6.5 Linjer og sirklar i planet

Normalform, sirkellikning, tangentar til sirklar og skjeringspunkt.

55 min

10 oppgaver

NormalformSirkellikningTangentSkjeringspunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.4Vektorlengde og avstand

Linjer og sirklar i planet

Vi kjenner linjer på forma $y = ax + b$ frå tidlegare. I vektorgeometrien er det ofte meir naturleg å bruke normalforma $ax + by + c = 0$ , som handsamar $x$ - og $y$ -koordinatar på ein symmetrisk måte.

Sirklar blir skildra ved sentrum og radius. Sirkellikninga på standardform gjer det lett å lese av desse storleikane direkte. Vi skal òg lære å finne tangentar til sirklar og skjeringspunkt mellom linjer og sirklar.

Linjelikning på normalform

\ell

✏️Eksempel 1: Linje på normalform

a) Skriv linja $y = 2x - 3$ på normalform og finn normalvektoren.

b) Finn likninga til linja gjennom $A = (1, 2)$ med normalvektor $\vec{n} = [3, -1]$ .

c) Finn normalforma til linja gjennom $P = (2, 5)$ og $Q = (4, 1)$ .

y = 2x - 3 \Rightarrow 2x - y - 3 = 0

. Normalvektor:

\vec{n} = [2, -1]

Svar: $2x - y - 3 = 0$ med $\vec{n} = [2, -1]$

b) Linja gjennom $A = (1, 2)$ med normalvektor $[3, -1]$ :

$3(x - 1) + (-1)(y - 2) = 0 \Rightarrow 3x - y - 1 = 0$

Svar: $3x - y - 1 = 0$

c) Retningsvektoren er $\overrightarrow{PQ} = [2, -4]$ . Normalvektoren er $\vec{n} = [4, 2]$ (eller $[2, 1]$ ). Gjennom $P = (2, 5)$ :

$2(x - 2) + 1(y - 5) = 0 \Rightarrow 2x + y - 9 = 0$

Svar: $2x + y - 9 = 0$

Sirkellikning på standardform

S = (a, b)

Sirkellikningar kan òg kome på forma

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

. Vi skriv om til standardform ved å fullføre kvadrat:

$x^2 + Dx + y^2 + Ey = -F$
$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F$

Dette gir sentrum $\displaystyle \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ og radius $\displaystyle r = \sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F}$ (føresett $r > 0$ ).

✏️Eksempel 2: Sirkelen

a) Skriv likninga til sirkelen med sentrum $S = (3, -2)$ og radius $4$ .

b) Skriv om $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ til standardform og finn sentrum og radius.

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

Svar: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$

b) Gruppering og fullføring av kvadrat:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Sentrum $S = (3, -2)$ , radius $r = 5$ .

Svar: Sentrum $(3, -2)$ og radius $5$ .

📜Tangent til sirkel

La sirkelen ha sentrum

S = (a, b)

og radius

r

. La

P = (x_0, y_0)

vere eit punkt på sirkelen.

Tangenten til sirkelen i $P$ er vinkelrett på radiusen $SP$ , og har likning:

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$

Alternativt: normalvektoren til tangenten er $\overrightarrow{SP} = [x_0 - a,\; y_0 - b]$ .

✏️Eksempel 3: Tangent til sirkel

Sirkelen $K$ har likning $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ .

a) Finn sentrum og radius.

b) Avgjer om $P = (5, 3)$ ligg på sirkelen.

c) Finn tangentlinja til $K$ i $P = (5, 3)$ .

a) Sentrum

S = (2, -1)

, radius

r = 5

Svar: Sentrum $(2, -1)$ og radius $5$ .

b) $(5-2)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓. $P$ ligg på sirkelen.

Svar: $P$ ligg på sirkelen.

c) Normalvektoren til tangenten er $\overrightarrow{SP} = [5-2, 3-(-1)] = [3, 4]$ . Tangenten gjennom $P = (5, 3)$ :

$3(x - 5) + 4(y - 3) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 27 = 0$

Svar: $3x + 4y - 27 = 0$

Skjeringspunkt mellom linje og sirkel

For å finne skjeringspunkta mellom ei linje og ein sirkel, set vi uttrykket til linja inn i sirkellikninga. Vi får ei andregradslikning som kan ha:

- To løysingar: Linja skjer sirkelen i to punkt (sekant)
- Éi løysing: Linja tangerer sirkelen (tangent)
- Inga løysing: Linja treff ikkje sirkelen

Tal på løysingar kan avgjerast ved å sjå på diskriminanten, eller ved å samanlikne avstanden frå sentrum til linja med radiusen.

✏️Eksempel 4: Skjeringspunkt

Finn skjeringspunkta mellom linja $y = x + 1$ og sirkelen $x^2 + y^2 = 13$ .

Sett inn

y = x + 1

i sirkellikninga:

$x^2 + (x+1)^2 = 13$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 13$
$2x^2 + 2x - 12 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3 \Rightarrow y = -2$ og $x = 2 \Rightarrow y = 3$ .

Skjeringspunkta er $(-3, -2)$ og $(2, 3)$ .

Svar: $(-3, -2)$ og $(2, 3)$

Hugs å sjekke svaret! Når du finn tangentlikning eller skjeringspunkt, er det lurt å verifisere at punkta faktisk ligg på både linja og sirkelen. Sett koordinatane tilbake inn i likningane.

📝Oppgave 1

Arbeid med normalform og sirkellikningar.

Skriv linja $y = -3x + 7$ på normalform og oppgi normalvektoren.

Les av sentrum og radius for sirkelen $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 16$ .

Avgjer om $Q = (0, 6)$ ligg innanfor, på eller utanfor sirkelen $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25$ .

📝Oppgave 2

Skriv sirkellikningar og finn normalform for linjer.

Skriv likninga til sirkelen med sentrum $(0, 0)$ og radius $7$ .

Skriv likninga til sirkelen med sentrum $(-1, 4)$ som går gjennom origo.

Finn normalforma til linja gjennom $A = (3, 1)$ med retningsvektor $\vec{v} = [2, -5]$ .

📝Oppgave 3

Omskriving og tangentar.

Skriv om $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$ til standardform. Finn sentrum og radius.

Finn tangenten til sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ i punktet $P = (-3, 4)$ .

Finn tangenten til $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 10$ i punktet $P = (4, 3)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Skjeringspunkt mellom linje og sirkel.

Finn skjeringspunkta mellom $y = 2x$ og $x^2 + y^2 = 20$ .

Avgjer utan å løyse likninga om linja $y = x + 5$ skjer sirkelen $x^2 + y^2 = 9$ .

For kva verdiar av $k$ tangerer linja $y = x + k$ sirkelen $x^2 + y^2 = 8$ ?

📝Oppgave 5

Avanserte sirkel- og linjeproblem.

Finn alle linjer med stigingstal $1$ som er tangentar til sirkelen $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 8$ .

Finn likninga til sirkelen med sentrum $S = (1, -2)$ som er tangent til $x$ -aksen.

Finn likninga til sirkelen som har $A = (1, 3)$ og $B = (7, -1)$ som endepunkt for ein diameter.

Vis at linja $3x + 4y = 25$ tangerer sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ , og finn tangentpunktet.

Oppsummering

Linje på normalform:
- $ax + by + c = 0$ med normalvektor $\vec{n} = [a, b]$ og retningsvektor $\vec{v} = [-b, a]$
- Linje gjennom $P = (x_0, y_0)$ med normalvektor $[a, b]$ : $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$

Sirkellikning på standardform:
- Sentrum $S = (a, b)$ og radius $r$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
- Generell form blir gjort om til standardform ved å fullføre kvadrata

Punktet si plassering: Set inn punktet — mindre enn $r^2$ betyr innanfor, lik $r^2$ betyr på sirkelen, større enn $r^2$ betyr utanfor.

Tangent til sirkel:
- Tangenten i punktet $P$ på sirkelen står vinkelrett på radiusen $SP$
- Normalvektoren til tangenten er $\overrightarrow{SP}$

Skjering mellom linje og sirkel: Set uttrykket til linja inn i sirkellikninga og løys andregradslikninga. To løysingar gir sekant, éi gir tangent, ingen betyr at linja ikkje treff sirkelen.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.