8.5 Sannsynlighetsmodeller | Matematikk R1

Uniform og ikke-uniform sannsynlighetsmodell, komplementhendelser og addisjon.

55 min

20 oppgaver

SannsynlighetsmodellUniform modellKomplementhendelseAddisjonssetningen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjonsprinsippet

Brukes videre i

8.6Betinget sannsynlighet og uavhengighet

Frå enkeltforsøk til gjentekne forsøk

Mange situasjonar i røynda handlar om å gjenta det same forsøket fleire gonger: Kaste ein mynt $10$ gonger, teste $50$ produkt frå ei produksjonslinje, spørje $100$ personar om dei stemmer ja eller nei. I slike situasjonar er binomisk fordeling det naturlege verktøyet.

Binomisk fordeling gir oss sannsynet for eit bestemt tal på «suksessar» i ei rekkje uavhengige forsøk.

Binomisk forsøk

n

Forsøk	$n$	Suksess	$p$
Kaste mynt $10$ gonger	$10$	Krone	$0{,}5$
Teste $50$ produkt	$50$	Defekt	$0{,}03$
$20$ fleirvalsoppgåver (4 alt.)	$20$	Rett (gjetting)	$0{,}25$
Spørje $100$ om dei stemmer ja	$100$	Ja	$p$ (ukjend)

📝Oppgave 1

Avgjer om følgjande er binomiske forsøk. Grunngi svaret.
a) Kaste ein terning $12$ gonger og telje talet på seksarar.
b) Trekkje $5$ kuler frå ei urne med $10$ raude og $10$ blå kuler utan tilbakelegging, og telje talet på raude.
c) Spørje $50$ tilfeldige personar om dei likar sjokolade.

📜Binomisk sannsyn

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er sannsynet for nøyaktig

k

suksessar:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

der:
- $\binom{n}{k}$ = talet på måtar å plassere $k$ suksessar blant $n$ forsøk
- $p^k$ = sannsynet for $k$ suksessar
- $(1-p)^{n-k}$ = sannsynet for $n-k$ fiaskoar

✏️Eksempel 1: Myntkast

Du kastar ein rettferdig mynt $8$ gonger. Finn sannsynet for nøyaktig $5$ krone.

Løysing:

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}5)$

$P(X = 5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^3 = 56 \cdot 0{,}5^8 = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} \approx 0{,}219$

$\binom{8}{5} = 56$ er talet på måtar å velje kva for $5$ av $8$ kast som gir krone.

📝Oppgave 2

Du kastar ein terning $6$ gonger. Lat $X$ = tal på seksarar. Finn $P(X = 2)$ .

📝Oppgave 3

Ein fleirvalstest har $10$ spørsmål med $4$ alternativ kvar. Ein elev gjettar på alle. Lat $X$ = tal på rette. Finn:
a) $P(X = 0)$
b) $P(X = 3)$
c) $P(X \geq 1)$

Forventningsverdi og standardavvik

X \sim \text{Bin}(n, p)

✏️Eksempel 2: Forventningsverdi og standardavvik

Ein fabrikk produserer komponentar med $2\%$ feilrate. I eit parti på $200$ komponentar, kva er forventa tal på defekte, og kva er standardavviket?

Løysing:

$X \sim \text{Bin}(200, 0{,}02)$

$\text{E}(X) = 200 \cdot 0{,}02 = 4$

$\text{SD}(X) = \sqrt{200 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{3{,}92} \approx 1{,}98$

Vi forventar ca. $4$ defekte med eit standardavvik på ca. $2$ .

📝Oppgave 4

Du kastar ein rettferdig mynt $100$ gonger. Finn forventningsverdi og standardavvik for talet på krone.

📝Oppgave 5

Ei undersøking viser at $70\%$ av befolkninga bruker sosiale medium dagleg. Du spør $15$ tilfeldige personar.
a) Finn forventningsverdi og standardavvik.
b) Finn sannsynet for at nøyaktig $10$ bruker sosiale medium dagleg.
c) Finn sannsynet for at færre enn $8$ bruker sosiale medium dagleg.

Kumulativt sannsyn

For å finne sannsynet for $X \leq k$ (kumulativt sannsyn) summerer vi:

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$

Nyttige omskrivingar:
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$
- $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

I praksis bruker vi kalkulator eller tabellar for kumulative sannsyn.

📝Oppgave 6

X \sim \text{Bin}(5, 0{,}4)

. Rekn ut heile sannsynsfordelinga til

X

(alle

P(X = k)

for

k = 0, 1, \ldots, 5

📝Oppgave 7

Sannsynet for at ein basketspelar treffer eit frikast er $0{,}80$ . Ho skyt $10$ frikast. Finn sannsynet for at ho treffer minst $8$ av dei.

📝Oppgave 8

Ein terning blir kasta $12$ gonger. Finn forventa tal på seksarar og standardavviket.

📝Oppgave 9

X \sim \text{Bin}(n, 0{,}3)

\text{E}(X) = 6

. Finn

n

\text{SD}(X)

📝Oppgave 10

Vis at for $X \sim \text{Bin}(n, p)$ er $\text{E}(X) = np$ .

Hint: Bruk at $X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$ der $X_i$ er indikatorvariabelen for suksess i forsøk $i$ .

📝Oppgave 11

Ein kvalitetskontrollør godtek eit parti dersom det er høgst $1$ defekt i eit utval på $20$ einingar. Defektraten er $5\%$ . Finn sannsynet for at partiet blir godteke.

📝Oppgave 12

Finn den mest sannsynlege verdien av $X$ (modusen) når $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ . Rekn ut $P(X = 2)$ , $P(X = 3)$ og $P(X = 4)$ , og forklar kvifor $k = 3$ er modusen.

📝Oppgave 13

Sannsynet for at det regnar ein gitt dag i november er $0{,}4$ . Anta at dagane er uavhengige. Finn sannsynet for at det regnar nøyaktig $12$ av $30$ dagar i november.

📝Oppgave 14

Eit legemiddel har $60\%$ sjanse for å verke på ein gitt pasient. Det blir gitt til $20$ pasientar.
a) Finn sannsynet for at det verkar på nøyaktig $12$ pasientar.
b) Finn sannsynet for at det verkar på minst $15$ pasientar.
c) Kva er sannsynet for at det verkar på mellom $10$ og $14$ pasientar (inklusiv)?

📝Oppgave 15

Vis at $\sum_{k=0}^{n} P(X = k) = 1$ for $X \sim \text{Bin}(n, p)$ ved å bruke binomialformelen.

Oppsummering

Binomisk forsøk: $n$ uavhengige forsøk, kvart med suksessannsyn $p$ .

Binomisk sannsyn: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Forventningsverdi: $\text{E}(X) = np$

Standardavvik: $\text{SD}(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Kumulativt: $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

Sjekkliste: Fast $n$ , to utfall, konstant $p$ , uavhengigheit.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.