4.8 Globale ekstremalpunkter | Matematikk R1

Finne absolutte maksimums- og minimumsverdier på lukkede intervaller.

50 min

9 oppgaver

Globale ekstremalpunkterLukkede intervallerEkstremalverdisetningenOptimeringsproblemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.6Funksjonsdrøfting

Lokale vs. globale ekstremalpunkt

Lokalt ekstremalpunkt: Høgaste/lågaste verdi i eit lite område rundt punktet.

Globalt (absolutt) ekstremalpunkt: Høgaste/lågaste verdi i heile definisjonsområdet.

Viktig: Eit lokalt maksimum treng ikkje vere eit globalt maksimum!

Eksempel: For $f(x) = x^3 - 3x$ på $[-2, 3]$ :
- Lokalt maksimum i $x = -1$ : $f(-1) = 2$
- Lokalt minimum i $x = 1$ : $f(1) = -2$
- Men kva er det globale maksimumet?

Ekstremalverdisetninga

f

Metode for å finne globale ekstremalpunkt

f

✏️Eksempel 1: Polynom på lukka intervall

Finn globalt maksimum og minimum for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på $[-2, 2]$ .

Steg 1: Finn kritiske punkt

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)

f'(x) = 0

når

x = -1

eller

x = 1

Begge er innanfor $(-2, 2)$ ✓

Steg 2: Rekn ut funksjonsverdiar

$x$	$f(x) = x^3 - 3x + 1$
$-2$ (endepunkt)	$-8 + 6 + 1 = -1$
$-1$ (kritisk)	$-1 + 3 + 1 = 3$
$1$ (kritisk)	$1 - 3 + 1 = -1$
$2$ (endepunkt)	$8 - 6 + 1 = 3$

Steg 3: Samanlikn
- Globalt maksimum:

f(-1) = f(2) = 3

- Globalt minimum:

f(-2) = f(1) = -1

Svar: Globalt maks er 3 (i

x = -1

x = 2

), globalt min er

-1

x = -2

x = 1

✏️Eksempel 2: Optimeringsproblem

Ein bonde har 200 meter gjerde og vil lage ei rektangulær innhegning mot ei elv (treng ikkje gjerde langs elva). Kva er det største arealet han kan få?

Set opp problemet:
Lat

x

= lengd parallelt med elva,

y

= breidd.

Avgrensing: $x + 2y = 200$ (gjerde på tre sider)
Så $x = 200 - 2y$

Areal: $A = xy = (200 - 2y)y = 200y - 2y^2$

Kva er definisjonsområdet?
$y > 0$ og $x > 0$ , så $y < 100$
Definisjonsområde: $y \in [0, 100]$

Finn kritiske punkt:
$A'(y) = 200 - 4y = 0$
$y = 50$ m

Rekn ut funksjonsverdiar:

$y$	$A(y)$
$0$	$0$
$50$	$200(50) - 2(2500) = 5000$
$100$	$0$

Svar: Maksimalt areal er

5000 \text{ m}^2

når

y = 50

m og

x = 100

✏️Eksempel 3: Funksjon med ikkje-deriverbart punkt

Finn globale ekstremalpunkt for $f(x) = |x - 1| + 2x$ på $[-1, 3]$ .

Skriv om funksjonen:

f(x) = \begin{cases} -(x-1) + 2x = x + 1 & \text{viss } x < 1 \\ (x-1) + 2x = 3x - 1 & \text{viss } x \geq 1 \end{cases}

Kritiske punkt:
- For $x < 1$ : $f'(x) = 1 \neq 0$ (ingen stasjonære punkt)
- For $x > 1$ : $f'(x) = 3 \neq 0$ (ingen stasjonære punkt)
- I $x = 1$ : $f'(x)$ eksisterer ikkje (knekk)

Kandidatpunkt: $x = -1, 1, 3$

Rekn ut funksjonsverdiar:

$x$	$f(x)$
$-1$	$2 + (-2) = 0$
$1$	$0 + 2 = 2$
$3$	$2 + 6 = 8$

Svar: Globalt minimum er

0

x = -1

. Globalt maksimum er

8

x = 3

📝Oppgave 1

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = x^2 - 4x + 3

på

[0, 4]

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

på

[0, 4]

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}

på

[-2, 2]

📝Oppgave 2

Optimeringsproblem.

Ein open boks skal lagast av eit 12×12 cm ark ved å klippe like kvadrat frå hjørna og brette opp. Kva er det maksimale volumet?

Finn det punktet på kurva $y = \sqrt{x}$ som ligg nærmast punktet $(3, 0)$ .

Løs oppgaven Tren

Obs! Opne intervall:

På opne intervall $(a, b)$ treng ikkje globale ekstremalpunkt å eksistere!

Eksempel 1: $f(x) = x$ på $(0, 1)$ . Funksjonen kjem vilkårleg nær 0 og 1, men når aldri desse verdiane. Korkje globalt maksimum eller minimum eksisterer.

Eksempel 2: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ på $(0, \infty)$ . Funksjonen nærmar seg 0 når $x \to \infty$ , men når aldri 0. Han har heller ikkje noko globalt maksimum (han går mot $\infty$ når $x \to 0^+$ ).

Ekstremalverdisetninga krev at intervallet er lukka $[a, b]$ og at funksjonen er kontinuerleg på heile intervallet. Viss éi av desse vilkåra manglar, kan vi ikkje garantere at globale ekstremalpunkt finst.

Bruk andrederiverten for å klassifisere kritiske punkt:

Etter å ha funne kritiske punkt $c$ der $f'(c) = 0$ , kan du bruke andrederivert-testen:

- $f''(c) > 0$ → Lokalt minimum i $x = c$
- $f''(c) < 0$ → Lokalt maksimum i $x = c$
- $f''(c) = 0$ → Testen er inkonklusiv — du må sjekke forteiknsskjema for $f'(x)$

Hugs: Sjølv om du klassifiserer lokale ekstremalpunkt med $f''$ , må du framleis samanlikne med endepunktsverdiar for å avgjere om dei er globale!

✏️Eksempel 4: Praktisk optimering – sylindrisk boks

Ein sylindrisk boks (utan lokk) skal ha volum $500 \text{ cm}^3$ . Finn dimensjonane som minimerer materialforbruket (overflatearealet).

Set opp variablane:
Lat

r

= radius og

h

= høgd.

Overflateareal (botn + sideflate, utan lokk):
$A = \pi r^2 + 2\pi r h$

Volumvilkår:
$\pi r^2 h = 500 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{500}{\pi r^2}$

Set inn for $h$ :
$A(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$

Definisjonsområde: $r > 0$

Deriver og set lik null:
$A'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$
$2\pi r = \frac{1000}{r^2}$
$r^3 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$
$r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Kontroller med andrederiverten:
$A''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3}$
$A''(r) > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er eit minimum.

Finn høgda:
$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \cdot \left(\frac{500}{\pi}\right)^{2/3}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Svar: Minst materialforbruk når $r \approx 5{,}42$ cm og $h \approx 5{,}42$ cm. Boksen er like brei som han er høg!

📊Utforsk globale og lokale ekstremalpunkt

Dra i endepunkta for å sjå korleis globale ekstremalpunkt endrar seg.

📝Oppgave 3

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = e^{-x} \cdot x

på

[0, 5]

f(x) = x - 2\sin x

på

[0, 2\pi]

f(x) = \ln x - x

på

[0{,}1, \, 10]

📝Oppgave 4

Praktiske optimeringsproblem.

Ei bedrift sel $x$ einingar til pris $p = 200 - 2x$ kr. Kostnaden er $K(x) = 500 + 40x$ . Finn talet på einingar som gir størst forteneste.

Eit rektangulært akvarium (med open topp) skal ha volum 32 liter. Botnen er kvadratisk. Finn dimensjonane som minimerer glasforbruket (overflatearealet).

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Ekstremalverdisetninga:
Kontinuerleg funksjon på lukka intervall har alltid globalt maks og min.

Metode:
1. Finn kritiske punkt ( $f'(x) = 0$ eller $f'$ eksisterer ikkje)
2. Rekn ut $f$ i kritiske punkt og endepunkt
3. Samanlikn verdiane

Kandidatpunkt:
- Stasjonære punkt
- Knekkpunkt
- Endepunkt

Optimeringsproblem:
1. Set opp funksjonen
2. Finn naturleg definisjonsområde
3. Bruk metoden over

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.