8.4 Binomialkoeffisienter og Pascals trekant | Matematikk R1

Pascals trekant, binomialkoeffisienter og binomisk teorem.

50 min

21 oppgaver

Pascals trekantBinomialkoeffisienterBinomisk teoremSymmetri

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Kombinasjoner

Betinga sannsyn

Ofte endrar sannsynet for ei hending seg når vi får ny informasjon. Dersom du veit at ein terning viser eit partal, er sannsynet for ein seksar ikkje lenger $\displaystyle \frac{1}{6}$ , men $\displaystyle \frac{1}{3}$ .

Betinga sannsyn formaliserer dette: «Kva er sannsynet for $A$ , gitt at $B$ har inntruffe?»

Betinga sannsyn

A

✏️Eksempel 1: Betinga sannsyn med terning

Du kastar ein terning. Lat $A$ = «viser $6$ » og $B$ = «viser partal». Finn $P(A \mid B)$ .

Løysing:

$\displaystyle P(A \cap B) = P(\text{viser } 6) = \frac{1}{6}$ (terning som viser $6$ er også partal)

$\displaystyle P(B) = P(\text{partal}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

Gitt at terningen viser partal ( $2$ , $4$ eller $6$ ), er det $1$ av $3$ moglegheiter som gir $6$ .

📝Oppgave 1

Du trekkjer eitt kort frå ein kortstokk med $52$ kort. Lat $A$ = «kortet er ei dame» og $B$ = «kortet er eit biletkort (knekt, dame, konge)». Finn $P(A \mid B)$ .

📝Oppgave 2

I ei undersøking blant $200$ elevar fann ein:
- $120$ likar fotball
- $80$ likar handball
- $40$ likar begge delar

Ein tilfeldig elev blir vald. Finn:
a) $P(\text{fotball} \mid \text{handball})$
b) $P(\text{handball} \mid \text{fotball})$

📜Produktsetninga (multiplikasjonsregelen)

Frå definisjonen av betinga sannsyn følgjer produktsetninga:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

For tre hendingar:

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B)$

Bruk: Produktsetninga er særleg nyttig ved trekking utan tilbakelegging.

✏️Eksempel 2: Trekking utan tilbakelegging

Ei øskje inneheld $8$ raude og $4$ blå kuler. Du trekkjer $2$ kuler utan tilbakelegging. Finn sannsynet for at begge er raude.

Løysing:

Lat $R_1$ = «første kule er raud» og $R_2$ = «andre kule er raud».

$\displaystyle P(R_1) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$\displaystyle P(R_2 \mid R_1) = \frac{7}{11}$ (etter at éi raud er fjerna: $7$ raude av $11$ kuler)

$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2 \mid R_1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{14}{33} \approx 0{,}424$

📝Oppgave 3

Ei øskje inneheld $6$ kvite og $4$ svarte kuler. Du trekkjer $3$ kuler utan tilbakelegging. Finn sannsynet for at alle tre er kvite.

Uavhengige hendingar

A

Vanleg feil: Disjunkt vs. uavhengig

Mange blandar saman disjunktheit og uavhengigheit:

- Disjunkte hendingar: $P(A \cap B) = 0$ . Når $A$ skjer, kan $B$ ikkje skje.
- Uavhengige hendingar: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . At $A$ skjer påverkar ikkje sjansen for $B$ .

Eksempel: Kast av to terningar. $A$ = «terning 1 viser $6$ » og $B$ = «terning 2 viser $6$ » er uavhengige, men ikkje disjunkte (begge kan skje samtidig).

📝Oppgave 4

Ein terning blir kasta og ein mynt blir slegen. Lat $A$ = «terningen viser $5$ » og $B$ = «mynten viser krone». Er $A$ og $B$ uavhengige? Finn $P(A \cap B)$ .

📝Oppgave 5

To terningar blir kasta. Lat $A$ = «summen er $7$ » og $B$ = «terning 1 viser $3$ ».
a) Finn $P(A)$ , $P(B)$ og $P(A \cap B)$ .
b) Er $A$ og $B$ uavhengige?

📝Oppgave 6

Sannsynet for at ei maskin produserer ein defekt del er $0{,}02$ . Tre delar blir produserte uavhengig av kvarandre. Finn sannsynet for at minst éin er defekt.

📜Totalsetninga (lova om total sannsyn)

Lat

B_1, B_2, \ldots, B_n

vere ein partisjon av utfallsrommet (gjensidig utelukkande hendingar som til saman dekkjer

\Omega

). Då gjeld for kvar hending

A

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$

Spesialtilfelle med to alternativ ( $B$ og $B^c$ ):

$P(A) = P(B) \cdot P(A \mid B) + P(B^c) \cdot P(A \mid B^c)$

✏️Eksempel 3: Totalsetninga

Ein fabrikk har to maskiner. Maskin I produserer $60\%$ av delane, maskin II produserer $40\%$ . Delen defekte delar er $3\%$ frå maskin I og $5\%$ frå maskin II. Finn sannsynet for at ein tilfeldig vald del er defekt.

Løysing:

Lat $D$ = «defekt», $M_1$ = «frå maskin I», $M_2$ = «frå maskin II».

$P(M_1) = 0{,}60$ , $P(M_2) = 0{,}40$
$P(D \mid M_1) = 0{,}03$ , $P(D \mid M_2) = 0{,}05$

Totalsetninga:
$P(D) = P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) + P(M_2) \cdot P(D \mid M_2)$
$= 0{,}60 \cdot 0{,}03 + 0{,}40 \cdot 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038$

Sannsynet for ein defekt del er $3{,}8\%$ .

📝Oppgave 7

Ein butikk får varer frå tre leverandørar: A ( $50\%$ ), B ( $30\%$ ), C ( $20\%$ ). Delen defekte varer er: A: $2\%$ , B: $4\%$ , C: $5\%$ . Finn sannsynet for at ei tilfeldig vare er defekt.

📝Oppgave 8

Ei øskje har $3$ raude og $2$ blå kuler. Du trekkjer to kuler utan tilbakelegging. Bruk valtre og produktsetninga til å finne:
a) $P(\text{begge raude})$
b) $P(\text{ulik farge})$
c) $P(\text{andre kule er raud})$

📝Oppgave 9

To myntar blir kasta. Lat $A$ = «begge viser krone» og $B$ = «minst éin viser krone». Finn $P(A \mid B)$ .

📝Oppgave 10

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}5

P(A \cup B) = 0{,}7

. Finn:
a)

P(A \cap B)

P(A \mid B)

c) Er

A

B

uavhengige?

📝Oppgave 11

Eit forsikringsselskap deler kundane i tre risikokategoriar: låg ( $50\%$ ), middels ( $35\%$ ) og høg ( $15\%$ ). Sannsynet for skademelding i løpet av eit år er høvesvis $2\%$ , $5\%$ og $12\%$ . Ein kunde melder skade. Finn sannsynet for at kunden høyrer til høgrisikogruppa.

📝Oppgave 12

To hendingar $A$ og $B$ oppfyller $P(A) = 0{,}3$ og $P(B \mid A) = 0{,}6$ . Finn $P(A \cap B)$ .

📝Oppgave 13

Du har to øskjer:
- Øskje 1: $4$ raude og $6$ blå kuler
- Øskje 2: $7$ raude og $3$ blå kuler

Du kastar ein mynt. Ved krone trekkjer du frå øskje 1, ved mynt frå øskje 2. Kula du trekkjer er raud. Finn sannsynet for at ho blei trekt frå øskje 1.

📝Oppgave 14

Vis at dersom $A$ og $B$ er uavhengige, så er $A$ og $B^c$ også uavhengige.

📝Oppgave 15

Eit system består av to komponentar i serie (begge må verke). Komponent 1 verkar med sannsyn $0{,}95$ og komponent 2 med sannsyn $0{,}90$ . Komponentane er uavhengige. Finn sannsynet for at systemet verkar.

📝Oppgave 16

Eit system består av to komponentar i parallell (minst éin må verke). Komponent 1 verkar med sannsyn $0{,}95$ og komponent 2 med sannsyn $0{,}90$ . Komponentane er uavhengige. Finn sannsynet for at systemet verkar.

Oppsummering

Betinga sannsyn: $\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Produktsetninga: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Uavhengige hendingar: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ -- det å vite om $B$ endrar ikkje sannsynet for $A$ .

Totalsetninga: $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ -- nyttig for å «dele opp» ei utrekning.

Hugseregel: Disjunktheit og uavhengigheit er ikkje det same!

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.