4.8 Globale ekstremalpunkt og optimering | Matematikk R1

Finne absolutte maksimums- og minimumsverdiar på lukka intervall og løyse praktiske optimeringsproblem.

90 min

18 oppgaver

Globale ekstremalpunktEkstremalverdisetningaOptimeringsproblemØkonomisk optimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.6Funksjonsdrøfting

Lokale vs. globale ekstremalpunkt

Lokalt ekstremalpunkt: Høgaste/lågaste verdi i eit lite område rundt punktet.

Globalt (absolutt) ekstremalpunkt: Høgaste/lågaste verdi i heile definisjonsområdet.

Viktig: Eit lokalt maksimum treng ikkje vere eit globalt maksimum!

Eksempel: For $f(x) = x^3 - 3x$ på $[-2, 3]$ :
- Lokalt maksimum i $x = -1$ : $f(-1) = 2$
- Lokalt minimum i $x = 1$ : $f(1) = -2$
- Men kva er det globale maksimumet? Vi må òg sjekke endepunkta: $f(-2) = -2$ og $f(3) = 18$ . Sidan $f(3) = 18 > f(-1) = 2$ , ligg det globale maksimumet i endepunktet $x = 3$ .

Ekstremalverdisetninga

f

Metode for å finne globale ekstremalpunkt

f

✏️Eksempel 1: Polynom på lukka intervall

Finn globalt maksimum og minimum for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på $[-2, 2]$ .

Finn kritiske punkt

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)

f'(x) = 0

når

x = -1

eller

x = 1

Begge er innanfor $\langle -2, 2 \rangle$ ✓

Berekn funksjonsverdiar

$x$	$f(x) = x^3 - 3x + 1$
$-2$ (endepunkt)	$-8 + 6 + 1 = -1$
$-1$ (kritisk)	$-1 + 3 + 1 = 3$
$1$ (kritisk)	$1 - 3 + 1 = -1$
$2$ (endepunkt)	$8 - 6 + 1 = 3$

Samanlikn
- Globalt maksimum:

f(-1) = f(2) = 3

- Globalt minimum:

f(-2) = f(1) = -1

Svar: Globalt maks er 3 (i

x = -1

x = 2

), globalt min er

-1

x = -2

x = 1

✏️Eksempel 2: Optimeringsproblem

Ein bonde har 200 meter gjerde og vil lage ei rektangulær innhegning mot ei elv (treng ikkje gjerde langs elva). Kva er det største arealet han kan få?

Set opp problemet:
Lat

x

= lengd parallelt med elva,

y

= breidd.

Avgrensing: $x + 2y = 200$ (gjerde på tre sider)
Så $x = 200 - 2y$

Areal: $A = xy = (200 - 2y)y = 200y - 2y^2$

Kva er definisjonsmengda?
Sidan $x \geq 0$ og $y \geq 0$ , må $0 \leq y \leq 100$ . Vi tek med endepunkta (arealet $0$ ) slik at $A$ er kontinuerleg på det lukka intervallet $[0, 100]$ .

Finn kritiske punkt:
$A'(y) = 200 - 4y = 0$
$y = 50$ m

Rekn ut funksjonsverdiar:

$y$	$A(y)$
$0$	$0$
$50$	$200(50) - 2(2500) = 5000$
$100$	$0$

x = 200 - 2 \cdot 50 = 100

Svar: Maksimalt areal er

5000 \text{ m}^2

når

y = 50

m og

x = 100

✏️Eksempel 3: Funksjon med ikkje-deriverbart punkt

Finn globale ekstremalpunkt for $f(x) = |x - 1| + 2x$ på $[-1, 3]$ .

Skriv om funksjonen:

f(x) = \begin{cases} -(x-1) + 2x = x + 1 & \text{viss } x < 1 \\ (x-1) + 2x = 3x - 1 & \text{viss } x \geq 1 \end{cases}

Kritiske punkt:
- For $x < 1$ : $f'(x) = 1 \neq 0$ (ingen stasjonære punkt)
- For $x > 1$ : $f'(x) = 3 \neq 0$ (ingen stasjonære punkt)
- I $x = 1$ : $f'(x)$ eksisterer ikkje (knekk)

Kandidatpunkt: $x = -1, 1, 3$

Rekn ut funksjonsverdiar:

$x$	$f(x)$
$-1$	$2 + (-2) = 0$
$1$	$0 + 2 = 2$
$3$	$2 + 6 = 8$

Svar: Globalt minimum er

0

x = -1

. Globalt maksimum er

8

x = 3

📝Oppgave 1

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = x^2 - 4x + 3

på

[0, 4]

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

på

[0, 4]

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}

på

[-2, 2]

📝Oppgave 2

Optimeringsproblem.

Ein open boks skal lagast av eit 12×12 cm ark ved å klippe like kvadrat frå hjørna og brette opp. Kva er det maksimale volumet?

Finn det punktet på kurva $y = \sqrt{x}$ som ligg nærmast punktet $(3, 0)$ .

Løs oppgaven

Obs! Opne intervall:

På opne intervall $\langle a, b \rangle$ treng ikkje globale ekstremalpunkt å eksistere!

Eksempel 1: $f(x) = x$ på $\langle 0, 1 \rangle$ . Funksjonen kjem vilkårleg nær 0 og 1, men når aldri desse verdiane. Verken globalt maksimum eller minimum eksisterer.

Eksempel 2: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ på $\langle 0, \rightarrow \rangle$ . Funksjonen nærmar seg 0 når $x \to \infty$ , men når aldri 0. Han har heller ikkje noko globalt maksimum (han går mot $\infty$ når $x \to 0^+$ ).

Ekstremalverdisetningen krev at intervallet er lukka $[a, b]$ og at funksjonen er kontinuerleg på heile intervallet. Dersom éi av desse betingelsane manglar, kan vi ikkje garantere at globale ekstremalpunkt finst.

Bruk dobbeltderiverten for å klassifisere kritiske punkt:

Etter å ha funne kritiske punkt $c$ der $f'(c) = 0$ , kan du bruke dobbeltderivert-testen:

- $f''(c) > 0$ → Lokalt minimum i $x = c$
- $f''(c) < 0$ → Lokalt maksimum i $x = c$
- $f''(c) = 0$ → Testen gir ikkje noko svar — du må sjekke forteiknsskjema for $f'(x)$

Hugs: Sjølv om du klassifiserer lokale ekstremalpunkt med $f''$ , må du framleis samanlikne med endepunktsverdiar for å avgjere om dei er globale!

✏️Eksempel 4: Praktisk optimering – sylindrisk boks

Ein sylindrisk boks (utan lokk) skal ha volum $500 \text{ cm}^3$ . Finn dimensjonane som minimerer materialforbruket (overflatearealet).

Set opp variablane:
Lat

r

= radius og

h

= høgd.

Overflateareal (botn + sideflate, utan lokk):
$A = \pi r^2 + 2\pi r h$

Volumvilkår:
$\pi r^2 h = 500 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{500}{\pi r^2}$

Set inn for $h$ :
$A(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$

Definisjonsområde: $r > 0$

Deriver og set lik null:
$A'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$
$2\pi r = \frac{1000}{r^2}$
$r^3 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$
$r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Kontroller med dobbeltderiverten:
$A''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3}$
$A''(r) > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er eit minimum.

Finn høgda:
$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \cdot \left(\frac{500}{\pi}\right)^{2/3}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Svar: Minst materialforbruk når $r \approx 5{,}42$ cm og $h \approx 5{,}42$ cm. Høgda er lik radien, så boksen er dobbelt så brei (diameter $2r \approx 10{,}8$ cm) som han er høg.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk globale og lokale ekstremalpunkt

Dra i endepunkta for å sjå korleis globale ekstremalpunkt endrar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^3 - 3x
a = Slider(-5, 0, 0.1)
b = Slider(0, 5, 0.1)
SetValue(a, -2)
SetValue(b, 3)
A = (a, f(a))
B = (b, f(b))
K1 = (-1, f(-1))
K2 = (1, f(1))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = e^{-x} \cdot x

på

[0, 5]

f(x) = x - 2\ln x

på

[1, e^2]

f(x) = \ln x - x

på

[0{,}1, \, 10]

📝Oppgave 4

Praktiske optimeringsproblem.

Ei bedrift sel $x$ einingar til pris $p = 200 - 2x$ kr. Kostnaden er $K(x) = 500 + 40x$ . Finn talet på einingar som gir størst forteneste.

Eit rektangulært akvarium (med open topp) skal ha volum 32 liter. Botnen er kvadratisk. Finn dimensjonane som minimerer glasforbruket (overflatearealet).

Løs oppgaven

Optimering i praksis

Mange praktiske problem handlar om å finne den beste løysinga: størst volum, minst materialbruk, høgast forteneste, kortast reisetid. Derivasjon gir oss eit kraftig verktøy for å løyse slike problem systematisk.

Systematisk framgangsmåte:

Forstå problemet
Les oppgåva nøye. Teikn ein figur. Identifiser kva som skal optimerast og kva avgrensingar som gjeld.

Innfør variable
Lat $x$ vere den ukjende storleiken. Uttrykk målfunksjonen $f(x)$ (det vi vil optimere) og finn definisjonsmengda.

Deriver og finn kritiske punkt
Set $f'(x) = 0$ og løys. Sjekk òg endepunkta av definisjonsmengda.

Klassifiser
Bruk forteiknsskjema for $f'(x)$ , dobbeltderivert-testen, eller samanlikn funksjonsverdiar i kritiske punkt og endepunkt.

Svar
Gi svaret med rett eining og sjekk at det er rimeleg.

✏️Eksempel 5: Open boks

Frå eit rektangulært ark papp med mål $20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}$ skal vi lage ein open boks ved å klippe ut like store kvadrat frå hjørna og brette opp kantane. Kva storleik på kvadrata gir størst mogleg volum?

Løysing:

Lat $x$ cm vere sidelengda til kvadrata som blir klipte ut. Då får boksen:
- Lengd: $30 - 2x$
- Breidd: $20 - 2x$
- Høgd: $x$

Volumet er:
$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$

Definisjonsmengd: $0 < x < 10$ (breidda må vere positiv).

$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150) = 0$

$\begin{aligned} x &= \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} \\ &= \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6} \\ &\approx \frac{50 \pm 26{,}46}{6} \end{aligned}$

$x_1 \approx 3{,}92$ cm (gyldig) eller $x_2 \approx 12{,}74$ cm (utanfor $[0, 10]$ ).

$V''(x) = 24x - 200$ . $V''(3{,}92) = 24 \cdot 3{,}92 - 200 \approx -105{,}9 < 0$ (maksimum).

$V(3{,}92) \approx 3{,}92 \cdot 22{,}16 \cdot 12{,}16 \approx 1056$ cm $^3$ .

Svar: Kvadrata bør ha side om lag $3{,}9$ cm. Då blir volumet om lag $1056$ cm $^3$ .

📝Oppgave 5

Ein bonde vil lage to like store, samanhengande rektangulære innhegningar med totalt 300 m gjerde. Finn dimensjonane som gir størst totalt areal.

✏️Eksempel 6: Optimal sylinder

Ein lukka sylindrisk boks skal ha volum $1$ liter ( $1000$ cm $^3$ ). Finn radius og høgd som gir minst mogleg overflate (materialbruk).

Løysing:

Lat $r$ vere radius og $h$ høgd. Volumkravet gir:
$\pi r^2 h = 1000 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1000}{\pi r^2}$

Overflata er:
$\begin{aligned} S(r) &= 2\pi r^2 + 2\pi r h \\ &= 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} \\ &= 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} \end{aligned}$

Definisjonsmengd: $r > 0$ .

$\begin{aligned} &S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \\ \Rightarrow {}&4\pi r^3 = 2000 \\ \Rightarrow {}&r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm} \end{aligned}$

$\displaystyle S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er eit minimum.

$\displaystyle h = \frac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}84$ cm.

Svar: Radius $r \approx 5{,}42$ cm og høgd $h \approx 10{,}84$ cm. Høgda er lik diameteren, $h = 2r$ .

For ein lukka sylinder med gitt volum er overflata minst når

h = 2r

(høgda er lik diameteren).

Dette kan visast generelt: med $V = \pi r^2 h$ får vi $\displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2}$ , og

$\begin{aligned} &S'(r) = 0 \\ \Rightarrow {}&r^3 = \frac{V}{2\pi} \\ \Rightarrow {}&h = \frac{V}{\pi r^2} = 2r \end{aligned}$

Brusboksar i verkelegheita avvik litt frå dette pga. produksjonskostnader (botn og lokk er dyrare enn sidene).

📝Oppgave 6

Eit rektangel er innskrive i ein halvsirkel med radius $r = 10$ . Botnlinja ligg langs diameteren. Finn det rektangelet som har størst areal.

✏️Eksempel 7: Økonomisk optimering

Eit firma produserer $x$ einingar per dag. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ (kroner) og salsprisen er $50$ kr per eining.

a) Finn fortenestefunksjonen.
b) Kor mange einingar gir størst forteneste?
c) Kva er den største forteneste?

Løysing:

a) Inntekt: $I(x) = 50x$ . Forteneste:
$\begin{aligned} F(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 50x - 0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 15x - 200 \\ &= -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 + 35x - 200 \end{aligned}$

b) $F'(x) = -0{,}03x^2 + 1{,}2x + 35 = 0$

$x = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{1{,}44 + 4{,}2}}{-0{,}06} = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06}$

$\begin{aligned} &x = \frac{-1{,}2 - \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06} \approx 59{,}6 \\ &\text{eller}\; x = \frac{-1{,}2 + \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06} \\ \approx {}&-19{,}6 \end{aligned}$

Berre $x \approx 59{,}6$ er aktuell. $F''(x) = -0{,}06x + 1{,}2$ og $F''(59{,}6) < 0$ , så dette er eit toppunkt. Talet på einingar er eit heilt tal:
$F(59) = 1899{,}81 \qquad F(60) = 1900$

Svar: b) $60$ einingar per dag gir størst forteneste.

c) $\begin{aligned} F(60) &= -0{,}01 \cdot 216\,000 + 0{,}6 \cdot 3600 \\ &\quad {} + 35 \cdot 60 - 200 \\ &= -2160 + 2160 + 2100 - 200 \\ &= 1900 \end{aligned}$

Svar: c) Den største fortenesta er $1900$ kr per dag.

📝Oppgave 7

Økonomisk optimering.

Eit firma har kostnadsfunksjonen $K(x) = 2x^2 + 100x + 5000$ og inntektsfunksjonen $I(x) = 500x - x^2$ . Finn produksjonen som gir størst forteneste.

Kva er grensekostnaden når $x = 67$ ? Kva er grenseinntekta?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Finn det punktet på parabelen $y = x^2$ som har kortast avstand til punktet $(3, 0)$ .

📝Oppgave 9

Ei kjegle skal innskrivast i ei kule med radius $R$ . Finn kjegla med størst volum.

Tips for optimeringsproblem:
- Teikn alltid ein figur -- det hjelper å forstå samanhengen mellom variablane
- Namngi variablane tydeleg og skriv ned alle vilkår
- Når målfunksjonen har to variable, bruk vilkåret til å eliminere ein variabel
- Sjekk at svaret er rimeleg -- får du eit fornuftig tal med rett eining?
- Hugs at

f'(x) = 0

kan gi både maks, min og terrassepunkt -- verifiser svaret!

Oppsummering

Ekstremalverdisetninga:
Kontinuerleg funksjon på lukka intervall har alltid globalt maks og min.

Metode:
1. Finn kritiske punkt ( $f'(x) = 0$ eller $f'$ eksisterer ikkje)
2. Rekn ut $f$ i kritiske punkt og endepunkt
3. Samanlikn verdiane

Kandidatpunkt:
- Stasjonære punkt
- Knekkpunkt
- Endepunkt

Optimeringsproblem:
1. Set opp funksjonen
2. Finn naturleg definisjonsområde
3. Bruk metoden over

Optimering i praksis:
- Geometriske problem: Bruk geometriske samanhengar (Pytagoras, formlar for areal/volum) til å setje opp målfunksjonen
- Økonomiske problem: Forteneste = inntekt $-$ kostnad, optimer ved $F'(x) = 0$
- Verifiser med dobbeltderiverten eller forteiknsskjema

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 9 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.