4.6 Trigonometriske formler

Formlenes slektstre

Hva er $\sin 75°$ — helt eksakt, uten kalkulator? Ved første øyekast virker det umulig: $75°$ står ikke i noen tabell. Men $75° = 45° + 30°$, og både $45°$ og $30°$ kjenner vi ut og inn. Hvis vi bare hadde en formel for sinus av en sum av vinkler, ville svaret falle ut av seg selv.

Den formelen finnes, og den er inngangsporten til dette kapitlet. Addisjonsformlene uttrykker sinus og cosinus av summer og differanser av vinkler, og de er stamfedrene i et helt slektstre av identiteter: setter vi de to vinklene like, fødes dobbeltvinkelformlene; løser vi dem baklengs, får vi halvvinkelformlene; adderer og subtraherer vi dem på kryss og tvers, oppstår produktformlene og sumformlene. Hver eneste formel i kapitlet kan spores tilbake til addisjonsformlene — og addisjonsformlene selv kan bevises med ren geometri på enhetssirkelen.

Hvorfor bry seg? Fordi disse formlene er arbeidshestene i all videre matematikk med trigonometri: de forenkler uttrykk, løser likninger som ellers ville vært uangripelige, beviser identiteter, og dukker opp igjen når du skal derivere og integrere trigonometriske funksjoner. I denne fortellingen følger vi slektstreet fra roten og ut i grenene, med beviser og eksempler underveis — og til slutt ser vi formlene i aksjon på likninger og identiteter.

Addisjonsformlene — roten av treet

Her er de fire formlene alt bygger på. For alle vinkler $u$ og $v$ gjelder

$$\begin{aligned} &\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v, \\ &\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v, \\ &\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v \end{aligned}$$

Legg merke til fortegnsmønsteret: sinus beholder tegnet i midten, cosinus snur det.

Hvor kommer de fra? Bevisidéen er vakker. På enhetssirkelen markerer vi punktene $P_1 = (\cos u, \sin u)$ og $P_2 = (\cos v, \sin v)$, samt $P_3 = (\cos(u-v), \sin(u-v))$ og $P_4 = (1, 0)$. Buen fra $P_2$ til $P_1$ og buen fra $P_4$ til $P_3$ spenner begge over vinkelen $u - v$, så avstandene $P_1P_2$ og $P_3P_4$ er like. Regner vi ut begge avstandene med avstandsformelen og bruker $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, står vi igjen med $\cos(u - v) = \cos u\cos v + \sin u\sin v$. De tre andre formlene følger ved å sette inn $-v$ for $v$ og bruke $\displaystyle \sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$.

Nå kan vi besvare åpningsspørsmålet: $\displaystyle \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. På samme vis er $\displaystyle \cos 15° = \cos(45° - 30°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ — samme verdi, som rimelig er, siden $\cos 15° = \sin 75°$.

Formlene fungerer også når vinklene bare er kjent gjennom sine sinus- og cosinusverdier. Er $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ og $\displaystyle \cos v = \frac{12}{13}$ med begge vinkler i første kvadrant, gir Pytagoras-identiteten $\displaystyle \cos u = \frac{4}{5}$ og $\displaystyle \sin v = \frac{5}{13}$, og dermed $\displaystyle \sin(u + v) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{56}{65}$.

Tangens arver — og dobbeltvinklene fødes

Tangens får sin egen addisjonsformel ved å dele sinusformelen på cosinusformelen og forkorte med $\cos u \cos v$:

$$\begin{aligned} &\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}, \\ &\tan(u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \tan v} \end{aligned}$$

Den gir for eksempel $\displaystyle \tan 75° = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45°\tan 30°} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ etter rasjonalisering.

Nå til slektstreet første forgrening: hva skjer hvis de to vinklene er like? Sett $v = u$ i addisjonsformlene, og dobbeltvinkelformlene faller rett ut: $\sin 2u = 2\sin u\cos u$ og $\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u$. Cosinusvarianten kan i tillegg omskrives med Pytagoras-identiteten til to nyttige søsken: $\cos 2u = 2\cos^2 u - 1 = 1 - 2\sin^2 u$. For tangens gir samme grep $\displaystyle \tan 2u = \frac{2\tan u}{1 - \tan^2 u}$.

La oss bruke dem. Anta $\displaystyle \cos u = \frac{3}{5}$ med $u$ i første kvadrant, slik at $\displaystyle \sin u = \frac{4}{5}$. Da er $\displaystyle \sin 2u = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$, og $\displaystyle \cos 2u = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$ — dobbeltvinkelen har krysset over i andre kvadrant! Tangens følger som forholdet: $\displaystyle \tan 2u = -\frac{24}{7}$.

Dobbeltvinkelformlene er også glimrende til forenkling. Uttrykket $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}$ blir med $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ og $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ til $\displaystyle \frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} = \tan x$ — tre etasjer med dobbeltvinkler kollapser til én enkel tangens.

Halvvinkelformlene — slektstreet baklengs

Kan vi gå motsatt vei — fra en vinkel til halvparten av den? Hva er for eksempel $\cos 22{,}5°$, helt eksakt? Trikset er å lese dobbeltvinkelformlene baklengs. Start med $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$, og la $2\theta = u$, slik at $\displaystyle \theta = \frac{u}{2}$. Da står det $\displaystyle \cos u = 1 - 2\sin^2\frac{u}{2}$, og løser vi for kvadratet:

$$\sin^2\frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}, \qquad \cos^2\frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$$

der den andre kommer fra varianten $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$. For tangens finnes de elegante bruddfrie formene $\displaystyle \tan\frac{u}{2} = \frac{\sin u}{1 + \cos u} = \frac{1 - \cos u}{\sin u}$.

Trekker vi kvadratrot, dukker et valg opp: $\displaystyle \sin\frac{u}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos u}{2}}$ og $\displaystyle \cos\frac{u}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos u}{2}}$, og fortegnet bestemmes av hvilken kvadrant $\displaystyle \frac{u}{2}$ ligger i — det er her de fleste feilene skjer, så tenk alltid gjennom kvadranten før du velger.

Nå kan vi besvare spørsmålet: med $u = 45°$ er $\displaystyle \cos^2 22{,}5° = \frac{1 + \cos 45°}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$, og siden $22{,}5°$ ligger i første kvadrant er $\displaystyle \cos 22{,}5° = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

Et eksempel med gitte verdier: hvis $\displaystyle \cos u = \frac{4}{5}$ og $\displaystyle 0 < u < \frac{\pi}{2}$, ligger $\displaystyle \frac{u}{2}$ trygt i første kvadrant. Da er $\displaystyle \sin^2\frac{u}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10}$, så $\displaystyle \sin\frac{u}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$, og $\displaystyle \cos^2\frac{u}{2} = \frac{9}{10}$, så $\displaystyle \cos\frac{u}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Produkter blir summer — og summer blir produkter

De ytterste grenene i slektstreet vokser fram når vi adderer og subtraherer addisjonsformlene parvis. Legger vi sammen $\sin(u+v)$ og $\sin(u-v)$, kansellerer kryssleddene, og vi får produktformelen $\displaystyle \sin u\cos v = \frac{1}{2}[\sin(u+v) + \sin(u-v)]$. Tilsvarende manøvrer med cosinusformlene gir $\displaystyle \cos u\cos v = \frac{1}{2}[\cos(u-v) + \cos(u+v)]$ og $\displaystyle \sin u\sin v = \frac{1}{2}[\cos(u-v) - \cos(u+v)]$. Produktformlene gjør produkter om til summer — uvurderlig når du senere skal integrere uttrykk som $\sin 5x\cos 3x$, som blir $\displaystyle \frac{1}{2}\sin 8x + \frac{1}{2}\sin 2x$. På samme vis er $\displaystyle \cos 4x\cos 2x = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 6x$.

Sumformlene går motsatt vei. Substituerer vi $A = u + v$ og $B = u - v$, slik at $\displaystyle u = \frac{A+B}{2}$ og $\displaystyle v = \frac{A-B}{2}$, forvandles produktformlene til

$$\begin{aligned} &\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \\ &\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \\ &\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \end{aligned}$$

Nå blir summer til produkter — perfekt for faktorisering og likningsløsning. For eksempel er $\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x$, og $\cos 2x - \cos 6x = -2\sin 4x\sin(-2x) = 2\sin 4x\sin 2x$.

En tommelfingerregel for valg av formel: trenger du eksakte verdier, del vinkelen opp med addisjonsformlene; skal du redusere potenser eller forenkle, prøv dobbeltvinkel; skal du integrere et produkt, bruk produktformlene; skal du faktorisere en sum for å løse en likning, bruk sumformlene.

Formlene i aksjon

Til slutt skal slektstreet bære frukt. Den første høsten er identitetsbevis. Skal du vise at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = \frac{\cos x}{\sin x}$, setter du inn $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ og $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: nevneren blir $2\sin^2 x$, og brøken forkortes til $\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}$. Eller ta $\cos^4 x - \sin^4 x$: konjugatsetningen faktoriserer dette som $(\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^2 x - \sin^2 x)$, der første faktor er $1$ og andre er $\cos 2x$ — hele uttrykket er rett og slett $\cos 2x$. Med sumformlene viser du like greit at $\displaystyle \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x} = \tan 2x$.

Den andre høsten er likninger som ellers ville stått fast. Se på $\sin 2x = \cos x$ for $0 \leq x < 2\pi$. Uten formler er dette to forskjellige funksjoner; med dobbeltvinkelformelen blir det $2\sin x\cos x = \cos x$, og flytter vi alt til venstre og faktoriserer: $\cos x(2\sin x - 1) = 0$. Et produkt er null når en faktor er null, så enten $\cos x = 0$, som gir $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ og $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$, eller $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$, som gir $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$. Fire løsninger — og merk fellen: hadde vi delt på $\cos x$ i stedet for å faktorisere, ville vi mistet to av dem.

Dette er mønsteret du vil møte igjen og igjen: skriv om med riktig formel til alt er uttrykt i samme vinkel eller samme funksjon, faktoriser, og løs delene hver for seg med teknikkene fra likningskapitlene.

Oppsummering

Vi begynte med et tilsynelatende umulig spørsmål — den eksakte verdien av $\sin 75°$ — og endte opp med å kartlegge et helt slektstre av formler, alle med samme rot. Addisjonsformlene $\sin(u \pm v) = \sin u\cos v \pm \cos u\sin v$ og $\cos(u \pm v) = \cos u\cos v \mp \sin u\sin v$ beviste vi geometrisk på enhetssirkelen, og de ga oss umiddelbart eksakte verdier som $\displaystyle \sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ og tangensvarianten $\displaystyle \tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$.

Med $v = u$ fødtes dobbeltvinkelformlene $\sin 2u = 2\sin u\cos u$ og $\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u = 2\cos^2 u - 1 = 1 - 2\sin^2 u$. Lest baklengs ga de halvvinkelformlene $\displaystyle \sin^2\frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}$ og $\displaystyle \cos^2\frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$, der kvadranten til $\displaystyle \frac{u}{2}$ bestemmer fortegnet ved rotuttrekking. Ved å addere og subtrahere addisjonsformlene fikk vi produktformlene, som gjør produkter til summer, og ved substitusjon sumformlene, som gjør summer til produkter — som $\displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.

Til slutt så vi formlene i arbeid: identiteter som $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$ falt med ett formelgrep, og likningen $\sin 2x = \cos x$ løste seg ved omskriving og faktorisering — aldri divisjon som kan slette løsninger. Velg formel etter formål: addisjon for eksakte verdier, dobbeltvinkel for forenkling, produktform for integrasjon, sumform for faktorisering. Treet står klart; nå er det din tur til å klatre i det.