1.4 Rekkjer og summasjon | Matematikk R2

Summar av følgjer og sigmanotasjon.

55 min

10 oppgaver

RekkjeSigmanotasjonDelsumSummeformel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Geometriske følger

Brukes videre i

1.5Uendelige rekker og konvergens 1.6Induksjonsbevis

Frå følgjer til rekkjer

Ei rekkje er summen av ledda i ei følgje.

Tenk deg at du sparer 1000 kr kvar månad. Etter 6 månadar har du spart:
$1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 = 6000 \text{ kr}$

Dette er eit døme på ei rekkje.

Sigmanotasjon

\Sigma

✏️Døme 1: Rekne ut ein sum

Rekn ut $\displaystyle\sum_{i=1}^{4} i^2$ .

Vi set inn $i = 1, 2, 3, 4$ :

$\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$

Svar: $\sum_{i=1}^{4} i^2 = 30$

📝Oppgave 1

Rekn ut $\displaystyle\sum_{i=1}^{5} 2i$ .

✏️Døme 2: Skrive med sigmanotasjon

Skriv summen $5 + 10 + 15 + 20 + 25$ med sigmanotasjon.

Ledda er

5 \cdot 1, 5 \cdot 2, 5 \cdot 3, 5 \cdot 4, 5 \cdot 5

Det generelle leddet er $a_i = 5i$ .

$5 + 10 + 15 + 20 + 25 = \sum_{i=1}^{5} 5i$

Svar: $5 + 10 + 15 + 20 + 25 = \sum_{i=1}^{5} 5i$

📝Oppgave 2

Skriv summen $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36$ med sigmanotasjon.

📜Sum av aritmetisk rekkje

For ei aritmetisk følgje:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Alternativt:
$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

✏️Døme 3: Sum av aritmetisk rekkje

Finn summen $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ .

a_1 = 1

a_{100} = 100

n = 100

$\displaystyle S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

Svar: Summen er $5050$ .

📝Oppgave 3

Finn summen $3 + 6 + 9 + \ldots + 99$ .

📜Sum av geometrisk rekkje

For ei geometrisk følgje med

k \neq 1

S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

Utleiing: Vi skriv summen, gongar med $k$ og trekkjer frå:
$S_n = a_1 + a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1}$
$k \cdot S_n = a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1} + a_1k^n$
$k \cdot S_n - S_n = a_1k^n - a_1$
$S_n(k - 1) = a_1(k^n - 1)$
Alle ledda i midten fell bort. Vi deler på $k - 1$ og får formelen.

✏️Døme 4: Sum av geometrisk rekkje

Finn summen $2 + 4 + 8 + 16 + 32$ .

a_1 = 2

k = 2

n = 5

$\displaystyle S_5 = 2 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 2 \cdot \frac{31}{1} = 62$

Svar: Summen er $62$ .

📝Oppgave 4

Finn summen $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243$ .

✏️Døme 5: Fast sparebeløp kvart år

Du set inn 20 000 kr på ein konto 1. januar kvart år i 10 år. Renta er 4 % per år. Kor mykje står på kontoen rett etter det tiande innskotet?

Det siste innskotet har ikkje fått rente, det nest siste har fått rente i 1 år, og det første har fått rente i 9 år:

$\begin{aligned} &20\,000 + 20\,000 \cdot 1{,}04 + 20\,000 \cdot 1{,}04^2 \\ &\quad {} + \cdots + 20\,000 \cdot 1{,}04^9 \end{aligned}$

Dette er ei geometrisk rekkje med $a_1 = 20\,000$ , $k = 1{,}04$ og $n = 10$ .

$\begin{aligned} S_{10} &= 20\,000 \cdot \frac{1{,}04^{10} - 1}{1{,}04 - 1} \\ &\approx 20\,000 \cdot \frac{0{,}480244}{0{,}04} \\ &\approx 240\,122 \end{aligned}$

Svar: Rett etter det tiande innskotet står det omtrent $240\,122$ kr på kontoen.

📝Oppgave 5

Sparing med fast beløp.

Ola set inn 1500 kr på ein konto kvar månad i 3 år. Månedsrenta er 0,3 %. Kor mykje står på kontoen rett etter det siste innskotet?

Kari set inn 20 000 kr kvart år med 4 % rente per år, som i døme 5. Kor mange innskot må ho gjera før kontoen rett etter eit innskot passerer 500 000 kr?

Løs oppgaven

✏️Døme 6: Praktisk bruk

Du sparar 500 kr første månad, og aukar med 100 kr kvar månad. Kor mykje har du spart etter 12 månadar?

Dette er ei aritmetisk følgje: $a_1 = 500$ , $d = 100$ , $n = 12$ .

$a_{12} = 500 + 11 \cdot 100 = 1600$

$\displaystyle S_{12} = \frac{12(500 + 1600)}{2} = \frac{12 \cdot 2100}{2} = 12\,600$ kr

Svar: Du har spart $12\,600$ kr etter 12 månader.

📝Oppgave 6

Ein kinosal har 15 sete i første rad og 3 fleire i kvar rad. Det er 10 rader. Kor mange sete er det totalt?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sigmanotasjon: $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er ein kompakt skrivemåte for summar.
- Aritmetisk rekkje: $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
- Geometrisk rekkje: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ for $k \neq 1$ .
- Praktisk bruk: Sparing, nedbetaling og vekstprosessar kan ofte modellerast som rekkjer.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Rekkje	Summen av ledda i ei følgje
Sigmanotasjon	$\sum_{i=1}^{n} a_i$
Aritmetisk rekkje	Sum av aritmetisk følgje
Geometrisk rekkje	Sum av geometrisk følgje

Viktige formlar

- Aritmetisk:

\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

- Geometrisk:

\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

k \neq 1

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.