8.1 Multiplikasjonsprinsippet | Matematikk R1

Multiplikasjonsprinsippet og systematisk telling av utfall.

45 min

19 oppgaver

MultiplikasjonsprinsippetTelleprinsippetUtfallsromSystematisk telling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

8.2Permutasjoner 8.5Sannsynlighetsmodeller 8.7Binomisk og hypergeometrisk fordeling

Kombinatorikk -- kunsten å telje

Kombinatorikk handlar om å telje talet på moglege utfall eller ordningar utan å ramse opp alle. Tenk deg at du skal velje éin hovudrett og éin dessert frå ein meny. Kor mange forskjellige måltid kan du setje saman? Med to rettar og tre dessertar får du $2 \cdot 3 = 6$ kombinasjonar.

Denne typen systematisk teljing er grunnlaget for sannsynsrekning. I dette kapittelet lærer du dei to viktigaste teljeprinsippa: multiplikasjonsprinsippet og addisjonsprinsippet.

Valtre

Eit valtre (òg kalla trediagram) er ei visuell framstilling der kvart val blir representert som ei forgreining. Ved å følgje greinene frå rot til blad kan vi lese av alle moglege utfall.

Valtre er særleg nyttige når:
- Du har ein sekvens av val
- Du vil sjå alle utfalla eksplisitt
- Du vil halde oversikt over vilkår som endrar seg undervegs

✏️Eksempel 1: Valtre for klesombinasjon

Du har $2$ skjorter (kvit, blå) og $3$ bukser (svart, grå, beige). Teikn eit valtre og finn talet på moglege antrekk.

Løysing:

Vi lèt skjortevalet vere første forgreining og buksevalet andre:

Frå kvit skjorte: kvit-svart, kvit-grå, kvit-beige ( $3$ utfall)
Frå blå skjorte: blå-svart, blå-grå, blå-beige ( $3$ utfall)

Totalt: $2 \cdot 3 = 6$ moglege antrekk.

Kvart blad i treet representerer eitt komplett antrekk.

📝Oppgave 1

Ein kafé tilbyr $3$ typar kaffi (espresso, latte, cappuccino) og $4$ typar kake (sjokolade, gulrot, ost, bringebær). Kor mange forskjellige kombinasjonar av éin kaffi og éi kake kan du velje?

Multiplikasjonsprinsippet

k

✏️Eksempel 2: Kodeord

Eit kodeord består av $3$ bokstavar etterfølgt av $2$ siffer. Kor mange kodeord kan lagast om
a) bokstavar og siffer kan gjentakast?
b) inga gjentaking er tillaten?

Løysing:

a) Det norske alfabetet har $29$ bokstavar og vi har $10$ siffer ( $0$ -- $9$ ).

Med gjentaking: $29 \cdot 29 \cdot 29 \cdot 10 \cdot 10 = 29^3 \cdot 10^2 = 24{\,}389 \cdot 100 = 2{\,}438{\,}900$

b) Utan gjentaking:

Bokstavar: $29 \cdot 28 \cdot 27$ (færre val for kvar posisjon)
Siffer: $10 \cdot 9$

Totalt: $29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 10 \cdot 9 = 21{\,}924 \cdot 90 = 1{\,}973{\,}160$

📝Oppgave 2

Eit passord skal bestå av $4$ siffer ( $0$ -- $9$ ). Kor mange passord er moglege om gjentaking er tillaten?

📝Oppgave 3

Eit passord skal bestå av $4$ forskjellige siffer ( $0$ -- $9$ ). Kor mange passord er moglege?

Når gjentaking ikkje er tillaten, blir talet på moglegheiter redusert for kvart delval. Dette blir kalla val utan tilbakelegging:

Første val: $n$ moglegheiter
Andre val: $n - 1$ moglegheiter
Tredje val: $n - 2$ moglegheiter
$\vdots$

Multiplikasjonsprinsippet gjeld framleis, men med ulike verdiar for kvart steg.

✏️Eksempel 3: Bilskilt

Eit bilskilt har $2$ bokstavar (frå det engelske alfabetet, $26$ bokstavar) etterfølgt av $5$ siffer. Kor mange skilt kan lagast?

Løysing:

Med gjentaking (som er normalt for bilskilt):

$26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 26^2 \cdot 10^5 = 676 \cdot 100{\,}000 = 67{\,}600{\,}000$

Det finst $67{\,}600{\,}000$ moglege bilskilt.

📝Oppgave 4

I ein klasse med $30$ elevar skal det veljast ein leiar, ein nestleiar og ein sekretær. Ingen kan ha meir enn eitt verv. På kor mange måtar kan verva fordelast?

Addisjonsprinsippet

A

✏️Eksempel 4: Addisjonsprinsippet

I ein klasse med $15$ gutar og $12$ jenter skal det veljast éin representant. Representanten skal anten vere ein gut eller ei jente. Kor mange val finst?

Løysing:

Vala er gjensidig utelukkande (representanten kan ikkje vere begge delar).

Totalt: $15 + 12 = 27$ moglege val.

📝Oppgave 5

Ein restaurant har $8$ kjøttrettar, $5$ fiskerettar og $3$ vegetarrettar. Kor mange val har du om du skal velje éin rett?

Kombinasjon av prinsippa

I mange problem bruker vi begge prinsippa saman. Nøkkelen er å identifisere:
- Multiplikasjon: Fleire val som blir gjorde etter kvarandre (OG)
- Addisjon: Val som utelukkar kvarandre (ELLER)

Stikkord: «og» $\rightarrow$ multipliser, «eller» $\rightarrow$ adder.

✏️Eksempel 5: Kombinasjon av prinsippa

Eit passord skal bestå av anten $3$ bokstavar og $2$ siffer, eller $2$ bokstavar og $3$ siffer (bokstavar frå det engelske alfabetet). Gjentaking er tillaten. Kor mange passord finst?

Løysing:

Type 1: $3$ bokstavar + $2$ siffer: $26^3 \cdot 10^2 = 17{\,}576 \cdot 100 = 1{\,}757{\,}600$

Type 2: $2$ bokstavar + $3$ siffer: $26^2 \cdot 10^3 = 676 \cdot 1000 = 676{\,}000$

Dei to typane utelukkar kvarandre (ulik lengd på bokstav- og sifferdelen), så vi adderer:

$1{\,}757{\,}600 + 676{\,}000 = 2{\,}433{\,}600$

📝Oppgave 6

Kor mange tresifra tal ( $100$ -- $999$ ) har berre oddetalssiffer?

📝Oppgave 7

Kor mange tresifra tal ( $100$ -- $999$ ) er partal?

📝Oppgave 8

I eit kortspel med $52$ kort (4 fargar, 13 verdiar) blir $2$ kort trekte etter kvarandre utan tilbakelegging. På kor mange måtar kan dette gjerast om rekkjefølgja har noko å seie?

📝Oppgave 9

Kor mange tresifra tal ( $100$ -- $999$ ) har nøyaktig to like siffer?

📝Oppgave 10

Ein iskrembutikk har $6$ smakar og $3$ typar kjeks. Du skal velje éin is og éin kjeks. Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finne talet på moglege kombinasjonar.

📝Oppgave 11

7

personar skal sitje på ein benk med

7

plassar. På kor mange måtar kan dei setje seg?

📝Oppgave 12

Ein sykkelkombinasjonslås har $4$ ringar med siffer $0$ -- $9$ . Kor mange kodar finst? Om du prøver éin kode kvart $5.$ sekund, kor lang tid tek det i verste fall å prøve alle?

📝Oppgave 13

I kor mange tresifra tal ( $100$ -- $999$ ) er siffersummen lik $5$ ?

📝Oppgave 14

Ei reise frå by A til by C går via by B. Det finst $3$ vegar frå A til B og $4$ vegar frå B til C. I tillegg finst $2$ direkte vegar frå A til C.

a) På kor mange måtar kan du reise frå A til C?
b) På kor mange måtar kan du reise frå A til C og tilbake til A utan å bruke same veg to gonger?

Oppsummering

Valtre: Visuell framstilling der kvar forgreining representerer eit delval.

Multiplikasjonsprinsippet: Når $k$ delval blir gjorde etter kvarandre med $n_1, n_2, \ldots, n_k$ moglegheiter, er totalt tal: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .

Addisjonsprinsippet: Når val utelukkar kvarandre (ELLER), adderer vi: $n_1 + n_2 + \ldots + n_k$ .

Hugseregel: «OG» tyder multiplikasjon, «ELLER» tyder addisjon.

Med/utan gjentaking: Utan gjentaking blir talet på moglegheiter redusert for kvart steg.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.