som lengda av vektoren $\overrightarrow{AB}$ .

📜Avstand mellom to punkt i rommet

Avstanden mellom punkta

A = (a_1, a_2, a_3)

B = (b_1, b_2, b_3)

er:

$|AB| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

✏️Eksempel 4: Avstand mellom punkt

Finn avstanden mellom punkta $P = (1, -2, 3)$ og $Q = (4, 2, -1)$ .

Løysing:

Vi bruker avstandsformelen:

$|PQ| = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2 + (-1-3)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16 + 16}$
$= \sqrt{41}$

Svar: Avstanden er $|PQ| = \sqrt{41} \approx 6{,}40$ .

Einingsvektor

Ein einingsvektor er ein vektor med lengd 1. Einingsvektoren i same retning som $\vec{a}$ finn vi ved å dele $\vec{a}$ på si eiga lengd.

Einingsvektor

\hat{a}

✏️Eksempel 5: Finne einingsvektor

Finn einingsvektoren i same retning som $\vec{u} = [3, 4, 0]$ .

Løysing:

Først finn vi lengda:
$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Einingsvektoren vert:
$\hat{u} = \frac{1}{5}[3, 4, 0] = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right]$

Kontroll: $\displaystyle |\hat{u}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 1$ ✓

Svar: $\displaystyle \hat{u} = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right]$

Oppgåver

📝Oppgave 5.1.1

Skildra plasseringa av følgjande punkt:

P = (2, 3, 1)

Q = (0, 4, 0)

R = (-1, 2, 5)

S = (3, 0, -2)

📝Oppgave 5.1.2

Finn vektoren $\overrightarrow{AB}$ når:

A = (1, 2, 3)

B = (4, 5, 6)

A = (0, 0, 0)

B = (1, -2, 3)

A = (2, -1, 4)

B = (-1, 3, 2)

A = (5, 2, -3)

B = (5, 2, 4)

📝Oppgave 5.1.3

Finn lengda av vektorane:

\vec{a} = [1, 2, 2]

\vec{b} = [4, 0, 3]

\vec{c} = [1, 1, 1]

\vec{d} = [6, -2, 3]

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.1.4

Finn avstanden mellom punkta:

A = (1, 0, 2)

B = (3, 4, 2)

C = (2, -1, 3)

D = (-1, 2, 7)

E = (0, 0, 0)

F = (1, 2, 2)

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.1.5

Finn einingsvektoren i same retning som:

\vec{a} = [4, 0, 3]

\vec{b} = [1, 2, 2]

\vec{c} = [2, -2, 1]

📝Oppgave 5.1.6

Eit punkt $P$ har posisjonsvektor $\vec{OP} = [2, 3, 1]$ og eit punkt $Q$ har posisjonsvektor $\vec{OQ} = [5, -1, 4]$ .

Finn koordinatane til $P$ og $Q$ .

Finn vektoren $\overrightarrow{PQ}$ .

Finn lengda $|PQ|$ .

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket $PQ$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.1.7

Avgjer kva slags trekant punkta $A = (1, 0, 1)$ , $B = (3, 2, 1)$ og $C = (1, 2, 3)$ dannar.

Finn lengdene $|AB|$ , $|BC|$ og $|AC|$ .

Kva slags trekant er dette?

📝Oppgave 5.1.8

Punktet $A = (1, 2, 3)$ og punktet $B = (4, 6, 3)$ er gjevne. Finn alle punkt $P$ på $z$ -aksen som har lik avstand til $A$ og $B$ .

Skriv opp koordinatane til eit generelt punkt $P$ på $z$ -aksen.

Set opp likninga $|PA| = |PB|$ .

Løys likninga og finn $P$ .

📝Oppgave 5.1.9

Ei kule har sentrum i $S = (2, 1, 3)$ og går gjennom punktet $P = (4, 3, 6)$ .

Finn radien $r$ til kula.

Avgjer om punktet $Q = (2, 1, 3 + \sqrt{17})$ ligg på kula.

Finn eit punkt på kula som ligg i $xy$ -planet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.1.10

Lat $\vec{a} = [2, 1, -2]$ og $\vec{v} = [6, 3, -6]$ .

Undersøk om $\vec{v}$ er parallell med $\vec{a}$ .

Skriv $\vec{v}$ som summen $\vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp}$ av ein vektor parallell med $\vec{a}$ og ein vektor ortogonal på $\vec{a}$ . Kva blir $\vec{v}_{\perp}$ ?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Koordinatar i rommet: Eit punkt vert gjeve med tre koordinatar $(x, y, z)$ .
- Vektor mellom punkt: $\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A]$ .
- Lengd: $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$ .
- Avstand mellom punkt: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .
- Einingsvektor: $\displaystyle \hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$ har lengd 1 og same retning som $\vec{u}$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Koordinatsystem i rommet	Tre aksar: $x$ , $y$ og $z$
$\overrightarrow{AB}$	Vektoren frå $A$ til $B$
Lengd $\|\vec{u}\|$	$\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$
Einingsvektor	Vektor med lengd 1

Viktige formlar

\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A]

|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}

\displaystyle \hat{u} = \frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.