8.7 Binomisk og hypergeometrisk fordeling

Binomialfordelingen, hypergeometrisk fordeling og valg av riktig modell.

55 min

10 oppgaver

BinomialfordelingHypergeometrisk fordelingMed/uten tilbakelegging

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjonsprinsippet

Binomisk og hypergeometrisk fordeling

I mange praktiske situasjonar gjentek vi eit forsøk mange gonger og tel talet på "suksessar". To viktige fordelingar skildrar slike situasjonar:

- Binomisk fordeling: Vi trekkjer med tilbakelegging (eller populasjonen er så stor at tilbakelegging ikkje spelar noka rolle). Sannsynet for suksess er konstant ved kvart forsøk.

- Hypergeometrisk fordeling: Vi trekkjer utan tilbakelegging frå ein endeleg populasjon. Sannsynet endrar seg for kvart trekk.

Å velje rett fordeling er like viktig som sjølve utrekninga.

Binomisk fordeling

X

📜Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

Lat $X \sim B(n, p)$ . Då er:

Forventa verdi: $E(X) = np$

Varians: $\text{Var}(X) = np(1-p)$

Standardavvik: $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Forventningsverdien $np$ er det "typiske" talet på suksessar vi forventar. Variansen fortel kor mykje resultatet typisk avvik frå forventninga.

✏️Eksempel 1: Terningkast

Ein rettferdig terning blir kasta 10 gonger. Lat $X$ vere talet på seksarar.

a) Kva for fordeling har $X$ ?

b) Rekn ut $P(X = 3)$ .

c) Finn $E(X)$ og $\text{Var}(X)$ .

a) Kvart kast er uavhengig med

p = 1/6

. Dermed

X \sim B(10, 1/6)

b)
$P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^7 = 120 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{78125}{279936} \approx 0{,}155$

c) $\displaystyle E(X) = 10 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67$

$\displaystyle \text{Var}(X) = 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{18} \approx 1{,}39$

✏️Eksempel 2: Minst-sannsyn

Ein eksamen har 8 fleirvalsspørsmål med 4 alternativ. Ein elev gjettar tilfeldig på alle. Finn sannsynet for at eleven får minst 3 rette.

X \sim B(8, 0{,}25)

. Vi søkjer

P(X \geq 3)

Det er enklare å bruke komplementet: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$ .

$P(X = 0) = \binom{8}{0}(0{,}25)^0(0{,}75)^8 = (0{,}75)^8 \approx 0{,}1001$

$P(X = 1) = \binom{8}{1}(0{,}25)^1(0{,}75)^7 = 8 \cdot 0{,}25 \cdot (0{,}75)^7 \approx 0{,}2670$

$P(X = 2) = \binom{8}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^6 = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot (0{,}75)^6 \approx 0{,}3115$

$P(X \geq 3) = 1 - 0{,}1001 - 0{,}2670 - 0{,}3115 \approx 0{,}321$

Hypergeometrisk fordeling

N

✏️Eksempel 3: Kortspel

Frå ein standard kortstokk på 52 kort trekkjer vi 5 kort utan tilbakelegging. Lat $X$ vere talet på hjarter (det er 13 hjarter i kortstokken).

a) Kva for fordeling har $X$ ?

b) Rekn ut $P(X = 2)$ .

c) Finn $E(X)$ .

a) Trekking utan tilbakelegging frå endeleg populasjon:

X \sim H(52, 13, 5)

b)
$P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \cdot 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0{,}274$

c) $\displaystyle E(X) = 5 \cdot \frac{13}{52} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1{,}25$

Binomisk fordeling passar når:
- Forsøka er uavhengige (med tilbakelegging, eller stor populasjon)
- Konstant sannsyn

p

for suksess i kvart forsøk
- Eksempel: terningkast, myntkast, stikkprøve frå stor populasjon

Hypergeometrisk fordeling passar når:
- Vi trekkjer utan tilbakelegging frå ein liten, endeleg populasjon
- Sannsynet endrar seg frå trekk til trekk
- Eksempel: kortspel, kvalitetskontroll av ein liten batch, lotteri

Tommelfingerregel: Dersom populasjonen er meir enn 10 gonger så stor som utvalet, kan binomisk fordeling brukast som tilnærming til hypergeometrisk.

✏️Eksempel 4: Kvalitetskontroll

Eit parti inneheld 20 produkt, der 4 er defekte. Vi trekkjer tilfeldig 3 produkt for kontroll (utan tilbakelegging).

a) Rekn ut sannsynet for at nøyaktig 1 av dei 3 er defekt.

b) Rekn ut sannsynet for at ingen er defekte.

c) Finn forventa tal på defekte.

X \sim H(20, 4, 3)

a)
$P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1}\binom{16}{2}}{\binom{20}{3}} = \frac{4 \cdot 120}{1140} = \frac{480}{1140} \approx 0{,}421$

b)
$P(X = 0) = \frac{\binom{4}{0}\binom{16}{3}}{\binom{20}{3}} = \frac{1 \cdot 560}{1140} = \frac{560}{1140} \approx 0{,}491$

c) $\displaystyle E(X) = 3 \cdot \frac{4}{20} = 0{,}6$

Sjekk alltid føresetnadene før du vel fordeling!

Binomisk fordeling krev:
- Fast tal forsøk ( $n$ er kjent på førehand)
- Uavhengige forsøk
- Konstant $p$

Dersom du trekkjer frå ei øskje med 10 kuler utan tilbakelegging, er forsøka ikkje uavhengige -- då må du bruke hypergeometrisk fordeling.

📝Oppgave 1

Grunnleggjande binomisk fordeling.

Ein mynt blir kasta 8 gonger. Lat $X$ vere talet på kron. Skriv fordelinga til $X$ og rekn ut $P(X = 4)$ .

I eit spel er sannsynet for å vinne ein runde $p = 0{,}3$ . Vi spelar 6 rundar. Finn forventa tal på sigrar og standardavviket.

Sannsynet for å treffe blinken med eitt skot er $0{,}8$ . Du skyt 5 skot. Finn $P(X = 5)$ , dvs. at alle treffer.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Grunnleggjande hypergeometrisk fordeling.

I ei skuff ligg det 5 raude og 7 blå kuler. Vi trekkjer 4 utan tilbakelegging. Finn sannsynet for nøyaktig 2 raude.

Eit lotteri har 50 lodd der 10 er premielodd. Du kjøper 3 lodd. Finn $P(X = 0)$ og $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Vel rett fordeling og rekn ut.

Ein fabrikk produserer batteri der 5 % er defekte. Vi trekkjer tilfeldig 20 batteri frå eit stort lager. Kva for fordeling passar? Finn $P(X = 1)$ .

Ei lita kasse inneheld 10 lodd, 3 av dei er premielodd. Vi trekkjer 4 lodd utan tilbakelegging. Kva for fordeling passar? Finn $P(X \geq 1)$ .

Ein klasse har 30 elevar, 12 jenter og 18 gutar. Vi vel tilfeldig ein komité på 4 elevar. Lat $X$ vere talet på jenter. Finn $P(X = 2)$ og $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Binomisk fordeling med komplement.

Ein terning blir kasta 5 gonger. Finn sannsynet for minst éin seksar.

I ei spørjeundersøking seier 60 % ja. Vi spør 12 tilfeldig valde personar. Finn $P(X \leq 5)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Samansette sannsynsoppgåver.

Vi kastar ein rettferdig terning til vi får ein seksar, men maks 5 gonger. Lat $Y$ vere talet på kast. Er $Y$ binomisk fordelt? Forklar. Finn $P(Y \leq 3)$ .

I eit lotteri er det 100 lodd, 10 premielodd. Anna kjøper 5 lodd. Bruk hypergeometrisk fordeling til å finne $P(X \geq 2)$ .

Ein basketballspelar treffer 70 % av frikasta sine. I ein kamp tek ho 10 frikast. Finn sannsynet for at ho treffer mellom 6 og 8 (inklusiv).

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Binomisk fordeling $X \sim B(n, p)$ — $n$ uavhengige forsøk, konstant suksessannsyn $p$ (trekking med tilbakelegging):
- $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
- $E(X) = np$ , $\text{Var}(X) = np(1-p)$ , $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Hypergeometrisk fordeling $X \sim H(N, M, n)$ — utval på $n$ frå populasjon med $N$ element der $M$ er suksessar (trekking utan tilbakelegging):
- $P(X = k) = \dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
- $E(X) = n \cdot \dfrac{M}{N}$

Val av fordeling:
- Med tilbakelegging eller uavhengige forsøk → binomisk
- Utan tilbakelegging frå endeleg populasjon → hypergeometrisk
- Når $N$ er mykje større enn $n$ , er binomisk ei god tilnærming til hypergeometrisk

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.