5.2 Logistisk vekst | Matematikk R1

Modellere logistisk vekst med berekapasitet.

50 min

11 oppgaver

Logistisk modellBerekapasitetVendepunktS-kurve

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Eksponentiell vekst

Brukes videre i

5.3Modellering med reelle datasett

Avgrensingar i eksponentiell vekst

I førre kapittel såg vi at eksponentiell vekst fører til svært raske aukingar over tid. Men i verkelegheita kan ingenting vekse eksponentielt for alltid!

Kva avgrensar vekst?
- Mat og næring (for populasjonar)
- Plass og ressursar
- Konkurranse
- Metting av marknad (for produkt)

Når veksten møter slike avgrensingar, får vi ofte logistisk vekst i staden.

S-kurva

Den logistiske vekstkurva har ei karakteristisk S-form:

1. Tidleg fase: Veksten liknar eksponentiell (få avgrensingar)
2. Midtfase: Veksten avtek når ressursane blir knappe
3. Sein fase: Veksten flatar ut mot ei øvre grense

Denne øvre grensa blir kalla berekapasiteten.

Den logistiske modellen

Den logistiske modellen tek omsyn til at vekstraten avtek når populasjonen nærmar seg berekapasiteten.

Logistisk vekstmodell

N(t)

Forstå parametrane:

- $K$ (berekapasitet): Den maksimale berekraftige storleiken. Populasjonen kan aldri overstige $K$ i lengda.

- $r$ (vekstrate): Kor raskt veksten skjer. Høgare $r$ tyder brattare S-kurve.

- $C$ : Blir bestemt av kor langt frå $K$ vi startar. Viss $N_0$ er liten samanlikna med $K$ , er $C$ stor.

✏️Eksempel 1: Logistisk vekst

Ein fiskedam kan maksimalt romme 10 000 fisk. Vi set ut 500 fisk, og vekstraten er $r = 0{,}5$ per år.

a) Finn konstanten $C$ .
b) Set opp den logistiske modellen.
c) Kor mange fisk er det etter 5 år? Etter 10 år? Etter 20 år?

Løysing:

a) Vi har $K = 10\,000$ , $N_0 = 500$ og $r = 0{,}5$ .

$C = \frac{K - N_0}{N_0} = \frac{10\,000 - 500}{500} = \frac{9500}{500} = 19$

Svar: $C = 19$

b) Den logistiske modellen blir:

$N(t) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-0{,}5t}}$

Svar: $\displaystyle N(t) = \frac{10\,000}{1 + 19e^{-0{,}5t}}$

c) Vi reknar ut:

$t = 5$ : $\displaystyle N(5) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-2{,}5}} \approx \frac{10\,000}{1 + 1{,}56} \approx 3\,900$ fisk

$t = 10$ : $\displaystyle N(10) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-5}} \approx \frac{10\,000}{1 + 0{,}128} \approx 8\,900$ fisk

$t = 20$ : $\displaystyle N(20) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-10}} \approx \frac{10\,000}{1 + 0{,}00086} \approx 9\,990$ fisk

Populasjonen nærmar seg berekapasiteten 10 000.

Svar: Om lag $3\,900$ fisk etter 5 år, $8\,900$ etter 10 år og $9\,990$ etter 20 år.

📝Oppgave 1

Set opp logistisk modell for kvar situasjon.

K = 1000

N_0 = 100

r = 0{,}2

K = 5000

N_0 = 500

r = 0{,}3

K = 200

N_0 = 10

r = 0{,}5

K = 800

N_0 = 200

r = 0{,}1

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Bruk den logistiske modellen til å rekne ut.

For $\displaystyle N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ , finn $N(0)$ , $N(10)$ og $N(30)$ .

For modellen i a), når er $N(t) = 500$ ?

For $\displaystyle N(t) = \frac{500}{1 + 4e^{-0{,}3t}}$ , kva er berekapasiteten og startverdien?

Løs oppgaven

Vendepunktet og maksimal veksthastigheit

Ein viktig eigenskap ved logistisk vekst er at veksthastigheita først aukar, så avtek. Punktet der veksthastigheita er størst blir kalla vendepunktet.

📜Vendepunktet for logistisk vekst

For

\displaystyle N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}

inntreffer vendepunktet når:

$N = \frac{K}{2}$

Tidspunktet for vendepunktet er:
$t_v = \frac{\ln C}{r}$

Maksimal veksthastigheit i vendepunktet:
$N'(t_v) = \frac{rK}{4}$

Utleiing: Vendepunktet er der veksthastigheita er størst. Med $\displaystyle N' = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)$ (utleidd i avsnittet om derivasjon under) er $N'$ eit andregradsuttrykk i $N$ med nullpunkta $N = 0$ og $N = K$ . Toppunktet ligg midt mellom nullpunkta, i $\displaystyle N = \frac{K}{2}$ .

$\frac{K}{1 + Ce^{-rt}} = \frac{K}{2} \quad\Rightarrow\quad 1 + Ce^{-rt} = 2 \quad\Rightarrow\quad Ce^{-rt} = 1 \quad\Rightarrow\quad t_v = \frac{\ln C}{r}$

$N'(t_v) = r \cdot \frac{K}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{rK}{4}$

✏️Eksempel 2: Finne vendepunktet

For fiskedammen frå eksempel 1 med $\displaystyle N(t) = \frac{10\,000}{1 + 19e^{-0{,}5t}}$ :

a) Finn tidspunktet for vendepunktet.
b) Kva er populasjonen i vendepunktet?
c) Kva er den maksimale veksthastigheita?

Løysing:

a) Med $C = 19$ og $r = 0{,}5$ :
$t_v = \frac{\ln C}{r} = \frac{\ln 19}{0{,}5} \approx \frac{2{,}944}{0{,}5} \approx 5{,}9 \text{ år}$

Svar: Etter om lag $5{,}9$ år.

b) I vendepunktet er populasjonen alltid halvparten av berekapasiteten:
$N(t_v) = \frac{K}{2} = \frac{10\,000}{2} = 5\,000 \text{ fisk}$

Svar: $5\,000$ fisk

c) Maksimal veksthastigheit:
$N'(t_v) = \frac{rK}{4} = \frac{0{,}5 \cdot 10\,000}{4} = 1\,250 \text{ fisk per år}$

Tolking: Rundt år 6 veks populasjonen raskast, med ca. 1250 nye fisk per år.

Svar: $1\,250$ fisk per år

📝Oppgave 3

Finn vendepunktet for kvar logistiske modell.

\displaystyle N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}2t}}

\displaystyle N(t) = \frac{500}{1 + 49e^{-0{,}4t}}

Ein populasjon følgjer logistisk vekst med $K = 2000$ og vendepunkt ved $t = 8$ år. $C = 15$ . Finn $r$ .

Løs oppgaven

Derivasjon av logistisk funksjon

For å analysere veksthastigheita treng vi den deriverte av den logistiske funksjonen.

📜Den deriverte av logistisk funksjon

For

\displaystyle N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}

er den deriverte:

$N'(t) = \frac{rKCe^{-rt}}{(1 + Ce^{-rt})^2}$

Denne kan òg skrivast som:
$N'(t) = rN(t)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$

Tolking: Veksthastigheita avheng av:
- Noverande populasjon $N(t)$
- Kor mykje "ledig kapasitet" det er: $\displaystyle 1 - \frac{N(t)}{K}$

Fordjuping (utanfor læreplanen) – den logistiske differensiallikninga:

Den logistiske modellen kjem frå differensiallikninga:

$\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)$

Denne seier at veksthastigheita er:
- Proporsjonal med $N$ (som eksponentiell vekst)
- Multiplisert med ein "bremsefaktor" $(1 - N/K)$ som blir mindre når $N$ nærmar seg $K$

✏️Eksempel 3: Veksthastigheit i logistisk modell

For modellen $\displaystyle N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ :

a) Finn $N'(t)$ .
b) Rekn ut veksthastigheita når $N = 200$ , $N = 500$ og $N = 800$ .
c) Når er veksthastigheita størst?

Løysing:

a) Med $K = 1000$ , $r = 0{,}2$ , $C = 9$ :

$N'(t) = \frac{0{,}2 \cdot 1000 \cdot 9 \cdot e^{-0{,}2t}}{(1 + 9e^{-0{,}2t})^2} = \frac{1800e^{-0{,}2t}}{(1 + 9e^{-0{,}2t})^2}$

Alternativt:
$N'(t) = 0{,}2 \cdot N(t) \cdot \left(1 - \frac{N(t)}{1000}\right)$

Svar: $\displaystyle N'(t) = \frac{1800e^{-0{,}2t}}{(1 + 9e^{-0{,}2t})^2}$

b) Bruker alternativ form:

$N = 200$ : $N' = 0{,}2 \cdot 200 \cdot (1 - 0{,}2) = 40 \cdot 0{,}8 = 32$

$N = 500$ : $N' = 0{,}2 \cdot 500 \cdot (1 - 0{,}5) = 100 \cdot 0{,}5 = 50$ (maksimal)

$N = 800$ : $N' = 0{,}2 \cdot 800 \cdot (1 - 0{,}8) = 160 \cdot 0{,}2 = 32$

Svar: $N' = 32$ , $50$ og $32$

c) Veksthastigheita er størst når $N = K/2 = 500$ , som stadfestar at vendepunktet er ved $N = 500$ .

Svar: Når $N = 500$ .

📝Oppgave 4

Rekn ut veksthastigheita.

For $\displaystyle N(t) = \frac{500}{1 + 4e^{-0{,}3t}}$ , bruk $N' = rN(1 - N/K)$ til å finne $N'$ når $N = 100$ .

For same modell, finn $N'$ når $N = 250$ og $N = 400$ .

Ein populasjon følgjer $N' = 0{,}1N(1 - N/2000)$ . Finn maksimal veksthastigheit.

Løs oppgaven

Praktiske bruksområde

Logistisk vekst skildrar mange fenomen i verkelegheita betre enn eksponentiell vekst.

✏️Eksempel 4: Smittespreiing

I ein by med 100 000 innbyggjarar spreier ein sjukdom seg. Spreiinga følgjer logistisk vekst med $r = 0{,}3$ per dag. Dag 0 er 100 personar smitta.

a) Set opp modellen for talet på smitta $N(t)$ .
b) Kor mange er smitta etter 20 dagar? Etter 40 dagar?
c) Når er spreiinga raskast, og kor mange blir smitta då per dag?
d) Når er halvparten av folketalet smitta?

Løysing:

a) $K = 100\,000$ , $N_0 = 100$ , $r = 0{,}3$

$C = \frac{100\,000 - 100}{100} = 999$

$N(t) = \frac{100\,000}{1 + 999 \cdot e^{-0{,}3t}}$

Svar: $\displaystyle N(t) = \frac{100\,000}{1 + 999e^{-0{,}3t}}$

b) $\displaystyle N(20) = \frac{100\,000}{1 + 999 \cdot e^{-6}} \approx \frac{100\,000}{1 + 2{,}47} \approx 28\,800$ smitta

$\displaystyle N(40) = \frac{100\,000}{1 + 999 \cdot e^{-12}} \approx 99\,400$ smitta

Svar: Om lag $28\,800$ etter 20 dagar og $99\,400$ etter 40 dagar.

c) Vendepunktet: $\displaystyle t_v = \frac{\ln 999}{0{,}3} \approx 23$ dagar

Maksimal smittehastigheit: $\displaystyle N'(t_v) = \frac{0{,}3 \cdot 100\,000}{4} = 7\,500$ per dag

Svar: Etter om lag 23 dagar, med $7\,500$ nye smitta per dag.

d) Halvparten ( $50\,000$ ) blir smitta ved vendepunktet, altså etter ca. 23 dagar.

Svar: Etter om lag 23 dagar.

✏️Eksempel 5: Spreiing av ny teknologi

Eit land med 5 millionar hushald innfører ei ny straumeteneste. Ved start abonnerer 50 000 hushald, og etter 2 år har 500 000 abonnert. Modellen er logistisk med berekapasitet 4 millionar.

a) Finn $C$ og $r$ .
b) Når vil 2 millionar ha abonnert?

Løysing:

a) Vi har $K = 4\,000\,000$ , $N_0 = 50\,000$ og $N(2) = 500\,000$ .
$C = \frac{4\,000\,000 - 50\,000}{50\,000} = 79$

Frå $N(2) = 500\,000$ :
$500\,000 = \frac{4\,000\,000}{1 + 79e^{-2r}}$
$1 + 79e^{-2r} = 8$
$e^{-2r} = \frac{7}{79} \approx 0{,}0886$
$r = \frac{-\ln(0{,}0886)}{2} \approx 1{,}21$

Svar: a) $C = 79$ og $r \approx 1{,}21$ .

b) Vi løyser $N(t) = 2\,000\,000$ :
$2\,000\,000 = \frac{4\,000\,000}{1 + 79e^{-1{,}21t}}$
$1 + 79e^{-1{,}21t} = 2$
$e^{-1{,}21t} = \frac{1}{79}$
$t = \frac{\ln 79}{1{,}21} \approx 3{,}6 \text{ år}$

Svar: b) Etter om lag 3,6 år har 2 millionar hushald abonnert.

📝Oppgave 5

Løys dei praktiske oppgåvene.

Ein innsjø kan ha maks 2000 fisk. 200 fisk blir sette ut, og $r = 0{,}4$ . Når er det 1500 fisk?

Eit rykte spreier seg på ein skule med 800 elevar. Etter 1 dag veit 50 om det. Etter 3 dagar veit 400. Finn $r$ .

Ein plante spreier seg i eit område på 1000 m². Startar med 10 m², $r = 0{,}5$ per år. Når dekkjer han 900 m²?

Løs oppgaven

Gjør dette i GeoGebra

Eksponentiell vs. logistisk vekst

Samanlikn eksponentiell og logistisk vekst. Juster parametrane for å sjå skilnadene.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

K = Slider(100, 1000, 10, 1, 150, false, true, false, false)
N0 = Slider(1, 100, 1, 1, 150, false, true, false, false)
r = Slider(0.1, 1, 0.05, 1, 150, false, true, false, false)
SetValue(K, 500)
SetValue(N0, 10)
SetValue(r, 0.3)
C = (K - N0) / N0
eksponentiell(t) = N0 * exp(r * t)
logistisk(t) = K / (1 + C * exp(-r * t))
kapasitet = Line((0, K), (30, K))
ZoomIn(-1, -50, 30, 600)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Oppsummering

Logistisk vekstmodell:
$N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}$

der $\displaystyle C = \frac{K - N_0}{N_0}$

Berekapasitet $K$ : Øvre grense som $N(t)$ nærmar seg

Vendepunkt:
- Tidspunkt: $\displaystyle t_v = \frac{\ln C}{r}$
- Populasjon: $\displaystyle N(t_v) = \frac{K}{2}$
- Maksimal veksthastigheit: $\displaystyle N'(t_v) = \frac{rK}{4}$

Derivasjon:
$N'(t) = rN(t)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$

Skilnad frå eksponentiell:
- Eksponentiell: Ubegrensa vekst
- Logistisk: Avgrensa av berekapasitet, S-forma kurve

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.