5.3 Modellering med reelle datasett

Datasett A (App-brukarar):
- Vekstfaktoren frå veke til veke er $\displaystyle \frac{6}{2} = 3$, $\displaystyle \frac{18}{6} = 3$, $\displaystyle \frac{50}{18} \approx 2{,}8$, $\displaystyle \frac{120}{50} = 2{,}4$ og $\displaystyle \frac{200}{120} \approx 1{,}7$.
- Dei første vekene er veksten tilnærma eksponensiell, med vekstfaktor ca. 3.
- Deretter avtek vekstfaktoren, sjølv om auken i tal (70 og 80 tusen) framleis er stor.

Konklusjon: Ein logistisk modell passar best: veksten startar eksponentielt, og den prosentvise veksten avtek. Kurva har enno ikkje byrja å flate ut, så berekrafta blir usikker med berre desse seks målingane.

Datasett B (Temperatur):
- Auke per månad: +2, +5, +5, +5, +4
- Relativt jamn auke, lineær-liknande
- Men temperaturar følgjer ofte ei sinuskurve over heile året

Konklusjon: Lineær modell for denne perioden (vår), men ein sinusmodell ville vore betre for heile året.

Dataa gir omtrent:
$$N(t) = 50{,}0 \cdot 1{,}030^t$$

$R^2 \approx 0{,}9999$ (svært god tilpassing)

Svar: $N(t) = 50{,}0 \cdot 1{,}030^t$

b) Vekstfaktoren er $b = 1{,}030$, som betyr:
$$\text{Årleg vekstrate} = 1{,}030 - 1 = 0{,}030 = 3{,}0\,\%$$

Svar: $3{,}0\,\%$ per år

c) For 2030 er $t = 30$:
$$N(30) = 50{,}0 \cdot 1{,}030^{30} \approx 50 \cdot 2{,}43 \approx 121 \text{ tusen}$$

Merk: Dette føresett at veksten held fram eksponentielt, noko som sjeldan skjer i praksis.

Svar: Om lag $121$ tusen innbyggjarar i 2030.

Svar: Kurva er S-forma og flatar ut, så ein logistisk modell passar.

b) Logistisk regresjon (FitLogistic i GeoGebra) gir
$$N(t) \approx \frac{510}{1 + 261 \cdot e^{-0{,}138t}}$$

med $R^2 \approx 0{,}9998$. Kontroll med dei avrunda parametrane: $N(30) \approx 98{,}9$ og $N(60) \approx 478$, nær målingane 100 og 480.

Svar: $N(t) \approx \dfrac{510}{1 + 261e^{-0{,}138t}}$.

c) Berekrafta er $K \approx 510$.

Svar: Modellen seier at det totale talet tilfelle i denne bølgja flatar ut på ca. 510 000. Berekrafta i ein smittemodell avheng av tiltak og åtferd, så ho kan endre seg.

Modellen spår 117 gonger startverdien etter 50 år.

b) Problem med prediksjonen:

- Marknadsbegrensningar: Ingen marknad er uendeleg. Etterspurnaden vil nå eit tak.
- Konkurranse: Andre aktørar vil kome inn viss marknaden er attraktiv.
- Ressursar: Selskapet vil møte avgrensingar i kapasitet, tilsette, kapital.
- Historisk erfaring: Få selskap veks eksponentielt i 50 år.

c) Meir realistisk modell:

Ein logistisk modell med berekraft ville vore meir realistisk:
$$N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}$$

der $K$ representerer marknaden si storleik eller selskapet sin maksimale kapasitet.

Data: Tal registrerte elbilar i Noreg annankvar år frå 2015 til 2023, i tusen. Tala er avrunda. Vi let $t$ vere år etter 2015.

Modellval: Vekstfaktoren per toårsperiode er $2{,}0$, $1{,}9$, $1{,}7$ og $1{,}6$. Veksten er nesten eksponensiell, men den prosentvise veksten avtek. Ein marknad har ei øvre grense, så vi vel ein logistisk modell.

Modell: Logistisk regresjon gir
$$N(t) \approx \frac{1475}{1 + 19{,}7 e^{-0{,}360t}}$$

Tilpassing: $R^2 \approx 0{,}99999$. Modellen gir $71$, $139$, $260$, $451$ og $700$ for dei fem åra.

Tolking:
- Berekraft: ca. 1,5 millionar elbilar.
- Vendepunkt: $\displaystyle t = \frac{\ln 19{,}7}{0{,}360} \approx 8{,}3$, altså i 2023. Der er veksten per år størst.

Avgrensingar:
- Dataa sluttar omtrent i vendepunktet. Då er berekrafta dårleg bestemt, og nokre få nye målingar kan endre ho mykje.
- Politikk, avgifter og infrastruktur kan endre både veksten og berekrafta.

Svar: Modellen seier at veksten i tal elbilar per år er på topp rundt 2023 og deretter avtek, og at talet nærmar seg ca. 1,5 millionar. Berekrafta er usikker.