1.4 Rasjonale uttrykk | Matematikk R1

Forenkling, addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av rasjonale uttrykk.

55 min

19 oppgaver

Rasjonale uttrykkForenklingFellesnemnarBrøkrekning med variablar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Polynomer og polynomdivisjon

Rasjonale uttrykk

Eit rasjonalt uttrykk er ein brøk der teljar og nemnar er polynom. Du kjenner allereie til vanleg brøkrekning med tal -- no skal vi utvide dette til algebraiske uttrykk.

Prinsippa er dei same: vi forkortar ved å dele på felles faktorar, og vi finn fellesnemnar når vi skal addere eller subtrahere. Skilnaden er at vi no må faktorisere polynom i staden for å finne primfaktorar av tal.

Rasjonalt uttrykk

\frac{P(x)}{Q(x)}

✏️Eksempel 1: Definisjonsmengd

Finn definisjonsmengda til uttrykka:
a) $\displaystyle \frac{x+3}{x-2}$
b) $\displaystyle \frac{x^2}{x^2-4}$
c) $\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$

Løysing:

a) Nemnaren er null når $x - 2 = 0$ , dvs. $x = 2$ . $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

Svar: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

b) $x^2 - 4 = (x-2)(x+2) = 0$ gir $x = 2$ eller $x = -2$ . $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Svar: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

c) $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ for alle reelle $x$ . $D = \mathbb{R}$

Svar: $D = \mathbb{R}$

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengda til dei rasjonale uttrykka.

\displaystyle \frac{5}{x+1}

\displaystyle \frac{x}{x^2 - 9}

\displaystyle \frac{x+2}{x^2 + 5x + 6}

Forkorting av rasjonale uttrykk

For å forkorte eit rasjonalt uttrykk faktoriserer vi teljar og nemnar, og deler deretter ut felles faktorar.

Framgangsmåte:
1. Faktoriser teljaren $P(x)$
2. Faktoriser nemnaren $Q(x)$
3. Del ut felles faktorar

Vi kan berre forkorte faktorar, aldri enkeltledd.

Vanleg feil ved forkorting

Vi kan ikkje forkorte enkeltledd i teljar og nemnar:

$\frac{x^2 + 1}{x} \neq x + 1 \quad \text{(FEIL!)}$

Vi kan berre forkorte når heile teljar og nemnar er faktorisert:

$\frac{x(x + 1)}{x} = x + 1 \quad \text{(for } x \neq 0\text{)}$

✏️Eksempel 2: Forkorting av rasjonale uttrykk

Forkort uttrykka:
a) $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$
b) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 4}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$ , for $x \neq -2$

Svar: $\displaystyle \frac{x-2}{x+2}$ , for $x \neq -2$

b) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 4} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{x-3}{x-2}$ , for $x \neq 2$

Svar: $\displaystyle \frac{x-3}{x-2}$ , for $x \neq 2$

📝Oppgave 2

Forkort dei rasjonale uttrykka.

\displaystyle \frac{6x^2}{3x}

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 1}

\displaystyle \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 5x + 6}

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Forkort dei rasjonale uttrykka.

\displaystyle \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}

\displaystyle \frac{x^3 - x}{x^2 - 1}

\displaystyle \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}

Løs oppgaven

📜Multiplikasjon og divisjon av rasjonale uttrykk

Multiplikasjon:

\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)}

Divisjon: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \div \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)}$

Tips: Faktoriser og forkort før du gangar ut.

✏️Eksempel 3: Multiplikasjon

Rekn ut og forkort: $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 3} \cdot \frac{x^2 + 3x}{x^2 + x}$

Løysing:

$\frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x(x+3)}{x(x+1)} = x - 1$

for $x \neq 0, -1, -3$ .

Svar: $x - 1$ , for $x \neq 0$ , $x \neq -1$ og $x \neq -3$

📝Oppgave 4

Rekn ut og forkort.

\displaystyle \frac{x+2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x+2}

\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 2}

\displaystyle \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 9} \cdot \frac{x - 3}{x + 1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Rekn ut og forkort.

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 3} \div \frac{x - 1}{x^2 - 9}

\displaystyle \frac{4x^2 - 1}{2x + 3} \div \frac{2x - 1}{4x + 6}

Løs oppgaven

Addisjon og subtraksjon

For å addere eller subtrahere rasjonale uttrykk treng vi felles nemnar.

Framgangsmåte:
1. Faktoriser alle nemnarane
2. Finn minste felles nemnar
3. Utvid kvar brøk
4. Adder eller subtraher teljarane
5. Forkort om mogleg

✏️Eksempel 4: Addisjon med ulik nemnar

Rekn ut: $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}$

Løysing:

Fellesnemnaren er $(x-1)(x+2)$ :

$\frac{2(x+2) + 3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{5x + 1}{(x-1)(x+2)}$

Svar: $\displaystyle \frac{5x + 1}{(x-1)(x+2)}$

✏️Eksempel 5: Subtraksjon med faktorisering

Rekn ut: $\displaystyle \frac{x}{x^2 - 4} - \frac{1}{x + 2}$

Løysing:

Faktoriser: $\displaystyle \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x+2}$ . Fellesnemnar $(x-2)(x+2)$ :

$\frac{x - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{(x-2)(x+2)}$

Svar: $\displaystyle \frac{2}{(x-2)(x+2)}$

📝Oppgave 6

Rekn ut og forkort.

\displaystyle \frac{3x}{x-2} + \frac{4}{x-2}

\displaystyle \frac{x+1}{x} - \frac{1}{x}

\displaystyle \frac{5}{x+3} + \frac{2}{x-1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Rekn ut og forkort.

\displaystyle \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}

\displaystyle \frac{x}{x+2} + \frac{x}{x-2}

\displaystyle \frac{2}{x^2-1} + \frac{1}{x+1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Rekn ut og forkort.

\displaystyle \frac{x}{x-3} - \frac{3}{x-3} + 1

\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 6: Samansett brøk

Forenkle: $\displaystyle \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

Løysing:

Gang teljar og nemnar med $xy$ : $\displaystyle \frac{y + x}{y - x} = \frac{x+y}{y-x}$

Svar: $\displaystyle \frac{x+y}{y-x}$

📝Oppgave 9

Forenkle dei samansette brøkane.

\displaystyle \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}

\displaystyle \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 7: Likning med rasjonale uttrykk

Løys: $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{x^2-1}$

Løysing:

Fellesnemnar $(x-1)(x+1)$ . Gang begge sider:

$\begin{aligned} &2(x+1) + 3(x-1) = 5 \\ \Rightarrow {}&5x - 1 = 5 \\ \Rightarrow {}&x = \frac{6}{5} \end{aligned}$

Sjekk: gyldig (ingen null i nemnar).

Svar: $\displaystyle x = \frac{6}{5}$

📝Oppgave 10

Løys likningane.

\displaystyle \frac{3}{x} = \frac{1}{x-2}

\displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{2}{x-1}

\displaystyle \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2-4}

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løys likningane.

\displaystyle \frac{x+1}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}

\displaystyle \frac{2x}{x^2+x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Rekn ut og forkort.

\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 2}

\displaystyle \frac{x}{x^2-x-2} + \frac{1}{x^2-4}

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Vis at $\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-4)}$ kan skrivast som $\displaystyle \frac{A}{(x-1)(x-4)}$ . Finn $A$ .

📝Oppgave 14

Eit røyr fyller eit basseng på $a$ timar. Eit anna røyr fyller det på $b$ timar. a) Skriv opp eit uttrykk for delen som vert fylt per time når begge røyra er opne. b) Viss $a = 3$ og $b = 6$ , kor lang tid tek det?

Oppsummering

Rasjonalt uttrykk: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynom.

Definisjonsmengd: Alle $x$ der $Q(x) \neq 0$ .

Forkorting: Faktoriser teljar og nemnar, del ut felles faktorar.

Multiplikasjon: $\displaystyle \frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}$ -- faktoriser og forkort først.

Divisjon: $\displaystyle \frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R}$ .

Addisjon/subtraksjon: Finn fellesnemnar, utvid, adder/subtraher teljarane.

Likningar: Gang med fellesnemnar. Sjekk alltid at løysinga ikkje gir null i nemnaren.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.