7.2 Trigonometriske grafer

Bølgene rundt oss

Lyden av en gitarstreng, tidevannet i en fjord, høyden din i pariserhjulet, vekselstrømmen i stikkontakten – alle disse fenomenene gjentar seg med jevne mellomrom. De er periodiske. Og når matematikere skal beskrive noe periodisk, griper de nesten alltid til samme verktøy: sinus- og cosinusfunksjonene.

I forrige kapittel definerte vi $\sin x$ og $\cos x$ på enhetssirkelen. Nå skal vi slippe dem løs som funksjoner og studere grafene deres. Du skal lære å kjenne igjen de tre standardgrafene til $\sin x$, $\cos x$ og $\tan x$, og – enda viktigere – du skal lære å lese og forme den generelle bølgen $y = a\sin(bx + c) + d$. De fire parameterne $a$, $b$, $c$ og $d$ er som fire skruknapper på en synthesizer: én styrer hvor høy bølgen er, én hvor rask den er, én hvor den starter, og én hvor høyt den ligger. Når du behersker dem, kan du beskrive nesten hva som helst som svinger.

De tre standardgrafene

La oss starte med å bli kjent med originalene. Grafen til $y = \sin x$ er en bølge som starter i origo, stiger til toppverdien $1$ ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$, faller gjennom null ved $x = \pi$, når bunnverdien $-1$ ved $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$, og er tilbake ved null etter $2\pi$. Så gjentar alt seg. Vi sier at perioden er $2\pi$ og amplituden – største avstand fra $x$-aksen – er $1$. Verdimengden er $[-1, 1]$, nullpunktene ligger i $x = n\pi$, toppunktene i $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ og bunnpunktene i $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$.

Grafen til $y = \cos x$ er nøyaktig samme bølge, bare forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ mot venstre: $\displaystyle \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Den starter derfor på toppen: toppunkter i $x = 2n\pi$, bunnpunkter i $x = \pi + 2n\pi$, og nullpunkter i $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.

Tangens er en helt annen skapning. Siden $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, eksploderer funksjonen der $\cos x = 0$: grafen har vertikale asymptoter i $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Mellom to asymptoter er grafen monotont voksende og dekker hele verdimengden $(-\infty, \infty)$. Perioden er bare $\pi$ – ikke $2\pi$ – og nullpunktene ligger i $x = n\pi$.

Fire skruknapper: $y = a\sin(bx + c) + d$

Nå skal vi forme bølgen. Den generelle sinusfunksjonen $y = a\sin(bx + c) + d$ har fire parametere med hver sin jobb.

Parameteren $a$ er amplituden: $|a|$ er største avstand fra midtlinjen. Er $a$ negativ, speiles grafen om midtlinjen. Parameteren $b$ er vinkelfrekvensen og bestemmer perioden: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|b|}$ for sinus og cosinus (og $\displaystyle T = \frac{\pi}{|b|}$ for tangens). Stor $b$ gir rask svingning og kort periode. Parameteren $c$ gir faseforskyvning: grafen flyttes horisontalt $\displaystyle -\frac{c}{b}$ enheter. Og $d$ løfter eller senker hele grafen – midtlinjen blir $y = d$. Verdimengden blir dermed $[d - |a|, d + |a|]$.

La oss analysere $\displaystyle f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$. Vi leser av $a = 3$, $b = 2$, $\displaystyle c = -\frac{\pi}{3}$ og $d = 1$. Amplituden er $3$, perioden er $\displaystyle T = \frac{2\pi}{2} = \pi$, faseforskyvningen er $\displaystyle -\frac{c}{b} = -\frac{-\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$ mot høyre, og midtlinjen er $y = 1$. Verdimengden blir $[1 - 3, 1 + 3] = [-2, 4]$.

Slik leser du altså en ferdig funksjon. Tenk på det som å pakke opp en beskjed: hver parameter forteller deg ett trekk ved bølgen, og sammen gir de deg hele bildet uten at du trenger å tegne et eneste punkt.

Fra graf til funksjonsuttrykk

Den motsatte oppgaven er minst like viktig: du ser en bølge – kanskje en tidevannsmåling – og skal finne funksjonsuttrykket. Da finnes en fast oppskrift.

Si at en graf har størsteverdi $5$, minsteverdi $1$, periode $\pi$ og toppunkt i $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$. Først finner vi midtlinjen som gjennomsnittet av topp og bunn: $\displaystyle d = \frac{5+1}{2} = 3$. Amplituden er halve avstanden mellom dem: $\displaystyle a = \frac{5-1}{2} = 2$. Deretter gir perioden oss $b$: siden $\displaystyle \frac{2\pi}{b} = \pi$, er $b = 2$. Til slutt finner vi $c$ fra toppunktet. Sinus har toppunkt når argumentet er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, så vi krever $\displaystyle 2 \cdot \frac{\pi}{4} + c = \frac{\pi}{2}$, som gir $c = 0$. Svaret er $f(x) = 2\sin(2x) + 3$.

Vær også oppmerksom på speiling. Funksjonen $g(x) = -2\cos x + 1$ har $a = -2$: grafen til cosinus strekkes med faktor $2$, speiles om $x$-aksen og løftes opp $1$. Derfor er $g(0) = -2 \cdot 1 + 1 = -1$ et bunnpunkt – ikke et toppunkt slik en vanlig cosinusgraf ville hatt. Verdimengden er fortsatt $[1-2, 1+2] = [-1, 3]$.

Oppskriften er altså alltid den samme: topp og bunn gir $d$ og $a$, perioden gir $b$, og plasseringen av et toppunkt (eller nullpunkt) gir $c$.

Oppsummering: bølgens grammatikk

Vi har lært å lese og skrive bølgenes språk. Standardgrafene er ordforrådet: $y = \sin x$ og $y = \cos x$ er bølger med periode $2\pi$ og amplitude $1$, der cosinus bare er sinus forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ mot venstre. Tangens skiller seg ut med periode $\pi$, verdimengde over alle reelle tall, og vertikale asymptoter der $\cos x = 0$.

Grammatikken er den generelle formen $y = a\sin(bx + c) + d$: amplituden $|a|$ bestemmer bølgehøyden (negativ $a$ speiler grafen), $b$ bestemmer perioden $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|b|}$, faseforskyvningen $\displaystyle -\frac{c}{b}$ flytter grafen sideveis, og $d$ hever midtlinjen til $y = d$. Verdimengden blir $[d - |a|, d + |a|]$.

Og når du skal gå fra graf til formel: les av topp og bunn for å finne $d$ (gjennomsnittet) og $a$ (halve avstanden), bruk perioden til å finne $b$, og plasseringen av et toppunkt til å finne $c$. Med disse fire skruknappene kan du modellere alt fra tidevann til lydbølger – og i neste kapittel skal vi løse likninger der disse funksjonene inngår.