1.1 Følger og tallmønstre | Matematikk R2

Kva er ei følgje?

Har du nokon gong lagt merke til mønster i tal?

- $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ (partal)
- $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ (kvadrattal)
- $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ (Fibonacci-tal)

Slike ordna lister av tal vert kalla følgjer. Følgjer dukkar opp overalt - frå renter og folkevekst til spiralmønster i naturen.

Følgje

a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots

✏️Eksempel 1: Lese av ledd

Lat følgja vere $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ . Finn $a_1$ , $a_3$ og $a_5$ .

a_1 = 1

a_3 = 9

a_5 = 25

Dette er kvadrattala: $a_n = n^2$ .

📝Oppgave 1

Lat $a_n = 2n + 3$ . Finn $a_1$ , $a_5$ og $a_{10}$ .

Eksplisitt formel

a_n = f(n)

✏️Eksempel 2: Bruke eksplisitt formel

Gjeve $a_n = 3n - 1$ . a) Finn dei fem første ledda. b) Finn $a_{100}$ .

a) $a_1 = 2$ , $a_2 = 5$ , $a_3 = 8$ , $a_4 = 11$ , $a_5 = 14$

b) $a_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 299$

📝Oppgave 2

Skriv dei fem første ledda for $a_n = n^2$ og $a_n = 2^n$ .

Rekursiv formel

a_1 = 2

✏️Eksempel 3: Frå rekursiv til eksplisitt

Gjeve $a_1 = 5$ og $a_{n+1} = a_n + 4$ . Finn eksplisitt formel.

Følgja er $5, 9, 13, 17, 21, \ldots$

$a_n = 5 + 4(n-1) = 4n + 1$

📝Oppgave 3

Gjeve $a_1 = 2$ og $a_{n+1} = a_n + 5$ . Finn eksplisitt formel og $a_{20}$ .

📜Viktige tallmonstre

Partal:

a_n = 2n

Oddetal: $a_n = 2n - 1$

Kvadrattal: $a_n = n^2$

Trekanttal: $\displaystyle a_n = \frac{n(n+1)}{2}$

✏️Eksempel 4: Finne formel frå mønster

Finn eksplisitt formel for $5, 8, 11, 14, \ldots$

Differansen mellom ledda er konstant: $8-5 = 3$ , $11-8 = 3$ , osv.

Første ledd er 5. Formelen blir:
$a_n = 5 + 3(n-1) = 3n + 2$

📝Oppgave 4

Finn eksplisitt formel for $7, 11, 15, 19, \ldots$

Fibonacci-følgja

F_1 = 1

✏️Eksempel 5: Fibonacci-tal

Finn $F_8$ i Fibonacci-følgja.

F_1 = 1, F_2 = 1

F_3 = 1+1 = 2

F_4 = 1+2 = 3

F_5 = 2+3 = 5

F_6 = 3+5 = 8

F_7 = 5+8 = 13

F_8 = 8+13 = 21

📝Oppgave 5

Finn $F_{10}$ i Fibonacci-følgja.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Følgje: Ei ordna liste av tal $a_1, a_2, a_3, \ldots$ der kvart tal vert kalla eit ledd.
- Eksplisitt formel: Gjev leddet $a_n$ direkte som funksjon av $n$ , t.d. $a_n = 3n + 1$ .
- Rekursiv formel: Gjev neste ledd ut frå førre, t.d. $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = a_n + 5$ .
- Viktige tallmønster: Kvadrattal ( $n^2$ ), trekanttal ( $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$ ), toarpotensar ( $2^n$ ).
- Fibonacci-følgja: $F_1 = F_2 = 1$ og $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , altså $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Følgje	Ordna liste av tal $a_1, a_2, a_3, \ldots$
Eksplisitt formel	$a_n$ uttrykt direkte ved $n$
Rekursiv formel	$a_{n+1}$ uttrykt ved tidlegare ledd
Trekanttal	$\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}$
Fibonacci-følgja	Kvart ledd er summen av dei to føregåande

Viktige formlar

- Trekanttal:

\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}

- Kvadrattal:

K_n = n^2

- Fibonacci:

F_{n+2} = F_{n+1} + F_n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver