3.3 Delbrøkoppspalting

Å plukke brøken fra hverandre

Hele livet har du lært å trekke brøker sammen: $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1}$ settes på felles nevner og blir $\displaystyle \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}$. Nå skal du lære å gå motsatt vei — og motivasjonen er integrasjon. Integralet

$$\int \frac{3x+5}{x^2 - x - 2}\,dx$$

ser håpløst ut. Men hvis brøken kan spaltes tilbake til formen $\displaystyle \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$, er hvert ledd plutselig et standardintegral: $\displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C$.

Denne reversen kalles delbrøkoppspalting, og den fullfører trekløveret av integrasjonsteknikker: substitusjon for kjerner, delvis integrasjon for produkter — og delbrøker for rasjonale funksjoner, altså brøker av polynomer. I dette kapittelet lærer du å sette opp riktig ansats for alle nevnertyper, å finne koeffisientene med innsetting og koeffisientsammenlikning, og å integrere resultatet — med logaritmer, potenser og (som fordypning) en og annen $\tan^{-1}$ som svar.

Ekte brøker og den enkleste spaltingen

Først litt ordbok. En rasjonal funksjon er en brøk $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ av to polynomer. Den er ekte hvis tellerens grad er mindre enn nevnerens — som $\displaystyle \frac{x+3}{x^2+1}$. Er den uekte, som $\displaystyle \frac{x^3+2x}{x^2-1}$, må vi først utføre polynomdivisjon og spare spaltingen til restbrøken. Mer om det senere; nå tar vi de ekte.

Enkleste tilfelle: nevneren er et produkt av ulike lineære faktorer. Da finnes en spalting med én konstant per faktor. For $\displaystyle \frac{5x-3}{(x-1)(x+2)}$ setter vi opp ansatsen

$$\frac{5x-3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$$

og ganger opp med nevneren: $5x - 3 = A(x+2) + B(x-1)$. Nå kommer det smarteste grepet, innsettingsmetoden: likningen gjelder for alle $x$, så velg verdier som nuller ut faktorer. Med $x = 1$: $2 = 3A$, så $\displaystyle A = \frac{2}{3}$. Med $x = -2$: $-13 = -3B$, så $\displaystyle B = \frac{13}{3}$. Dermed

$$\frac{5x-3}{(x-1)(x+2)} = \frac{2}{3(x-1)} + \frac{13}{3(x+2)}$$

Med tre faktorer går det like greit: $\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$, og innsetting av $x = 0, 1, -1$ gir $A = 1$, $B = 1$, $C = -1$ i tur og orden.

For ulike lineære faktorer finnes til og med en snarvei, tildekkingsmetoden: koeffisienten foran $\displaystyle \frac{1}{x - r}$ fås ved å dekke til faktoren $(x-r)$ i den opprinnelige brøken og sette inn $x = r$ i resten. For $\displaystyle \frac{2x+5}{(x-1)(x+3)}$: dekk til $(x-1)$, sett $x=1$: $\displaystyle A = \frac{7}{4}$. Dekk til $(x+3)$, sett $x=-3$: $\displaystyle B = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.

Gjentatte faktorer og koeffisientsammenlikning

Hva om nevneren har en faktor i andre eller tredje potens, som $(x+1)^2$? Da holder ikke ett ledd — vi trenger ett ledd per potens opp til den høyeste:

$$\frac{3x+7}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$$

Oppganging gir $3x + 7 = A(x+1) + B$. Innsetting $x = -1$ gir $B = 4$ — men så er det stopp; det finnes ingen flere faktorer å nulle ut. Da trår metode nummer to til: koeffisientsammenlikning. Skriv høyresiden som $Ax + (A + B)$ og sammenlikn med $3x + 7$ potens for potens: $x$-leddene gir $A = 3$, konstantleddene gir $A + B = 7$, altså $B = 4$ — konsistent. ✓

Samme tankegang i tredje potens: $\displaystyle \frac{x^2+1}{(x-1)^3}$ trenger ansatsen $\displaystyle \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{(x-1)^3}$. Innsetting $x = 1$ gir $C = 2$; sammenlikning av $x^2$- og $x$-koeffisienter gir $A = 1$ og $B = 2$.

Og i blandede tilfeller kombineres alt. For $\displaystyle \frac{x^2+3x+2}{(x-1)(x+2)^2}$ er ansatsen $\displaystyle \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2}$; innsetting av $x = 1$ og $x = -2$ gir $\displaystyle A = \frac{2}{3}$ og $C = 0$, og $x^2$-koeffisientene gir $A + B = 1$, altså $\displaystyle B = \frac{1}{3}$. (At $C = 0$ er helt lovlig — leddet faller bare bort.) Arbeidsflyten er alltid den samme: riktig ansats, gang opp, høst de enkle koeffisientene med innsetting, og rydd opp resten med sammenlikning.

Irredusible faktorer og uekte brøker

To komplikasjoner gjenstår. Den første: nevnere med andregradsfaktorer som ikke kan faktoriseres reelt — irredusible faktorer, kjennetegnet ved negativ diskriminant ($b^2 - 4ac < 0$), som $x^2 + 1$. For slike må telleren i ansatsen ha grad én:

$$\frac{2x^2+x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$$

Oppganging og $x = 1$ gir $A = 3$; koeffisientsammenlikning gir $B = -1$ og $C = 0$, altså $\displaystyle \frac{3}{x-1} - \frac{x}{x^2+1}$.

Den andre komplikasjonen: uekte brøker. Er tellergraden $\geq$ nevnergraden, må polynomdivisjon utføres først:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = D(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

med restbrøken ekte. Eksempel: $\displaystyle \frac{x^2+2}{x^2-1} = 1 + \frac{3}{x^2-1}$, og restbrøken spaltes som vanlig til $\displaystyle \frac{3/2}{x-1} - \frac{3/2}{x+1}$.

Dermed er hele oppskriften komplett: 1) uekte? Del først. 2) Faktoriser nevneren helt. 3) Sett opp ansats — konstant over lineære faktorer, ett ledd per potens for gjentatte, $Bx + C$ over irredusible kvadratiske. 4) Finn koeffisientene med innsetting, tildekking og sammenlikning. Alt som gjenstår, er selve premien: integrasjonen.

Premien: integrasjonen

Hvorfor all denne algebraen? Fordi hver delbrøk har et kjent integral. De fire standardformene:

$$\begin{aligned} &\int \frac{A}{x-r}\,dx = A\ln|x-r| + C \\ &\int \frac{A}{(x-r)^n}\,dx \\ = {}&\frac{-A}{(n-1)(x-r)^{n-1}} + C \quad (n > 1) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\int \frac{x}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+a^2) + C \\ &\int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C \end{aligned}$$

(Den siste formen, med $\tan^{-1}$, er fordypning utover R2.)

La oss høste. Fra seksjon 1: $\displaystyle \int \frac{5x-3}{(x-1)(x+2)}\,dx = \frac{2}{3}\ln|x-1| + \frac{13}{3}\ln|x+2| + C$. Fra seksjon 2: $\displaystyle \int \frac{3x+7}{(x+1)^2}\,dx = 3\ln|x+1| - \frac{4}{x+1} + C$ — merk at den gjentatte faktoren gir en potens, ikke en logaritme. Fra seksjon 3: $\displaystyle \int \frac{2x^2+x+3}{(x-1)(x^2+1)}\,dx = 3\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$.

Et fullt eksempel med alle tre integraltypene: $\displaystyle \int \frac{1}{(x+1)(x^2+4)}\,dx$. Spaltingen gir $\displaystyle A = \frac{1}{5}$, $\displaystyle B = -\frac{1}{5}$, $\displaystyle C = \frac{1}{5}$, og

$$\begin{aligned} &\int \frac{dx}{(x+1)(x^2+4)} \\ = {}&\frac{1}{5}\ln|x+1| - \frac{1}{10}\ln(x^2+4) + \frac{1}{10}\tan^{-1}\frac{x}{2} + C \end{aligned}$$

Bestemte integraler følger samme vei. For $\displaystyle \int_2^4 \frac{1}{x^2-1}\,dx$ gir spaltingen antideriverten $\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$, og innsetting gir $\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{3}{5} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{9}{5}$.

Vanligste feil til slutt: glemt polynomdivisjon på uekte brøker, ufullstendig ansats for gjentatte faktorer (begge potensene må med!), konstant i stedet for $Bx+C$ over irredusible faktorer — og glemte absoluttverdier i logaritmene.

Oppsummering: spalt, finn, integrer

Delbrøkoppspalting er brøkregning i revers, med integrasjon som gevinst. Oppskriften har fire faste stopp: divider hvis brøken er uekte ($\displaystyle \frac{P}{Q} = D + \frac{R}{Q}$), faktoriser nevneren fullstendig, sett opp ansatsen — $\displaystyle \frac{A}{x-r}$ for hver ulik lineær faktor, hele stigen $\displaystyle \frac{A_1}{x-r} + \cdots + \frac{A_k}{(x-r)^k}$ for gjentatte, og $\displaystyle \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$ for irredusible kvadratiske — og finn koeffisientene med innsetting (null ut faktorer), tildekkingsmetoden (snarveien for lineære) og koeffisientsammenlikning (oppryddingen).

Premien er at hver delbrøk har et standardintegral: lineære nevnere gir logaritmer $A\ln|x-r|$, gjentatte gir potenser $\displaystyle \frac{-A}{(n-1)(x-r)^{n-1}}$, og de irredusible gir kombinasjoner av $\ln(x^2+a^2)$ og $\displaystyle \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$. Dermed kan enhver rasjonal funksjon integreres — et ganske bemerkelsesverdig faktum.

Med substitusjon, delvis integrasjon og delbrøker har du nå hele det analytiske arsenalet. Men noen integraler, som $\int e^{-x^2}\,dx$, lar seg ikke uttrykke med elementære funksjoner i det hele tatt. Hva gjør vi da? Vi regner numerisk — og det er neste kapittel.