7.3 Trigonometriske likninger

Løsning av likninger med sinus, cosinus og tangens.

60 min

23 oppgaver

Trigonometriske likningerGenerelle løsningerSubstitusjonPytagoreisk identitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Trigonometriske likningar

Ei trigonometrisk likning er ei likning som inneheld trigonometriske funksjonar. Sidan sinus og cosinus er periodiske, har slike likningar typisk uendeleg mange løysingar.

Nøkkelen til å løyse trigonometriske likningar er å:
1. Finne løysingane i eitt intervall (t.d. $[0, 2\pi)$ ) ved hjelp av einingssirkelen
2. Leggje til perioden for å finne alle løysingar

Likningar på forma $\sin x = k$

Likninga $\sin x = k$ har løysing berre når $-1 \leq k \leq 1$ (fordi sinusverdiar ligg mellom $-1$ og $1$ ).

På einingssirkelen svarar $\sin x = k$ til dei punkta der $y$ -koordinaten er lik $k$ . Vi teiknar ei horisontal linje $y = k$ og finn der ho kryssar sirkelen.

📜Løysing av

\sin x = k

Dersom

\sin v = k

(der

v

er ein kjend vinkel), så er den generelle løysinga:

$x = v + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2n\pi$

der $n \in \mathbb{Z}$ (eit vilkårleg heiltal).

Kortform: $x = v + 2n\pi \;\lor\; x = (\pi - v) + 2n\pi$

✏️Eksempel 1: Løys $\sin x = \frac{1}{2}$

Finn alle løysingar av $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

Løysing:

Steg 1: Finn ein vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .

Vi veit at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , så $\displaystyle v = \frac{\pi}{6}$ .

Steg 2: Bruk den generelle løysingsformelen:

$x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$

På intervallet $[0, 2\pi)$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ .

📝Oppgave 1

Løys likningane og oppgi alle løysingar på intervallet $[0, 2\pi)$ .

\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}

\sin x = -1

\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løs oppgaven Tren

Likningar på forma $\cos x = k$

Likninga $\cos x = k$ har løysing berre når $-1 \leq k \leq 1$ . På einingssirkelen svarar dette til dei punkta der $x$ -koordinaten er lik $k$ .

📜Løysing av

\cos x = k

Dersom

\cos v = k

(der

v

er ein kjend vinkel), så er den generelle løysinga:

$x = v + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = -v + 2n\pi$

der $n \in \mathbb{Z}$ .

Kortform: $x = \pm v + 2n\pi$

✏️Eksempel 2: Løys $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Finn alle løysingar av $\displaystyle \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Løysing:

Steg 1: Finn ein vinkel $v$ slik at $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vi veit at $\displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Cosinus er negativ i andre og tredje kvadrant, så:

$\displaystyle v = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Steg 2: Generell løysing:

$x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2n\pi = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$

På intervallet $[0, 2\pi)$ : $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6}$ .

📝Oppgave 2

Løys likningane og oppgi alle løysingar på intervallet $[0, 2\pi)$ .

\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}

\displaystyle \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\cos x = 0

\cos x = 1

Løs oppgaven Tren

Likningar på forma $\tan x = k$

Tangensfunksjonen har periode $\pi$ , så løysingsformelen er enklare enn for sinus og cosinus. Tangens tek alle reelle verdiar, så $\tan x = k$ har alltid løysing.

📜Løysing av

\tan x = k

Dersom

\tan v = k

(der

v

er ein kjend vinkel), så er den generelle løysinga:

$x = v + n\pi$

der $n \in \mathbb{Z}$ .

Merk at perioden er $\pi$ (ikkje $2\pi$ ), så det er berre éi løysingsgrein.

✏️Eksempel 3: Løys $\tan x = 1$

Finn alle løysingar av $\tan x = 1$ .

Løysing:

Vi veit at $\displaystyle \tan \frac{\pi}{4} = 1$ .

Generell løysing:

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

På intervallet $[0, 2\pi)$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ .

📝Oppgave 3

Løys likningane og oppgi den generelle løysinga.

\tan x = \sqrt{3}

\tan x = -1

\tan x = 0

\displaystyle \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}

Likningar med samansett argument

Når argumentet til den trigonometriske funksjonen er meir enn berre $x$ , bruker vi substitusjon. Vi set $u = bx + c$ og løyser for $u$ først, deretter for $x$ .

✏️Eksempel 4: Likning med faseforskyving

Løys likninga $\displaystyle \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Løysing:

Steg 1: Set $\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}$ .

Vi løyser $\displaystyle \sin u = \frac{1}{2}$ :
$u = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad u = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

Steg 2: Set tilbake $\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}$ :

Grein 1: $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$
$\displaystyle 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$
$\displaystyle x = -\frac{\pi}{12} + n\pi$

Grein 2: $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$
$\displaystyle 2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$
$\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Steg 3: Finn løysingar i $[0, 2\pi)$ :

Grein 1: $n = 0$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{12}$ (utanfor). $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{11\pi}{12}$ ✓. $n = 2$ : $\displaystyle x = \frac{23\pi}{12}$ ✓.

Grein 2: $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ ✓. $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ ✓.

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle x = \frac{11\pi}{12}$ , $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ , $\displaystyle x = \frac{23\pi}{12}$

Viktig ved samansette argument:

Når du løyser $\sin(bx + c) = k$ og treng løysingar i $[0, 2\pi)$ , må du søkje gjennom fleire verdiar av $n$ enn vanleg! Viss $b = 2$ , får du typisk dobbelt så mange løysingar som for ei enkel likning.

Generelt: med $b$ i argumentet får du inntil $2|b|$ løysingar i $[0, 2\pi)$ for sinus og cosinus.

📝Oppgave 4

Løys likningane for $x \in [0, 2\pi)$ .

\displaystyle \cos(2x) = \frac{1}{2}

\sin(3x) = 0

\tan(2x) = -\sqrt{3}

📝Oppgave 5

Løys likningane for $x \in [0, 2\pi)$ .

\displaystyle \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}

Likningar som krev omskriving

Nokre trigonometriske likningar må skrivast om før dei kan løysast. Vanlege teknikkar er:

- Bruk av $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ for å få alt på éin trigonometrisk funksjon
- Faktorisering
- Substitusjon (t.d. $t = \cos x$ ) for å få ei algebraisk likning

✏️Eksempel 5: Andregradslikning i cosinus

Løys likninga $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Løysing:

Steg 1: Set $t = \cos x$ . Då får vi:
$2t^2 - t - 1 = 0$

Steg 2: Faktoriser (eller bruk abc-formelen):
$2t^2 - t - 1 = (2t + 1)(t - 1) = 0$

Så $\displaystyle t = -\frac{1}{2}$ eller $t = 1$ .

Steg 3: Løys for $x$ :

$\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$

$\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3}$ eller $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3}$

Svar: $x = 0$ , $\displaystyle x = \frac{2\pi}{3}$ , $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3}$

✏️Eksempel 6: Bruk av pytagoreisk identitet

Løys likninga $\sin^2 x + \sin x = \cos^2 x$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Løysing:

Erstatt $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$\sin^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x$
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Set $t = \sin x$ :
$(2t - 1)(t + 1) = 0$

$\displaystyle t = \frac{1}{2}$ eller $t = -1$ .

$\displaystyle \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$

$\displaystyle \sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ , $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$

📝Oppgave 6

Løys likningane for $x \in [0, 2\pi)$ .

2\sin^2 x - \sin x = 0

\displaystyle \cos^2 x = \frac{3}{4}

\tan^2 x - 3 = 0

📝Oppgave 7

Løys likningane for $x \in [0, 2\pi)$ . Bruk $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ der det trengst.

2\cos^2 x + 3\sin x = 3

\displaystyle \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}

📝Oppgave 8

Oppgi den generelle løysinga.

\sin x = 0

\cos x = -1

\tan x = -\sqrt{3}

📝Oppgave 9

Finn talet på løysingar av likninga på det gitte intervallet.

\displaystyle \sin(2x) = \frac{1}{2}

på

[0, 2\pi)

\cos(3x) = 0

på

[0, \pi]

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys likninga $\sin x + \cos x = 1$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 11

Løys likninga $2\sin x \cos x = \sin x$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Ikkje del på trigonometriske uttrykk!

Viss du har $\sin x \cdot (\text{noko}) = 0$ , ikkje del på $\sin x$ . Då mistar du løysingane der $\sin x = 0$ . Flytt alt til éi side og faktoriser i staden.

📝Oppgave 12

Løys likningane. Oppgi den generelle løysinga.

2\sin x = \sqrt{3}

4\cos x + 2 = 0

📝Oppgave 13

Løys likninga $\sin(2x) = \cos x$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 14

Løys $\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 15

Løys $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 16

Løys $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ for $x \in [0, \pi]$ .

📝Oppgave 17

Bruk GeoGebra til å verifisere løysingane dine av $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ frå eksempel 5. Teikn $f(x) = 2\cos^2(x) - \cos(x) - 1$ og finn nullpunkta.

📝Oppgave 18

Ein ball blir kasta opp med startfart $v_0 = 20$ m/s i ein vinkel $\theta$ med horisontalen. Rekkjevidda er gitt ved $\displaystyle R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ der $g = 9{,}81$ m/s². Finn vinkelen(ane) som gir rekkjevidde $R = 35$ m.

Oppsummering

Løysingsformlar:
- $\sin x = k$ : $x = v + 2n\pi$ eller $x = (\pi - v) + 2n\pi$
- $\cos x = k$ : $x = \pm v + 2n\pi$
- $\tan x = k$ : $x = v + n\pi$

Samansette argument: Set $u = bx + c$ , løys for $u$ , deretter for $x$ .

Omskriving: Bruk $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ og faktorisering.

Aldri del på $\sin x$ eller $\cos x$ -- faktoriser i staden!

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Trigonometriske likningar

Likningar på forma sin⁡x=k\sin x = ksinx=k

Likningar på forma cos⁡x=k\cos x = kcosx=k

Likningar på forma tan⁡x=k\tan x = ktanx=k

Likningar med samansett argument

Likningar som krev omskriving

Oppsummering

Likningar på forma $\sin x = k$

Likningar på forma $\cos x = k$

Likningar på forma $\tan x = k$