4.9 Optimering i praksis

Praktiske optimeringsproblemer: maksimalt volum, minimalt areal, naturvitenskap.

60 min

15 oppgaver

OptimeringMaksimalt volumMinimalt arealPraktiske problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Derivasjonsregler

Optimering -- å finne det beste

Mange praktiske problem handlar om å finne den beste løysinga: størst volum, minst materialbruk, høgast forteneste, kortast reisetid. Derivasjon gir oss eit kraftig verktøy for å løyse slike problem systematisk.

Nøkkelen er å:
1. Formulere problemet som ein funksjon av éin variabel
2. Derivere og finne kritiske punkt
3. Avgjere om det er maks eller min
4. Tolke svaret i kontekst

Systematisk framgangsmåte

Steg 1: Forstå problemet
Les oppgåva nøye. Teikn ein figur. Identifiser kva som skal optimerast og kva avgrensingar som gjeld.

Steg 2: Innfør variable
Lat $x$ vere den ukjende storleiken. Uttrykk målfunksjonen $f(x)$ (det vi vil optimere) og finn definisjonsmengda.

Steg 3: Deriver og finn kritiske punkt
Set $f'(x) = 0$ og løys. Sjekk òg endepunkta av definisjonsmengda.

Steg 4: Klassifiser
Bruk forteiknsskjema for $f'(x)$ , andrederivert-testen, eller samanlikn funksjonsverdiar i kritiske punkt og endepunkt.

Steg 5: Svar
Gi svaret med rett eining og sjekk at det er rimeleg.

✏️Eksempel 1: Open boks

Frå eit rektangulært ark papp med mål $20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}$ skal vi lage ein open boks ved å klippe ut like store kvadrat frå hjørna og brette opp kantane. Kva storleik på kvadrata gir størst mogleg volum?

Løysing:

Steg 1: Lat $x$ cm vere sidelengda til kvadrata som blir klipte ut. Då får boksen:
- Lengd: $30 - 2x$
- Breidd: $20 - 2x$
- Høgd: $x$

Steg 2: Volumet er:
$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$

Definisjonsmengd: $0 < x < 10$ (breidda må vere positiv).

Steg 3: $V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150) = 0$

$x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6} \approx \frac{50 \pm 26{,}46}{6}$

$x_1 \approx 3{,}92$ cm (gyldig) eller $x_2 \approx 12{,}74$ cm (utanfor $[0, 10]$ ).

Steg 4: $V''(x) = 24x - 200$ . $V''(3{,}92) = 24 \cdot 3{,}92 - 200 = -105{,}9 < 0$ (maksimum).

Steg 5: $V(3{,}92) \approx 3{,}92 \cdot 22{,}16 \cdot 12{,}16 \approx 1056$ cm $^3$ .

📝Oppgave 1

Eit gjerde på 120 m skal avgrense eit rektangulært område langs ei elv (gjerdet trengst ikkje langs elva). Finn dimensjonane som gir størst mogleg areal.

📝Oppgave 2

Ein bonde vil lage to like store, samanhengande rektangulære innhegningar med totalt 300 m gjerde. Finn dimensjonane som gir størst totalt areal.

✏️Eksempel 2: Optimal sylinder

Ein lukka sylindrisk boks skal ha volum $1$ liter ( $1000$ cm $^3$ ). Finn radius og høgd som gir minst mogleg overflate (materialbruk).

Løysing:

Steg 1-2: Lat $r$ vere radius og $h$ høgd. Volumkravet gir:
$\pi r^2 h = 1000 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1000}{\pi r^2}$

Overflata er:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$

Definisjonsmengd: $r > 0$ .

Steg 3:
$S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 4\pi r^3 = 2000 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Steg 4: $\displaystyle S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er eit minimum.

Steg 5: $\displaystyle h = \frac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}84$ cm.

Vi merkar at $h = 2r$ -- den optimale sylinderen har høgd lik diameteren!

For ein lukka sylinder med gitt volum er overflata minst når

h = 2r

(høgda er lik diameteren).

Dette kan visast generelt: med $V = \pi r^2 h$ får vi $\displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2}$ , og

$S'(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{V}{2\pi} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{V}{\pi r^2} = 2r$

Brusboksar i verkelegheita avvik litt frå dette pga. produksjonskostnader (botn og lokk er dyrare enn sidene).

📝Oppgave 3

Ein open sylindrisk boks (utan lokk) skal ha volum 500 cm $^3$ . Finn dimensjonane som gir minst materialbruk.

📝Oppgave 4

Eit rektangel er innskrive i ein halvsirkel med radius $r = 10$ . Botnlinja ligg langs diameteren. Finn det rektangelet som har størst areal.

✏️Eksempel 3: Økonomisk optimering

Eit firma produserer $x$ einingar per dag. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ (kroner) og salsprisen er $50$ kr per eining.

a) Finn fortenestefunksjonen.
b) Kor mange einingar gir størst forteneste?
c) Kva er den største forteneste?

Løysing:

a) Inntekt: $I(x) = 50x$ . Forteneste:
$F(x) = I(x) - K(x) = 50x - 0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 15x - 200 = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 + 35x - 200$

b) $F'(x) = -0{,}03x^2 + 1{,}2x + 35 = 0$

$x = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{1{,}44 + 4{,}2}}{-0{,}06} = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06}$

$x \approx 50$ (den positive løysinga innanfor rimeleg produksjon).

c) $F(50) = -0{,}01 \cdot 125000 + 0{,}6 \cdot 2500 + 35 \cdot 50 - 200 = -1250 + 1500 + 1750 - 200 = 1800$ kr.

📝Oppgave 5

Økonomisk optimering.

Eit firma har kostnadsfunksjonen $K(x) = 2x^2 + 100x + 5000$ og inntektsfunksjonen $I(x) = 500x - x^2$ . Finn produksjonen som gir størst forteneste.

Kva er grensekostnaden når $x = 67$ ? Kva er grenseinntekta?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn det punktet på parabelen $y = x^2$ som har kortast avstand til punktet $(3, 0)$ .

📝Oppgave 7

Ei kjegle skal innskrivast i ei kule med radius $R$ . Finn kjegla med størst volum.

📝Oppgave 8

Ein lyskastar står 3 m frå ein vegg. Ein person som er 1,8 m høg går mot veggen med fart 1 m/s. Når personen er 2 m frå veggen, kor fort veks skuggelengda på veggen?

📝Oppgave 9

Eit 4 m langt bord skal berast rundt eit hjørne i ein korridor der begge gangane er 2 m breie. Bordet blir halde vassrett. Vis at bordet akkurat går rundt hjørnet.

Hugs å sjekke endepunkta!

Når definisjonsmengda er eit lukka intervall $[a, b]$ , kan maksimum og minimum like gjerne liggje i endepunkta som i dei kritiske punkta.

Strategi for lukka intervall:
1. Finn alle kritiske punkt ( $f'(x) = 0$ ) i $(a, b)$
2. Rekn ut $f$ i alle kritiske punkt og i endepunkta $a$ og $b$
3. Største verdi = globalt maksimum, minste verdi = globalt minimum

For opne intervall eller ubegrensa område må vi argumentere meir omhyggeleg (t.d. med $f(x) \to \infty$ ved grensene).

📝Oppgave 10

Finn globalt maks og min for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på intervallet $[-2, 3]$ .

Tips for optimeringsproblem:
- Teikn alltid ein figur -- det hjelper å forstå samanhengen mellom variablane
- Namngi variablane tydeleg og skriv ned alle vilkår
- Når målfunksjonen har to variable, bruk vilkåret til å eliminere ein variabel
- Sjekk at svaret er rimeleg -- får du eit fornuftig tal med rett eining?
- Hugs at

f'(x) = 0

kan gi både maks, min og terrassepunkt -- verifiser svaret!

Oppsummering

- Optimeringsproblem handlar om å finne maks eller min av ein funksjon under gitte vilkår
- Framgangsmåten er: forstå problemet, set opp funksjon, deriver, finn kritiske punkt, klassifiser, svar
- Geometriske problem: Bruk geometriske samanhengar (Pytagoras, formlar for areal/volum) til å setje opp målfunksjonen
- Økonomiske problem: Forteneste = inntekt $-$ kostnad, optimer ved $F'(x) = 0$
- Sjekk endepunkt på lukka intervall
- Verifiser med andrederiverten eller forteiknsskjema

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.