3.3 Delbrøkoppspalting | Matematikk R2

Integrasjon av rasjonale funksjonar.

60 min

25 oppgaver

DelbrøkarRasjonale funksjonarKoeffisientbestemming

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 25 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.3Integrasjon av 1/x og eksponentialfunksjoner

Kva er delbrøkoppspalting?

Når vi skal integrere rasjonale funksjonar, er det ofte vanskeleg å finne ein antiderivert direkte. Til dømes er integralet

$\int \frac{3x + 5}{x^2 - x - 2} \, dx$

ikkje umiddelbart enkelt å løyse. Men viss vi kan skrive brøken som ein sum av enklare brøkar:

$\frac{3x + 5}{x^2 - x - 2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

blir integrasjonen mykje enklare, fordi vi veit at $\displaystyle \int \frac{1}{x - a} \, dx = \ln|x - a| + C$ .

Delbrøkoppspalting er teknikken for å skrive ein rasjonal funksjon som ein sum av enklare brøkar. Dette er eit viktig verktøy i integrasjon, men òg nyttig i andre samanhengar som differensiallikningar og Laplace-transformasjonar.

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

✏️Eksempel 1: Ekte og uekte brøkar

Avgjer om følgjande rasjonale funksjonar er ekte:

a) $\displaystyle \frac{x + 3}{x^2 + 1}$

b) $\displaystyle \frac{x^3 + 2x}{x^2 - 1}$

a) Teljaren har grad 1, nemnaren har grad 2. Sidan $1 < 2$ , er brøken ekte.

b) Teljaren har grad 3, nemnaren har grad 2. Sidan $3 \geq 2$ , er brøken uekte.

Før vi kan bruke delbrøkoppspalting på uekte brøkar, må vi først utføre polynomdivisjon.

Svar: a) er ekte, b) er uekte.

📝Oppgave 3.3.1

Avgjer om følgjande rasjonale funksjonar er ekte eller uekte:

a) $\displaystyle \frac{2x - 1}{x^3 + x^2}$

b) $\displaystyle \frac{x^4}{x^2 + 1}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$

Enkle lineære faktorar

Det enklaste tilfellet av delbrøkoppspalting er når nemnaren kan faktoriserast i ulike lineære faktorar. Då kan vi skrive brøken som ein sum av brøkar med desse faktorane i nemnaren.

📜Delbrøkoppspalting med ulike lineære faktorar

Dersom

Q(x) = (x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)

der alle

r_i

er ulike, kan vi skrive

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x - r_1} + \frac{A_2}{x - r_2} + \cdots + \frac{A_n}{x - r_n}$

der $A_1, A_2, \ldots, A_n$ er konstantar som må bestemmast.

Føresetnad: Brøken må vere ekte, dvs. grad $(P) <$ grad $(Q)$ .

✏️Eksempel 2: To ulike lineære faktorar

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{5x - 3}{(x - 1)(x + 2)}$ .

Vi set opp ansatsen:

\frac{5x - 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}

Multipliserer begge sider med $(x - 1)(x + 2)$ :
$5x - 3 = A(x + 2) + B(x - 1)$

Innsetjingsmetoden:

Sett $x = 1$ :
$5(1) - 3 = A(1 + 2) + B(0)$
$2 = 3A \Rightarrow A = \frac{2}{3}$

Sett $x = -2$ :
$5(-2) - 3 = A(0) + B(-2 - 1)$
$-13 = -3B \Rightarrow B = \frac{13}{3}$

Svar:
$\begin{aligned} &\frac{5x - 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{13/3}{x + 2} \\ = {}&\frac{2}{3(x - 1)} + \frac{13}{3(x + 2)} \end{aligned}$

📝Oppgave 3.3.2

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{7x + 1}{(x - 3)(x + 1)}$ .

✏️Eksempel 3: Tre ulike lineære faktorar

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{x^2 + 2x - 1}{x(x - 1)(x + 1)}$ .

Vi set opp ansatsen:

\frac{x^2 + 2x - 1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}

Multipliserer med $x(x - 1)(x + 1)$ :
$\begin{aligned} &x^2 + 2x - 1 \\ = {}&A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1) \end{aligned}$

Innsetjingsmetoden:

$x = 0$ : $-1 = A(-1)(1) = -A \Rightarrow A = 1$

$x = 1$ : $1 + 2 - 1 = B(1)(2) = 2B \Rightarrow B = 1$

$x = -1$ : $1 - 2 - 1 = C(-1)(-2) = 2C \Rightarrow C = -1$

Svar:
$\frac{x^2 + 2x - 1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

📝Oppgave 3.3.3

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{2x^2 - x + 4}{x(x - 2)(x + 2)}$ .

Gjentatte lineære faktorar

Når nemnaren har ein faktor som blir gjentatt fleire gonger, må vi inkludere ein delbrøk for kvar potens av denne faktoren.

📜Delbrøkoppspalting med gjentatte lineære faktorar

Dersom nemnaren inneheld faktoren

(x - r)^k

, må vi inkludere følgjande ledd i delbrøkoppspaltinga:

$\frac{A_1}{x - r} + \frac{A_2}{(x - r)^2} + \frac{A_3}{(x - r)^3} + \cdots + \frac{A_k}{(x - r)^k}$

Eksempel: For $\displaystyle \frac{P(x)}{(x - 1)^2(x + 3)}$ bruker vi ansatsen:

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x + 3}$

✏️Eksempel 4: Gjentatt lineær faktor

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{3x + 7}{(x + 1)^2}$ .

Vi set opp ansatsen:

\frac{3x + 7}{(x + 1)^2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2}

Multipliserer med $(x + 1)^2$ :
$3x + 7 = A(x + 1) + B$

Metode 1: Innsetjing

$x = -1$ : $3(-1) + 7 = B \Rightarrow B = 4$

Metode 2: Koeffisientsamanlikning

$3x + 7 = Ax + A + B$

Samanliknar koeffisientar:
- $x$ -ledd: $3 = A$
- Konstantledd: $7 = A + B = 3 + B \Rightarrow B = 4$

Svar:
$\frac{3x + 7}{(x + 1)^2} = \frac{3}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2}$

📝Oppgave 3.3.4

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{2x - 5}{(x - 2)^2}$ .

✏️Eksempel 5: Kombinasjon av enkel og gjentatt faktor

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{x^2 + 3x + 2}{(x - 1)(x + 2)^2}$ .

Vi set opp ansatsen:

\frac{x^2 + 3x + 2}{(x - 1)(x + 2)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^2}

Multipliserer med $(x - 1)(x + 2)^2$ :
$\begin{aligned} &x^2 + 3x + 2 \\ = {}&A(x + 2)^2 + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1) \end{aligned}$

Innsetjingsmetoden:

$x = 1$ : $\displaystyle 1 + 3 + 2 = A(3)^2 \Rightarrow 6 = 9A \Rightarrow A = \frac{2}{3}$

$x = -2$ : $4 - 6 + 2 = C(-3) \Rightarrow 0 = -3C \Rightarrow C = 0$

Koeffisientsamanlikning for å finne $B$ :

Utvidar høgre side og samanliknar $x^2$ -koeffisientar:
$x^2: \quad 1 = A + B$
$1 = \frac{2}{3} + B \Rightarrow B = \frac{1}{3}$

Svar:
$\frac{x^2 + 3x + 2}{(x - 1)(x + 2)^2} = \frac{2}{3(x - 1)} + \frac{1}{3(x + 2)}$

(Legg merke til at leddet $\displaystyle \frac{C}{(x+2)^2}$ forsvinn sidan $C = 0$ .)

📝Oppgave 3.3.5

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{5x^2 - 3x + 2}{x(x - 1)^2}$ .

✏️Eksempel 5b: Faktor opphøgd i tredje

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{x^2 + 1}{(x - 1)^3}$ .

Vi set opp ansatsen med tre ledd:

\frac{x^2 + 1}{(x - 1)^3} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3}

Multipliserer med $(x - 1)^3$ :
$x^2 + 1 = A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C$

Innsetjingsmetoden:

$x = 1$ : $1 + 1 = C \Rightarrow C = 2$

Koeffisientsamanlikning:

Utvidar: $x^2 + 1 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x - 1) + C$
$= Ax^2 - 2Ax + A + Bx - B + C$
$= Ax^2 + (-2A + B)x + (A - B + C)$

Samanliknar:
- $x^2$ : $A = 1$
- $x$ : $-2A + B = 0 \Rightarrow B = 2$
- Konstantledd: $A - B + C = 1 - 2 + 2 = 1$ \checkmark

Svar:
$\frac{x^2 + 1}{(x - 1)^3} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1)^2} + \frac{2}{(x - 1)^3}$

📝Oppgave 3.3.5b

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 1)^3}$ .

Koeffisientsamanlikning

Koeffisientsamanlikning er ein alternativ metode til innsetjing. Han er spesielt nyttig når innsetjingsmetoden ikkje gir alle koeffisientane direkte.

Koeffisientsamanlikning

x

✏️Eksempel 6: Rein koeffisientsamanlikning

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{4x - 1}{(x - 1)(x - 2)}$ ved koeffisientsamanlikning.

Vi set opp ansatsen:

\frac{4x - 1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}

Multipliserer med $(x - 1)(x - 2)$ :
$4x - 1 = A(x - 2) + B(x - 1)$
$4x - 1 = Ax - 2A + Bx - B$
$4x - 1 = (A + B)x + (-2A - B)$

Koeffisientsamanlikning:

$x$ -ledd: $A + B = 4$

Konstantledd: $-2A - B = -1$

Løyser likningssystemet:

Frå første likning: $B = 4 - A$

Set inn i andre: $-2A - (4 - A) = -1$
$-2A - 4 + A = -1$
$-A = 3 \Rightarrow A = -3$
$B = 4 - (-3) = 7$

Svar:
$\frac{4x - 1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{-3}{x - 1} + \frac{7}{x - 2}$

📝Oppgave 3.3.6

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{6x + 5}{(x + 1)(x + 3)}$ ved koeffisientsamanlikning.

Irredusible kvadratiske faktorar

Nokre gonger inneheld nemnaren andregradsuttrykk som ikkje kan faktoriserast over dei reelle tala. Slike faktorar blir kalla irredusible kvadratiske faktorar.

Eit andregradsuttrykk $ax^2 + bx + c$ er irredusibelt viss diskriminanten $b^2 - 4ac < 0$ .

📜Delbrøkoppspalting med irredusible kvadratiske faktorar

Dersom nemnaren inneheld ein irredusibel kvadratisk faktor

(ax^2 + bx + c)

, må vi inkludere eit ledd på forma:

$\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}$

Merk: Teljaren har no grad 1 (ikkje berre ein konstant).

Eksempel: For $\displaystyle \frac{P(x)}{(x - 1)(x^2 + 1)}$ bruker vi ansatsen:

$\frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$

✏️Eksempel 6b: Irredusibel kvadratisk faktor

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{2x^2 + x + 3}{(x - 1)(x^2 + 1)}$ .

Vi sjekkar at

x^2 + 1

er irredusibel: diskriminanten er

0 - 4 = -4 < 0

\checkmark

Ansatsen blir:
$\frac{2x^2 + x + 3}{(x - 1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$

Multipliserer med $(x - 1)(x^2 + 1)$ :
$2x^2 + x + 3 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1)$

Innsetjing: $x = 1$ :
$2 + 1 + 3 = A(2) \Rightarrow 6 = 2A \Rightarrow A = 3$

Koeffisientsamanlikning:
Utvidar høgre side:
$\begin{aligned} &A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1) \\ = {}&Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C \end{aligned}$
$= (A + B)x^2 + (-B + C)x + (A - C)$

Samanliknar med $2x^2 + x + 3$ :
- $x^2$ : $A + B = 2 \Rightarrow 3 + B = 2 \Rightarrow B = -1$
- $x$ : $-B + C = 1 \Rightarrow 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0$
- Konstantledd: $A - C = 3 - 0 = 3$ \checkmark

Svar:
$\begin{aligned} &\frac{2x^2 + x + 3}{(x - 1)(x^2 + 1)} \\ = {}&\frac{3}{x - 1} + \frac{-x}{x^2 + 1} \\ = {}&\frac{3}{x - 1} - \frac{x}{x^2 + 1} \end{aligned}$

📝Oppgave 3.3.6b

Utfør delbrøkoppspalting på $\displaystyle \frac{x^2 + 2x + 5}{(x + 1)(x^2 + 4)}$ .

Integrasjon av delbrøkar

Hovudårsaka til at delbrøkoppspalting er så nyttig, er at det forenklar integrasjon. Dei enklare brøkane har kjende integral.

📜Integrasjon av delbrøkar

Enkle lineære faktorar:

\int \frac{A}{x - r} \, dx = A \ln|x - r| + C

Gjentatte lineære faktorar ( $n > 1$ ):
$\begin{aligned} &\int \frac{A}{(x - r)^n} \, dx \\ = {}&\frac{A}{-(n-1)(x - r)^{n-1}} + C \\ = {}&\frac{-A}{(n-1)(x - r)^{n-1}} + C \end{aligned}$

Spesialtilfelle ( $n = 2$ ):
$\int \frac{A}{(x - r)^2} \, dx = \frac{-A}{x - r} + C$

Irredusible kvadratiske faktorar (fordjuping, utover R2):
$\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$

$\int \frac{x}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + a^2) + C$

✏️Eksempel 7: Integrasjon etter delbrøkoppspalting

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{5x - 3}{(x - 1)(x + 2)} \, dx$ .

Frå eksempel 2 fann vi:

\frac{5x - 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{13/3}{x + 2}

No kan vi integrere:
$\int \frac{5x - 3}{(x - 1)(x + 2)} \, dx = \int \frac{2/3}{x - 1} \, dx + \int \frac{13/3}{x + 2} \, dx$

$= \frac{2}{3} \ln|x - 1| + \frac{13}{3} \ln|x + 2| + C$

Svar: $\displaystyle \int \frac{5x - 3}{(x - 1)(x + 2)} \, dx = \frac{2}{3} \ln|x - 1| + \frac{13}{3} \ln|x + 2| + C$

📝Oppgave 3.3.7

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{7x + 1}{(x - 3)(x + 1)} \, dx$ .

✏️Eksempel 8: Integrasjon med gjentatt faktor

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{3x + 7}{(x + 1)^2} \, dx$ .

Frå eksempel 4:

\frac{3x + 7}{(x + 1)^2} = \frac{3}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2}

Integrerer:
$\int \frac{3}{x + 1} \, dx = 3 \ln|x + 1| + C_1$

$\int \frac{4}{(x + 1)^2} \, dx = \frac{-4}{x + 1} + C_2$

Svar:
$\int \frac{3x + 7}{(x + 1)^2} \, dx = 3 \ln|x + 1| - \frac{4}{x + 1} + C$

📝Oppgave 3.3.8

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{2x - 5}{(x - 2)^2} \, dx$ .

✏️Eksempel 8b: Integrasjon med irredusibel faktor

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{2x^2 + x + 3}{(x - 1)(x^2 + 1)} \, dx$ .

Frå eksempel 6b fann vi:

\frac{2x^2 + x + 3}{(x - 1)(x^2 + 1)} = \frac{3}{x - 1} - \frac{x}{x^2 + 1}

No integrerer vi kvar del:

$\int \frac{3}{x - 1} \, dx = 3 \ln|x - 1|$

$\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$

(Bruker substitusjon $u = x^2 + 1$ , $du = 2x \, dx$ )

Svar:
$\begin{aligned} &\int \frac{2x^2 + x + 3}{(x - 1)(x^2 + 1)} \, dx \\ = {}&3 \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \end{aligned}$

✏️Eksempel 8c: Kvadratisk faktor i nemnar (fordjuping)

Fordjuping (utover R2): Rekn ut

\displaystyle \int \frac{1}{(x + 1)(x^2 + 4)} \, dx

. Bruk at

\displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C

Delbrøkoppspalting:

\frac{1}{(x + 1)(x^2 + 4)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4}

Multipliserer med $(x + 1)(x^2 + 4)$ :
$1 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x + 1)$

$x = -1$ : $\displaystyle 1 = A(5) \Rightarrow A = \frac{1}{5}$

Koeffisientsamanlikning:
- $x^2$ : $\displaystyle A + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{5}$
- Konstantledd: $\displaystyle 4A + C = 1 \Rightarrow C = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

So:
$\frac{1}{(x + 1)(x^2 + 4)} = \frac{1}{5(x + 1)} + \frac{-x/5 + 1/5}{x^2 + 4}$

Integrasjon:
$\int \frac{1}{5(x + 1)} \, dx = \frac{1}{5} \ln|x + 1|$

$\int \frac{-x/5}{x^2 + 4} \, dx = -\frac{1}{10} \ln(x^2 + 4)$

$\int \frac{1/5}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{10} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$

Svar:
$\begin{aligned} &\int \frac{1}{(x + 1)(x^2 + 4)} \, dx \\ = {}&\frac{1}{5} \ln|x + 1| - \frac{1}{10} \ln(x^2 + 4) + \frac{1}{10} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \end{aligned}$

📝Oppgave 3.3.8b

Fordjuping (utover R2): Rekn ut

\displaystyle \int \frac{x + 5}{(x - 2)(x^2 + 1)} \, dx

Kombinasjon med polynomdivisjon

Når den rasjonale funksjonen er uekte (graden til teljaren $\geq$ graden til nemnaren), må vi først utføre polynomdivisjon for å skrive funksjonen som eit polynom pluss ein ekte brøk.

📜Polynomdivisjon før delbrøkoppspalting

For ein uekte brøk

\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}

der grad

(P) \geq

grad

(Q)

, utfører vi polynomdivisjon:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = D(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$

der $D(x)$ er kvotienten og $R(x)$ er resten med grad $(R) <$ grad $(Q)$ .

Deretter utfører vi delbrøkoppspalting på den ekte brøken $\displaystyle \frac{R(x)}{Q(x)}$ .

✏️Eksempel 9: Polynomdivisjon og delbrøkoppspalting

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{x^2 + 2}{(x - 1)(x + 1)} \, dx$ .

Sjekk om brøken er ekte

Teljaren har grad 2, nemnaren $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ har også grad 2.
Brøken er uekte, så vi må utføre polynomdivisjon.

Polynomdivisjon

$\frac{x^2 + 2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{3}{x^2 - 1}$

(Sjekk: $1 \cdot (x^2 - 1) + 3 = x^2 - 1 + 3 = x^2 + 2$ \checkmark)

Delbrøkoppspalting

$\frac{3}{x^2 - 1} = \frac{3}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

$3 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$ : $\displaystyle 3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$

$x = -1$ : $\displaystyle 3 = -2B \Rightarrow B = -\frac{3}{2}$

Integrasjon

$\int \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1} \, dx = \int 1 \, dx + \int \frac{3/2}{x - 1} \, dx + \int \frac{-3/2}{x + 1} \, dx$

$= x + \frac{3}{2} \ln|x - 1| - \frac{3}{2} \ln|x + 1| + C$

$= x + \frac{3}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$

Svar: $\displaystyle \int \frac{x^2 + 2}{(x - 1)(x + 1)} \, dx = x + \frac{3}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$

📝Oppgave 3.3.9

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{x^2 - x + 3}{(x - 2)(x + 1)} \, dx$ .

Bestemte integral

Delbrøkoppspalting er like nyttig for bestemte integral. Etter å ha funne den antideriverte, set vi berre inn grensene.

✏️Eksempel 9b: Bestemt integral

Rekn ut $\displaystyle \int_2^4 \frac{1}{x^2 - 1} \, dx$ .

Delbrøkoppspalting:

\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ : $\displaystyle 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ : $\displaystyle 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$

Antiderivert:
$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx &= \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| \\ &= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \end{aligned}$

Bestemt integral:
$\int_2^4 \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \left[\frac{1}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]_2^4$

$= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{3}{5}\right| - \frac{1}{2} \ln\left|\frac{1}{3}\right|$

$= \frac{1}{2} \left(\ln\frac{3}{5} - \ln\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{3}{5} \cdot 3\right) = \frac{1}{2} \ln\frac{9}{5}$

Svar: $\displaystyle \int_2^4 \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln\frac{9}{5} \approx 0{,}294$

📝Oppgave 3.3.9b

Rekn ut $\displaystyle \int_3^5 \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)} \, dx$ .

Tildekkingsmetoden

For enkle lineære faktorar finst det ein rask snarveg kalla tildekkingsmetoden. Den let oss finne koeffisientane utan å skrive opp heile likninga.

📜Tildekkingsmetoden

For

\displaystyle \frac{P(x)}{(x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)}

med ulike lineære faktorar:

Koeffisienten $A_i$ framfor $\displaystyle \frac{1}{x - r_i}$ finst ved å:

1. Dekke til faktoren $(x - r_i)$ i nemnaren
2. Setje inn $x = r_i$ i det som er igjen

$A_i = \frac{P(r_i)}{\prod_{j \neq i}(r_i - r_j)}$

Fordel: Raskare enn å setje opp heile likninga.

✏️Eksempel 10: Tildekkingsmetoden

Bruk tildekkingsmetoden til å spalte $\displaystyle \frac{2x + 5}{(x - 1)(x + 3)}$ .

Vi skal finne

A

B

slik at:

\frac{2x + 5}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}

Finn A: Dekk til $(x - 1)$ og sett $x = 1$ :
$A = \frac{2(1) + 5}{(1) + 3} = \frac{7}{4}$

Finn B: Dekk til $(x + 3)$ og sett $x = -3$ :
$B = \frac{2(-3) + 5}{(-3) - 1} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

Svar:
$\frac{2x + 5}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{7}{4(x - 1)} + \frac{1}{4(x + 3)}$

📝Oppgave 3.3.10b

Bruk tildekkingsmetoden til å spalte $\displaystyle \frac{3x - 2}{(x + 1)(x - 4)}$ .

Oppsummering: Framgangsmåte for delbrøkoppspalting

Sjekk om brøken er ekte. Viss ikkje, utfør polynomdivisjon først.

Faktoriser nemnaren fullstendig.

Set opp ansatsen:
- For kvar ulik lineær faktor $(x - r)$ : inkluder $\displaystyle \frac{A}{x - r}$
- For kvar gjentatt faktor $(x - r)^k$ : inkluder $\displaystyle \frac{A_1}{x - r} + \frac{A_2}{(x - r)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x - r)^k}$
- For kvar irredusibel kvadratisk faktor $(ax^2 + bx + c)$ : inkluder $\displaystyle \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}$

Finn koeffisientane ved:
- Innsettingsmetoden (set inn verdiar som nullar ut faktorar)
- Koeffisientsamanlikning (samanlikn koeffisientar framfor like potenser)
- Tildekkingsmetoden (rask metode for enkle lineære faktorar)

Ved integrasjon:
- $\displaystyle \int \frac{A}{x-r} \, dx = A \ln|x-r| + C$
- $\displaystyle \int \frac{A}{(x-r)^n} \, dx = \frac{-A}{(n-1)(x-r)^{n-1}} + C$ for $n > 1$
- $\displaystyle \int \frac{x}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+a^2) + C$
- $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ (fordjuping, utover R2)

Vanlege feil

1. Gløymer polynomdivisjon: Når teljaren har grad

\geq

graden til nemnaren, MÅ du utføre polynomdivisjon først.

2. Feil ansats for gjentatte faktorar: For $(x-1)^2$ må du ha BÅDE $\displaystyle \frac{A}{x-1}$ OG $\displaystyle \frac{B}{(x-1)^2}$ .

3. Feil ansats for irredusible faktorar: For $x^2 + 1$ må teljaren vere $Ax + B$ , ikkje berre $A$ .

4. Reknefeil ved innsetjing: Dobbeltsjekk at du set inn rett verdi og reknar korrekt.

5. Gløymer absoluttverdiar: $\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ , ikkje $\ln(x)$ .

📝Oppgave 3.3.10

Utfør delbrøkoppspalting og rekn ut $\displaystyle \int \frac{x^2 + 5x + 6}{x(x + 1)(x + 2)} \, dx$ .

📝Oppgave 3.3.11

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{1}{x^3 - x} \, dx$ .

📝Oppgave 3.3.12

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{x^3}{(x - 1)(x + 2)} \, dx$ .

📝Oppgave 3.3.13

Rekn ut $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{(x + 1)^2(x + 2)} \, dx$ .

📝Oppgave 3.3.14

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 4)} \, dx$ .

📝Oppgave 3.3.15

Vis at $\displaystyle \int_2^3 \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.