4.6 Trigonometriske formlar | Matematikk R2

Addisjonsformlar og andre identitetar.

60 min

19 oppgaver

AddisjonsformlarDobbeltvinkelformlarIdentitetar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Radianer og enhetssirkelen

Brukes videre i

4.7Omskriving til ren sinusform

Trigonometriske formlar

I dette kapittelet skal vi utforske dei viktigaste trigonometriske formlane. Desse formlane lèt oss uttrykkje trigonometriske funksjonar av summar, differansar og multiplum av vinklar. Dei er essensielle verktøy for å forenkle uttrykk, løyse likningar og bevise identitetar.

Vi startar med addisjonsformlane, som er fundamentet for alle dei andre formlane vi skal sjå på. Frå addisjonsformlane utleier vi dobbeltvinkelformlar, halvvinkelformlar, produktformlar og sumformlar.

Addisjonsformlane

Addisjonsformlane uttrykkjer $\sin$ og $\cos$ av ein sum eller differanse av to vinklar. Desse formlane er grunnleggjande i trigonometrien og har mange bruksområde.

📜Addisjonsformlane

For alle vinklar

u

v

gjeld:

Sinus:
$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

Cosinus:
$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$
$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Bevis for addisjonsformlane for cosinus

Vi beviser først

\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v

ved hjelp av einingssirkelen.

Geometrisk bevis:

Sjå på einingssirkelen med sentrum i origo. La punkta vere:
- $P_1 = (\cos u, \sin u)$ som svarar til vinkelen $u$
- $P_2 = (\cos v, \sin v)$ som svarar til vinkelen $v$
- $P_3 = (\cos(u-v), \sin(u-v))$ som svarar til vinkelen $u-v$
- $P_4 = (1, 0)$ som svarar til vinkelen $0$

Avstanden mellom $P_1$ og $P_2$ er lik avstanden mellom $P_3$ og $P_4$ (begge buane har lengd $|u-v|$ ).

Avstand mellom $P_1$ og $P_2$ :
$d_1^2 = (\cos u - \cos v)^2 + (\sin u - \sin v)^2$
$\begin{aligned} = {}&\cos^2 u - 2\cos u \cos v + \cos^2 v \\ &\quad {} + \sin^2 u - 2\sin u \sin v + \sin^2 v \end{aligned}$
$\begin{aligned} = {}&(\cos^2 u + \sin^2 u) + (\cos^2 v + \sin^2 v) \\ &\quad {} - 2(\cos u \cos v + \sin u \sin v) \end{aligned}$
$= 2 - 2(\cos u \cos v + \sin u \sin v)$

Avstand mellom $P_3$ og $P_4$ :
$d_2^2 = (\cos(u-v) - 1)^2 + (\sin(u-v))^2$
$= \cos^2(u-v) - 2\cos(u-v) + 1 + \sin^2(u-v)$
$= 1 - 2\cos(u-v) + 1 = 2 - 2\cos(u-v)$

Sidan $d_1 = d_2$ :
$2 - 2(\cos u \cos v + \sin u \sin v) = 2 - 2\cos(u-v)$
$\cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Utleiing av dei andre formlane:

For $\cos(u + v)$ : Set inn $-v$ for $v$ :
$\begin{aligned} \cos(u + v) &= \cos(u - (-v)) \\ &= \cos u \cos(-v) + \sin u \sin(-v) \end{aligned}$
$= \cos u \cos v - \sin u \sin v$

For $\sin(u + v)$ : Bruk at $\displaystyle \sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ :
$\sin(u + v) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (u + v)\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - u\right) - v\right)$
$= \cos\left(\frac{\pi}{2} - u\right)\cos v + \sin\left(\frac{\pi}{2} - u\right)\sin v$
$= \sin u \cos v + \cos u \sin v$

For $\sin(u - v)$ : Set inn $-v$ for $v$ i formelen for $\sin(u+v)$ :
$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

∎

✏️Eksempel 1: Eksakt verdi med addisjonsformel

Finn den eksakte verdien av $\sin 75°$ utan kalkulator.

Løysing:

Vi skriv $75° = 45° + 30°$ og bruker addisjonsformelen:

$\sin 75° = \sin(45° + 30°)$
$= \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Svar: $\displaystyle \sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

✏️Eksempel 2: Eksakt verdi av cosinus

Finn den eksakte verdien av $\cos 15°$ .

Løysing:

Vi skriv $15° = 45° - 30°$ og bruker addisjonsformelen:

$\cos 15° = \cos(45° - 30°)$
$= \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Merk: $\cos 15° = \sin 75°$ , som stemmer med at $\sin(90° - \theta) = \cos \theta$ .

Svar: $\displaystyle \cos 15° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

📝Oppgave 1

Finn dei eksakte verdiane ved hjelp av addisjonsformlane.

\sin 105°

\cos 75°

\sin 15°

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Addisjonsformel med ukjende vinklar

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ der $u$ er i første kvadrant, og $\displaystyle \cos v = \frac{12}{13}$ der $v$ er i første kvadrant. Finn $\sin(u + v)$ .

Løysing:

Fyrst finn vi dei manglande verdiane ved hjelp av Pytagoras' identitet $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ .

For vinkel $u$ :
$\cos^2 u = 1 - \sin^2 u = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\cos u = \frac{4}{5} \quad \text{(positiv sidan } u \text{ er i 1. kvadrant)}$

For vinkel $v$ :
$\sin^2 v = 1 - \cos^2 v = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$
$\sin v = \frac{5}{13} \quad \text{(positiv sidan } v \text{ er i 1. kvadrant)}$

Addisjonsformelen:
$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$= \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13}$
$= \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$

Svar: $\displaystyle \sin(u + v) = \frac{56}{65}$

📝Oppgave 2

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{5}{13}$ og $\displaystyle \cos v = \frac{3}{5}$ , der begge vinklane er i første kvadrant.

Finn $\cos u$ og $\sin v$

Finn $\sin(u + v)$

Finn $\cos(u - v)$

Løs oppgaven

Addisjonsformel for tangens

Vi kan utleie ein addisjonsformel for tangens frå formlane for sinus og cosinus.

📜Addisjonsformlane for tangens

For vinklar

u

v

der tangensverdiane er definerte:

$\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

$\tan(u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \tan v}$

Utleiing av tangensformelen

Vi bruker at

\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

$\tan(u + v) = \frac{\sin(u + v)}{\cos(u + v)}$
$= \frac{\sin u \cos v + \cos u \sin v}{\cos u \cos v - \sin u \sin v}$

Vi deler teljar og nemnar med $\cos u \cos v$ :

$= \frac{\frac{\sin u \cos v}{\cos u \cos v} + \frac{\cos u \sin v}{\cos u \cos v}}{\frac{\cos u \cos v}{\cos u \cos v} - \frac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v}}$

$= \frac{\frac{\sin u}{\cos u} + \frac{\sin v}{\cos v}}{1 - \frac{\sin u}{\cos u} \cdot \frac{\sin v}{\cos v}}$

$= \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

∎

✏️Eksempel 4: Tangensaddisjon

Finn $\tan 75°$ utan kalkulator.

Løysing:

Vi bruker $75° = 45° + 30°$ :

$\tan 75° = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \tan 30°}$

Vi veit at $\tan 45° = 1$ og $\displaystyle \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\tan 75° = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Vi rasjonaliserer nemnaren:
$\begin{aligned} = {}&\frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} \\ = {}&\frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} \\ = {}&\frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} \\ = {}&2 + \sqrt{3} \end{aligned}$

Svar: $\tan 75° = 2 + \sqrt{3}$

Dobbeltvinkelformlane

Dobbeltvinkelformlane er spesialtilfelle av addisjonsformlane der $v = u$ . Dei uttrykkjer trigonometriske funksjonar av $2u$ ved hjelp av funksjonar av $u$ .

📜Dobbeltvinkelformlane

For alle vinklar

u

gjeld:

Sinus:
$\sin 2u = 2 \sin u \cos u$

Cosinus: (tre ekvivalente former)
$\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u$
$\cos 2u = 2\cos^2 u - 1$
$\cos 2u = 1 - 2\sin^2 u$

Tangens:
$\tan 2u = \frac{2 \tan u}{1 - \tan^2 u}$

Utleiing av dobbeltvinkelformlane

Sinus:
Frå

\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v

, set

v = u

\begin{aligned} \sin 2u &= \sin(u + u) \\ &= \sin u \cos u + \cos u \sin u \\ &= 2 \sin u \cos u \end{aligned}

Cosinus:
Frå $\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$ , set $v = u$ :
$\cos 2u = \cos u \cos u - \sin u \sin u = \cos^2 u - \sin^2 u$

Dei andre formene får ein ved å bruke $\sin^2 u + \cos^2 u = 1$ :
$\begin{aligned} \cos 2u &= \cos^2 u - \sin^2 u \\ &= \cos^2 u - (1 - \cos^2 u) \\ &= 2\cos^2 u - 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \cos 2u &= \cos^2 u - \sin^2 u \\ &= (1 - \sin^2 u) - \sin^2 u \\ &= 1 - 2\sin^2 u \end{aligned}$

Tangens:
Frå tangensaddisjon med $v = u$ :
$\tan 2u = \frac{\tan u + \tan u}{1 - \tan u \cdot \tan u} = \frac{2\tan u}{1 - \tan^2 u}$

∎

✏️Eksempel 5: Bruke dobbeltvinkelformlar

Gitt at $\displaystyle \cos u = \frac{3}{5}$ der $u$ er i første kvadrant. Finn $\sin 2u$ , $\cos 2u$ og $\tan 2u$ .

Løysing:

Fyrst finn vi $\sin u$ :
$\sin^2 u = 1 - \cos^2 u = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\sin u = \frac{4}{5} \quad \text{(positiv i 1. kvadrant)}$

$\sin 2u$ :
$\sin 2u = 2 \sin u \cos u = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2u$ :
$\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

$\tan 2u$ :
$\tan 2u = \frac{\sin 2u}{\cos 2u} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$

Alternativ utrekning av $\tan 2u$ :
$\tan u = \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$
$\begin{aligned} \tan 2u &= \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} \\ &= \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} \\ &= \frac{8}{3} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{24}{7} \end{aligned}$

Svar: $\displaystyle \sin 2u = \frac{24}{25}$ , $\displaystyle \cos 2u = -\frac{7}{25}$ og $\displaystyle \tan 2u = -\frac{24}{7}$

📝Oppgave 3

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{5}{13}$ der $u$ er i første kvadrant.

Finn $\cos u$

Finn $\sin 2u$

Finn $\cos 2u$

Finn $\tan 2u$

Løs oppgaven

✏️Eksempel 6: Forenkle med dobbeltvinkelformel

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}$ .

Løysing:

Vi bruker dobbeltvinkelformlane:
- $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
- $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$

$\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)}$
$= \frac{2 \sin x \cos x}{2\cos^2 x}$
$= \frac{\sin x}{\cos x}$
$= \tan x$

Svar: $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$

📝Oppgave 4

Forenkle uttrykka.

\displaystyle \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}

\sin x \cos x

\cos^2 x - \sin^2 x

Løs oppgaven

Halvvinkelformlane

Halvvinkelformlane uttrykkjer trigonometriske funksjonar av $\displaystyle \frac{u}{2}$ ved hjelp av funksjonar av $u$ . Dei blir utleidde frå dobbeltvinkelformlane ved å løyse for $\displaystyle \sin^2 \frac{u}{2}$ og $\displaystyle \cos^2 \frac{u}{2}$ .

📜Halvvinkelformlane

For alle vinklar

u

gjeld:

$\sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}$

$\cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$

$\tan \frac{u}{2} = \frac{\sin u}{1 + \cos u} = \frac{1 - \cos u}{\sin u}$

Eller med kvadratrot:
$\sin \frac{u}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos u}{2}}$
$\cos \frac{u}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos u}{2}}$

Forteiknet blir avgjort av kva for kvadrant $\displaystyle \frac{u}{2}$ ligg i.

Utleiing av halvvinkelformlane

Vi startar med dobbeltvinkelformelen

\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta

La $2\theta = u$ , slik at $\displaystyle \theta = \frac{u}{2}$ :
$\cos u = 1 - 2\sin^2 \frac{u}{2}$
$2\sin^2 \frac{u}{2} = 1 - \cos u$
$\sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}$

Tilsvarande frå $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ :
$\cos u = 2\cos^2 \frac{u}{2} - 1$
$2\cos^2 \frac{u}{2} = 1 + \cos u$
$\cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$

For tangensformelen:
$\tan \frac{u}{2} = \frac{\sin \frac{u}{2}}{\cos \frac{u}{2}} = \frac{\sin \frac{u}{2}}{\cos \frac{u}{2}} \cdot \frac{2\cos \frac{u}{2}}{2\cos \frac{u}{2}}$
$= \frac{2\sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2}}{2\cos^2 \frac{u}{2}} = \frac{\sin u}{1 + \cos u}$

∎

✏️Eksempel 7: Halvvinkelformel

Finn den eksakte verdien av $\cos 22{,}5°$ .

Løysing:

Vi bruker halvvinkelformelen med $u = 45°$ , slik at $\displaystyle \frac{u}{2} = 22{,}5°$ :

$\cos^2 22{,}5° = \frac{1 + \cos 45°}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$

$= \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Sidan $22{,}5°$ er i fyrste kvadrant, er $\cos 22{,}5° > 0$ :

$\cos 22{,}5° = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Svar: $\displaystyle \cos 22{,}5° = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

✏️Eksempel 8: Halvvinkel med gitt verdi

Gitt at $\displaystyle \cos u = \frac{4}{5}$ der $\displaystyle 0 < u < \frac{\pi}{2}$ . Finn $\displaystyle \sin \frac{u}{2}$ og $\displaystyle \cos \frac{u}{2}$ .

Løysing:

Sidan $\displaystyle 0 < u < \frac{\pi}{2}$ , har vi $\displaystyle 0 < \frac{u}{2} < \frac{\pi}{4}$ , som betyr at $\displaystyle \frac{u}{2}$ er i fyrste kvadrant. Dermed er både $\displaystyle \sin \frac{u}{2}$ og $\displaystyle \cos \frac{u}{2}$ positive.

$\displaystyle \sin \frac{u}{2}$ :
$\sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$
$\sin \frac{u}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\displaystyle \cos \frac{u}{2}$ :
$\cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$
$\cos \frac{u}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Svar: $\displaystyle \sin \frac{u}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ og $\displaystyle \cos \frac{u}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

📝Oppgave 5

Bruk halvvinkelformlane.

Finn $\sin 15°$ ved å bruke halvvinkelformelen med $u = 30°$

Gitt $\displaystyle \cos u = \frac{7}{25}$ der $\displaystyle 0 < u < \frac{\pi}{2}$ , finn $\displaystyle \cos \frac{u}{2}$

Gitt $\displaystyle \sin u = \frac{24}{25}$ og $\displaystyle \cos u = \frac{7}{25}$ , finn $\displaystyle \tan \frac{u}{2}$

Løs oppgaven

Produktformlane

Fordjuping (utanfor læreplanen): produktformlane og sumformlane i dei to neste avsnitta er ikkje ein del av R2.

Produktformlane lèt oss skrive om produkt av trigonometriske funksjonar til summar. Dette er nyttig for integrasjon og forenkling av uttrykk.

📜Produktformlane

For alle vinklar

u

v

gjeld:

$\sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$

$\cos u \cos v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) + \cos(u + v)]$

$\sin u \sin v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) - \cos(u + v)]$

Utleiing av produktformlane

Vi startar med addisjonsformlane:

\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v

\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v

Adderer vi desse to likningane:
$\sin(u + v) + \sin(u - v) = 2 \sin u \cos v$
$\sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$

For cosinus-produktet bruker vi:
$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$
$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Adderer vi desse:
$\cos(u + v) + \cos(u - v) = 2 \cos u \cos v$
$\cos u \cos v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) + \cos(u + v)]$

Subtraherer vi i staden:
$\cos(u - v) - \cos(u + v) = 2 \sin u \sin v$
$\sin u \sin v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) - \cos(u + v)]$

∎

✏️Eksempel 9: Produktformel

Skriv om $\sin 5x \cos 3x$ som ein sum.

Løysing:

Vi bruker produktformelen $\displaystyle \sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$ med $u = 5x$ og $v = 3x$ :

$\sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}[\sin(5x + 3x) + \sin(5x - 3x)]$
$= \frac{1}{2}[\sin 8x + \sin 2x]$
$= \frac{1}{2}\sin 8x + \frac{1}{2}\sin 2x$

Svar: $\displaystyle \sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}\sin 8x + \frac{1}{2}\sin 2x$

✏️Eksempel 10: Produkt av cosinus

Skriv om $\cos 4x \cos 2x$ som ein sum.

Løysing:

Vi bruker produktformelen $\displaystyle \cos u \cos v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) + \cos(u + v)]$ med $u = 4x$ og $v = 2x$ :

$\cos 4x \cos 2x = \frac{1}{2}[\cos(4x - 2x) + \cos(4x + 2x)]$
$= \frac{1}{2}[\cos 2x + \cos 6x]$
$= \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 6x$

Svar: $\displaystyle \cos 4x \cos 2x = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 6x$

📝Oppgave 6

Skriv om produkta som summar.

\sin 3x \cos x

\cos 5x \cos 2x

\sin 4x \sin 2x

Løs oppgaven

Sumformlane (sum-til-produkt)

Fordjuping (utanfor læreplanen).

Sumformlane er det motsette av produktformlane. Dei lèt oss skrive om summar og differansar av trigonometriske funksjonar til produkt.

📜Sumformlane (sum-til-produkt)

For alle vinklar

A

B

gjeld:

$\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2}$

$\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A + B}{2} \sin\frac{A - B}{2}$

$\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2}$

$\cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A + B}{2} \sin\frac{A - B}{2}$

Utleiing av sumformlane

Vi utleier sumformlane frå produktformlane ved substitusjon.

La $u + v = A$ og $u - v = B$ . Då er:
$u = \frac{A + B}{2}, \quad v = \frac{A - B}{2}$

Frå produktformelen $\displaystyle \sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$ :
$2\sin u \cos v = \sin(u + v) + \sin(u - v)$
$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}$

For differansen bruker vi $\sin(u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$ og $\sin(u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$ :
$\sin(u + v) - \sin(u - v) = 2\cos u \sin v$
$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

Tilsvarande blir dei to cosinusformlane utleidde frå produktformlane for cosinus.

∎

✏️Eksempel 11: Sumformel

Skriv om $\sin 5x + \sin 3x$ som eit produkt.

Løysing:

Vi bruker sumformelen $\displaystyle \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2}$ med $A = 5x$ og $B = 3x$ :

$\sin 5x + \sin 3x = 2 \sin\frac{5x + 3x}{2} \cos\frac{5x - 3x}{2}$
$= 2 \sin 4x \cos x$

Svar: $\sin 5x + \sin 3x = 2 \sin 4x \cos x$

✏️Eksempel 12: Differanse av cosinus

Skriv om $\cos 2x - \cos 6x$ som eit produkt.

Løysing:

Vi bruker sumformelen $\displaystyle \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A + B}{2} \sin\frac{A - B}{2}$ med $A = 2x$ og $B = 6x$ :

$\cos 2x - \cos 6x = -2 \sin\frac{2x + 6x}{2} \sin\frac{2x - 6x}{2}$
$= -2 \sin 4x \sin(-2x)$
$= -2 \sin 4x \cdot (-\sin 2x)$
$= 2 \sin 4x \sin 2x$

Svar: $\cos 2x - \cos 6x = 2 \sin 4x \sin 2x$

📝Oppgave 7

Skriv om summane som produkt.

\sin 7x + \sin x

\cos 5x + \cos 3x

\sin 6x - \sin 2x

\cos x - \cos 5x

Løs oppgaven

Bruksområde og forenkling

Dei trigonometriske formlane har mange bruksområde. Her ser vi på korleis dei blir brukte til å forenkle uttrykk og bevise identitetar.

✏️Eksempel 13: Bevis av identitet

Vis at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ .

Løysing:

Vi bruker dobbeltvinkelformlane $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ og $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ :

$\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)}$
$= \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x}$
$= \frac{\cos x}{\sin x}$

Dermed er identiteten vist.

✏️Eksempel 14: Forenkle samansett uttrykk

Forenkle $\cos^4 x - \sin^4 x$ .

Løysing:

Vi faktoriserer ved hjelp av konjugatsetningen:
$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 - (\sin^2 x)^2$
$= (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^2 x - \sin^2 x)$

Vi bruker Pytagoras-identiteten $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ og dobbeltvinkelformelen $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ :

$= 1 \cdot \cos 2x = \cos 2x$

Svar: $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$

📝Oppgave 8

Vis at identitetane stemmer.

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x

\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x

✏️Eksempel 15: Løyse likning med dobbeltvinkel

Løys likninga $\sin 2x = \cos x$ for $0 \leq x < 2\pi$ .

Løysing:

Vi bruker $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ :
$2\sin x \cos x = \cos x$
$2\sin x \cos x - \cos x = 0$
$\cos x(2\sin x - 1) = 0$

Tilfelle 1: $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} \text{ eller } x = \frac{3\pi}{2}$

Tilfelle 2: $\displaystyle 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$x = \frac{\pi}{6} \text{ eller } x = \frac{5\pi}{6}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

✏️Eksempel 16: Identitet med sumformlar

Vis at $\displaystyle \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \tan 2x$ .

Løysing:

Vi bruker sumformlane:
- $\displaystyle \sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x \cos x$
- $\displaystyle \cos 3x + \cos x = 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos 2x \cos x$

Dermed:
$\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \frac{2\sin 2x \cos x}{2\cos 2x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x$

📝Oppgave 9

Løys likningane for $0 \leq x < 2\pi$ .

\cos 2x = \sin x

\sin 2x + \sin x = 0

\cos 2x + \cos x = 0

Strategi for å velje rett formel:

1. Rekne ut eksakte verdiar: Bruk addisjonsformlane til å dele opp ukjende vinklar i kjende (30°, 45°, 60°)
2. Forenkle uttrykk: Dobbeltvinkelformlane er ofte nyttige for å redusere potensar
3. Integrasjon: Produktformlane gjer produkt om til summar, som er lettare å integrere
4. Faktorisering: Sumformlane gjer summar om til produkt, nyttig for å løyse likningar

Blanda oppgåver

Her er fleire oppgåver som krev bruk av ulike formlar frå kapittelet.

📝Oppgave 10

Finn dei eksakte verdiane.

\sin 165°

\cos 195°

\tan 105°

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Forenkle uttrykka så mykje som mogleg.

\sin^2 x \cos^2 x

1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x

(fordjuping: bruker sumformlane)

\displaystyle \frac{\sin 4x}{\sin x}

for

\sin x \neq 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Vis at identitetane stemmer.

\displaystyle \tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{2}{\sin 2x}

\displaystyle \frac{1 + \tan^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{\cos 2x}

\sin 4x = 4\sin x \cos x \cos 2x

📝Oppgave 13

Løys likningane for $0 \leq x < 2\pi$ .

\sin x + \sin 3x = 0

\cos x - \cos 3x = \sin 2x

\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0

📝Oppgave 14

Utfordringsoppgåver. Oppgåve a) er fordjuping: ho bruker produktformlane.

Vis at $\displaystyle \sin 20° \sin 40° \sin 80° = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Vis at $\tan 20° \cdot \tan 40° \cdot \tan 80° = \sqrt{3}$

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært:

Addisjonsformlane:
- $\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$
- $\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$
- $\displaystyle \tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

Dobbeltvinkelformlane:
- $\sin 2u = 2\sin u \cos u$
- $\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u = 2\cos^2 u - 1 = 1 - 2\sin^2 u$

Halvvinkelformlane:
- $\displaystyle \sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}$
- $\displaystyle \cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$

Produktformlane:
- Produkt til sum: t.d. $\displaystyle \sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u+v) + \sin(u-v)]$

Sumformlane:
- Sum til produkt: t.d. $\displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

Desse formlane er essensielle verktøy for å forenkle trigonometriske uttrykk, løyse likningar og bevise identitetar.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.