7.2 Trigonometriske grafer

Grafene til sinus, cosinus og tangens med transformasjoner.

55 min

21 oppgaver

SinuskurveCosinuskurveTangenskurveAmplitudePeriodeFaseforskyvning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Trigonometriske grafar

Når vi plottar $\sin x$ og $\cos x$ som funksjonar av $x$ , får vi periodiske kurver -- dei gjentek seg med jamne mellomrom. I dette kapittelet skal vi studere desse grafane og lære korleis ulike parametrar endrar forma på kurva.

Grafen til $y = \sin x$

Sinusfunksjonen er ei bølgjelignande kurve med desse eigenskapane:

- Periode: $2\pi$ (grafen gjentek seg etter $2\pi$ )
- Amplitude: $1$ (største avstand frå $x$ -aksen)
- Verdimengd: $[-1, 1]$
- Nullpunkt: $x = n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$
- Toppunkt: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (der $\sin x = 1$ )
- Botnpunkt: $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (der $\sin x = -1$ )

📊Grafen til y = sin x

Utforsk sinusfunksjonen interaktivt.

Grafen til $y = \cos x$

Cosinusfunksjonen har same form som sinusfunksjonen, men er forskyvd $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ mot venstre:

- Periode: $2\pi$
- Amplitude: $1$
- Verdimengd: $[-1, 1]$
- Nullpunkt: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$
- Toppunkt: $x = 2n\pi$ (der $\cos x = 1$ )
- Botnpunkt: $x = \pi + 2n\pi$ (der $\cos x = -1$ )

Samanheng: $\displaystyle \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Grafen til $y = \tan x$

Tangensfunksjonen har ei heilt anna form enn sinus og cosinus:

- Periode: $\pi$ (ikkje $2\pi$ !)
- Verdimengd: $(-\infty, \infty)$ -- alle reelle tal
- Nullpunkt: $x = n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$
- Vertikale asymptotar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (der $\cos x = 0$ )
- Monotont veksande på kvart intervall mellom to asymptotar

📝Oppgave 1

Oppgi periode, amplitude og verdimengd for kvar funksjon.

y = \sin x

y = \cos x

y = \tan x

Den generelle sinusfunksjonen

Ved å endre parametrane i sinusfunksjonen kan vi kontrollere forma på bølgja:

$y = a \cdot \sin(bx + c) + d$

Kvar parameter har ein bestemt effekt på grafen.

Parametrane i

y = a \sin(bx + c) + d

a

Parameter	Namn	Effekt
$a$	Amplitude	$\|a\|$ = største avstand frå midtlinja. Negativ $a$ speglar grafen.
$b$	Vinkelfrekvens	Avgjer perioden: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\|b\|}$
$c$	Faseforskyving	Forskyv grafen horisontalt: $\displaystyle -\frac{c}{b}$ einingar
$d$	Vertikal forskyving	Forskyv grafen vertikalt (midtlinja er $y = d$ )

📜Periode for trigonometriske funksjonar

For

y = a \sin(bx + c) + d

y = a \cos(bx + c) + d

$\text{Periode} = T = \frac{2\pi}{|b|}$

For $y = a \tan(bx + c) + d$ :

$\text{Periode} = T = \frac{\pi}{|b|}$

✏️Eksempel 1: Analyse av transformert sinusfunksjon

Avgjer amplitude, periode, faseforskyving og vertikal forskyving for funksjonen:

$f(x) = 3\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$

Løysing:

Vi samanliknar med $y = a \sin(bx + c) + d$ :

$a = 3$ , $b = 2$ , $\displaystyle c = -\frac{\pi}{3}$ , $d = 1$

- Amplitude: $|a| = 3$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$
- Faseforskyving: $\displaystyle -\frac{c}{b} = -\frac{-\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$ (mot høgre)
- Vertikal forskyving: $d = 1$ (opp)
- Verdimengd: $[1 - 3, 1 + 3] = [-2, 4]$
- Midtlinje: $y = 1$

📝Oppgave 2

Avgjer amplitude, periode, faseforskyving og verdimengd for kvar funksjon.

f(x) = 2\sin(3x)

\displaystyle g(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2

\displaystyle h(x) = 4\sin(\frac{x}{2} + \pi)

✏️Eksempel 2: Finn funksjonsuttrykket frå grafen

Ein sinuslignande graf har følgjande eigenskapar:
- Største verdi: $5$ , minste verdi: $1$
- Periode: $\pi$
- Toppunkt i $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$

Finn funksjonsuttrykket på forma $f(x) = a\sin(bx + c) + d$ .

Løysing:

Steg 1: Finn $a$ og $d$

Midtlinja: $\displaystyle d = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Amplitude: $\displaystyle a = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Steg 2: Finn $b$

Periode $\displaystyle = \frac{2\pi}{b} = \pi$ , så $b = 2$ .

Steg 3: Finn $c$

Sinusfunksjonen har toppunkt når argumentet er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ . Vi treng:

$\displaystyle 2 \cdot \frac{\pi}{4} + c = \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2} + c = \frac{\pi}{2}$
$c = 0$

Svar:

$f(x) = 2\sin(2x) + 3$

📝Oppgave 3

Finn eit funksjonsuttrykk på forma $f(x) = a\sin(bx + c) + d$ med dei gitte eigenskapane.

Amplitude $3$ , periode $4\pi$ , inga forskyving

Største verdi $7$ , minste verdi $-1$ , periode $2\pi$

Amplitude $2$ , periode $\pi$ , toppunkt i $x = 0$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Finn perioden til kvar funksjon.

y = \sin(4x)

\displaystyle y = \cos(\frac{x}{3})

y = \tan(2x)

y = \sin(\pi x)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3: Negativ amplitude og spegling

Skildre korleis grafen til $g(x) = -2\cos(x) + 1$ er transformert i høve til $y = \cos x$ .

Løysing:

Vi samanliknar med $y = a\cos(bx + c) + d$ :

$a = -2$ , $b = 1$ , $c = 0$ , $d = 1$

Transformasjonane (i rekkjefølgje):
1. Strekk vertikalt med faktor $2$ : amplituden aukar frå $1$ til $2$
2. Spegling om $x$ -aksen (fordi $a < 0$ ): grafen blir snudd opp-ned
3. Flytt opp med $1$ : midtlinja blir flytta frå $y = 0$ til $y = 1$

Verdimengd: $[1 - 2, 1 + 2] = [-1, 3]$

Merk: $g(0) = -2 \cdot 1 + 1 = -1$ (botnpunkt, ikkje toppunkt, fordi grafen er spegla).

📝Oppgave 5

Skildre transformasjonane frå $y = \sin x$ til den gitte funksjonen.

y = 3\sin(x) - 2

\displaystyle y = \sin(x - \frac{\pi}{2})

y = -\sin(2x) + 3

📝Oppgave 6

Bruk GeoGebra til å teikne $\displaystyle f(x) = 2\sin(3x - \frac{\pi}{2}) + 1$ . Les av toppunkt, botnpunkt og nullpunkt frå grafen.

📝Oppgave 7

Ein sinuslignande funksjon har toppunkt i $\displaystyle (-\frac{\pi}{4}, 6)$ og botnpunkt i $\displaystyle (\frac{\pi}{4}, 2)$ . Finn funksjonsuttrykket.

📝Oppgave 8

Temperaturen i ein by kan tilnærma skildrast med funksjonen $\displaystyle T(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 12$ der $T$ er temperaturen i $°C$ og $t$ er månaden (januar = 1).

Finn amplitude, periode og gjennomsnittleg temperatur.

Finn temperaturen i januar ( $t = 1$ ) og juli ( $t = 7$ ).

I kva månader er temperaturen over $17°C$ ?

📝Oppgave 9

Skisser grafen til funksjonen for $x \in [0, 2\pi]$ og merk av viktige punkt.

y = \sin(x) + 1

y = 2\cos(x)

📝Oppgave 10

Avgjer om funksjonen er periodisk. Viss ja, oppgi perioden.

f(x) = \sin(x) + \cos(x)

g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)

h(x) = x \cdot \sin(x)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Vis at $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ .

📝Oppgave 12

Kopla funksjonsuttrykket med rett skildring.

y = 3\cos(x)

-- Kva er verdimengda?

\displaystyle y = \sin(\frac{x}{2})

-- Kva er perioden?

y = \cos(x) - 5

-- Kva er midtlinja?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Skriv $f(x) = -3\cos(2x - \pi) + 1$ på forma $a\sin(bx + c) + d$ .

📝Oppgave 14

Vasstanden i ei hamn varierer mellom $0{,}5$ m og $3{,}5$ m med ein periode på $12{,}4$ timar. Høgvatnet var kl. 06:00.

Set opp ein modell $h(t) = a\sin(bt + c) + d$ der $t$ er talet på timar etter midnatt.

Finn vasstanden kl. 12:00.

📝Oppgave 15

Kor mange løysingar har likninga $\sin x = 0{,}5$ på intervallet $[0, 4\pi]$ ?

📝Oppgave 16

Funksjonen $f(x) = a\cos(bx) + d$ går gjennom punkta $(0, 5)$ , $\displaystyle (\frac{\pi}{2}, 1)$ og $(\pi, -3)$ . Finn $a$ , $b$ og $d$ .

Oppsummering

Standardgrafane: $y = \sin x$ og $y = \cos x$ har periode $2\pi$ og amplitude $1$ . $y = \tan x$ har periode $\pi$ .

Den generelle forma: $y = a\sin(bx + c) + d$

- Amplitude: $|a|$
- Periode: $\displaystyle \frac{2\pi}{|b|}$
- Faseforskyving: $\displaystyle -\frac{c}{b}$
- Vertikal forskyving: $d$
- Verdimengd: $[d - |a|, d + |a|]$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Trigonometriske grafar

Grafen til y=sin⁡xy = \sin xy=sinx

Grafen til y=cos⁡xy = \cos xy=cosx

Grafen til y=tan⁡xy = \tan xy=tanx

Den generelle sinusfunksjonen

Oppsummering

Grafen til $y = \sin x$

Grafen til $y = \cos x$

Grafen til $y = \tan x$