1.4 Rekker og summasjon | Matematikk R2

Frå følgjer til rekkjer

Ei rekkje er summen av ledda i ei følgje.

Tenk deg at du sparer 1000 kr kvar månad. Etter 6 månadar har du spart:
$1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 = 6000 \text{ kr}$

Dette er eit døme på ei rekkje.

Sigmanotasjon

\Sigma

✏️Døme 1: Rekne ut ein sum

Rekn ut $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2$ .

Vi set inn $k = 1, 2, 3, 4$ :

$\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$

📝Oppgave 1

Rekn ut $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} 2k$ .

✏️Døme 2: Skrive med sigmanotasjon

Skriv summen $5 + 10 + 15 + 20 + 25$ med sigmanotasjon.

Ledda er

5 \cdot 1, 5 \cdot 2, 5 \cdot 3, 5 \cdot 4, 5 \cdot 5

Det generelle leddet er $a_k = 5k$ .

$5 + 10 + 15 + 20 + 25 = \sum_{k=1}^{5} 5k$

📝Oppgave 2

Skriv summen $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36$ med sigmanotasjon.

📜Sum av aritmetisk rekkje

For ei aritmetisk følgje:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Alternativt:
$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

✏️Døme 3: Sum av aritmetisk rekkje

Finn summen $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ .

a_1 = 1

a_{100} = 100

n = 100

$\displaystyle S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

📝Oppgave 3

Finn summen $3 + 6 + 9 + \ldots + 99$ .

📜Sum av geometrisk rekkje

For ei geometrisk følgje med

k \neq 1

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

✏️Døme 4: Sum av geometrisk rekkje

Finn summen $2 + 4 + 8 + 16 + 32$ .

a_1 = 2

k = 2

n = 5

$\displaystyle S_5 = 2 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 2 \cdot \frac{31}{1} = 62$

📝Oppgave 4

Finn summen $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243$ .

✏️Døme 5: Praktisk bruk

Du sparer 500 kr første månad, og aukar med 100 kr kvar månad. Kor mykje har du spart etter 12 månadar?

Dette er ei aritmetisk følgje: $a_1 = 500$ , $d = 100$ , $n = 12$ .

$a_{12} = 500 + 11 \cdot 100 = 1600$

$\displaystyle S_{12} = \frac{12(500 + 1600)}{2} = \frac{12 \cdot 2100}{2} = 12\,600$ kr

📝Oppgave 5

Ein kinosal har 15 sete i første rad og 3 fleire i kvar rad. Det er 10 rader. Kor mange sete er det totalt?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sigmanotasjon: $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er ein kompakt skrivemåte for summar.
- Aritmetisk rekkje: $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
- Geometrisk rekkje: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ for $k \neq 1$ .
- Praktisk bruk: Sparing, nedbetaling og vekstprosessar kan ofte modellerast som rekkjer.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Rekkje	Summen av ledda i ei følgje
Sigmanotasjon	$\sum_{i=1}^{n} a_i$
Aritmetisk rekkje	Sum av aritmetisk følgje
Geometrisk rekkje	Sum av geometrisk følgje

Viktige formlar

- Aritmetisk:

\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

- Geometrisk:

\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

k \neq 1

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver