5.1 Vektorer i tre dimensjoner

Dronen letter

Du står på en åpen slette og sender en drone til værs. Den glir tretti meter mot øst, tjue meter mot nord — og så stiger den femten meter rett opp. I det øyeblikket forlater den matematikken du kjenner fra R1. Der levde vektorene i et flatt plan med to koordinater; dronen din lever i rommet, og trenger tre.

Heldigvis er spranget fra planet til rommet mindre dramatisk enn det høres ut. Nesten alle regnereglene du kan fra før, gjelder fortsatt — vi legger bare til en tredje koordinat. Et punkt blir $(x, y, z)$ i stedet for $(x, y)$, en vektor får tre komponenter i stedet for to, og Pytagoras' setning brukes to ganger i stedet for én.

Og behovet er overalt: fly og droner som navigerer i luftrommet, krefter som virker på bruer og bygninger fra alle kanter, molekylenes plassering i en krystall, lyssetting og kamerabevegelser i dataspill, satellitter og GPS. Alt dette er tredimensjonal vektorregning i arbeid.

I denne fortellingen setter vi opp det tredimensjonale koordinatsystemet med høyrehåndsregelen, lærer å skrive vektorer på komponentform, finner vektoren mellom to punkter, måler lengder og avstander i rommet — og lager til slutt enhetsvektorer som peker ut retninger med lengde nøyaktig én. Det er verktøykassen dronen trenger for å vite hvor den er, og hvor den skal.

Tre akser og et høyrehåndsgrep

For å beskrive dronens posisjon trenger vi et koordinatsystem med tre akser som står vinkelrett på hverandre: $x$-aksen og $y$-aksen kjenner du fra planet, og den nye $z$-aksen reiser seg loddrett opp fra dem. Et slikt system kalles rettvinklet eller ortogonalt, og vi orienterer det som et høyrehåndssystem: pek fingrene på høyre hånd langs positiv $x$-akse, krøll dem mot positiv $y$-akse — da peker tommelen langs positiv $z$-akse. Denne konvensjonen sørger for at alle verdens matematikere og ingeniører tegner rommet på samme måte.

Et punkt $P$ i rommet angis med tre koordinater, $P = (x, y, z)$: hvor langt langs $x$-aksen, hvor langt langs $y$-aksen, og hvor høyt over $xy$-planet. Dronen vår står altså i punktet $(30, 20, 15)$ — tretti øst, tjue nord, femten opp.

Aksene deler rommet med tre spesielle plan: $xy$-planet er alle punkter med $z = 0$ (bakkenivå, om du vil), $xz$-planet har $y = 0$, og $yz$-planet har $x = 0$. Origo er $O = (0, 0, 0)$, der du selv står med fjernkontrollen.

Noen eksempler gir følelse for systemet: punktet $(3, 0, 0)$ ligger på selve $x$-aksen, tre enheter ut. Punktet $(2, 4, 0)$ ligger i $xy$-planet, siden høyden er null. Punktet $(1, 2, 3)$ svever én enhet øst, to nord og tre opp. Og $(0, 0, -2)$ ligger på $z$-aksen — to enheter under bakkeplanet, kanskje en undervannsdrone denne gangen.

Vektorer med tre komponenter

Dronen skal nå fly fra ett punkt til et annet, og da trenger vi vektorer: størrelser med både lengde og retning. Vi skriver dem med pil, $\vec{a}$, eller med fet skrift, og en vektor fra punkt $A$ til punkt $B$ heter $\overrightarrow{AB}$.

På komponentform skriver vi $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$, der de tre tallene er vektorens utstrekning i henholdsvis $x$-, $y$- og $z$-retning. Det samme kan uttrykkes med enhetsvektorene langs aksene: $\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$, der $\vec{i} = [1, 0, 0]$, $\vec{j} = [0, 1, 0]$ og $\vec{k} = [0, 0, 1]$.

Hvert punkt har sin posisjonsvektor — pilen fra origo til punktet: for $P = (x, y, z)$ er $\vec{OP} = [x, y, z]$. Det er posisjonsvektorene som lar oss regne med punkter.

Og her kommer formelen du vil bruke aller mest: vektoren fra $A = (a_1, a_2, a_3)$ til $B = (b_1, b_2, b_3)$ er

$$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = [b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3]$$

Slutt minus start, koordinat for koordinat — akkurat som i planet. Skal dronen fly fra $A = (1, 3, 2)$ til $B = (4, -1, 5)$, er flyvektoren $\overrightarrow{AB} = [4-1, -1-3, 5-2] = [3, -4, 3]$: tre øst, fire sørover (negativ $y$), tre opp. Returen er $\overrightarrow{BA} = [-3, 4, -3]$, og du ser det generelle mønsteret $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ — samme rute, motsatt retning.

Hvor langt? Lengder, avstander og enhetsvektorer

Hvor lang er egentlig flyturen $[3, -4, 3]$? I planet ga Pytagoras svaret, og i rommet bruker vi ham rett og slett to ganger. Tenk på vektoren $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ som diagonalen i en eske med sider $a_1$, $a_2$ og $a_3$: først finner vi diagonalen i bunnen, $d = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$, og så tar vi Pytagoras på nytt med høyden $a_3$. Resultatet er lengdeformelen

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$

For eksempel har $\vec{v} = [2, -3, 6]$ lengden $|\vec{v}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

Avstanden mellom to punkter er bare lengden av vektoren mellom dem: $|AB| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$. Avstanden fra $P = (1, -2, 3)$ til $Q = (4, 2, -1)$ blir $\sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}40$.

Til slutt et verktøy som rendyrker retning: enhetsvektoren, en vektor med lengde nøyaktig $1$. Vil du beskrive retningen til $\vec{a}$ uten å bry deg om hvor lang den er — for eksempel for å si «fly i denne retningen med fart 5 m/s» — deler du vektoren på sin egen lengde:

$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

Ta $\vec{u} = [3, 4, 0]$ med lengde $5$: enhetsvektoren er $\displaystyle \hat{u} = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right]$, og en rask kontroll gir $\displaystyle |\hat{u}| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = 1$, akkurat som lovet. Nå vet dronen både hvor den er, hvor langt den skal, og i hvilken retning.

Oppsummering

Dronen lettet fra sletta, og med den løftet vi vektorregningen fra planet og ut i rommet. Det tredimensjonale koordinatsystemet ga oss rammen: tre akser vinkelrett på hverandre, orientert etter høyrehåndsregelen, der hvert punkt beskrives av tre koordinater $(x, y, z)$ og spesialplanene $xy$, $xz$ og $yz$ svarer til at én koordinat er null.

Vektorene fulgte med på lasset nesten uforandret. På komponentform er $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$, eventuelt skrevet som $a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$ med enhetsvektorene langs aksene. Posisjonsvektoren $\vec{OP}$ peker fra origo til punktet, og arbeidshesten er «slutt minus start»: $\overrightarrow{AB} = [b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3]$, med $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ som retur.

Lengder målte vi med dobbel Pytagoras: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ — diagonalen i esken med sidene som komponenter. Avstanden mellom to punkter er lengden av vektoren mellom dem, og enhetsvektoren $\displaystyle \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ destillerer retningen ned til lengde én.

Dette er grunnmuren for hele romgeometrien: i de neste kapitlene skal vi regne med vektorene, multiplisere dem på to forskjellige måter, og bruke dem til å beskrive linjer og plan i rommet — alt dronen trenger for å navigere verden i tre dimensjoner.