1.4 Rasjonale uttrykk

Fysikkens favorittbrøker

Koble to motstander $R_1$ og $R_2$ i parallell i en strømkrets, og den samlede motstanden blir

$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

En brøk der både teller og nevner er algebraiske uttrykk. Samme form dukker opp i optikken, der linseformelen $\displaystyle \frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ knytter brennvidde til avstander -- løser du den for $f$, får du igjen en brøk av polynomer. Kjemiens reaksjonsrater, økonomiens gjennomsnittskostnader, harmonisk gjennomsnitt i statistikk: naturvitenskapen snakker flytende «brøk med polynomer».

Slike uttrykk kalles rasjonale uttrykk -- ordet kommer fra ratio, forhold, akkurat som de rasjonale tallene er forholdstall. Og her er kapittelets gode nyhet: alt du kan om vanlig brøkregning gjelder fortsatt. Du forkorter ved å dele ut felles faktorer. Du finner fellesnevner før du adderer. Du dividerer ved å gange med den omvendte brøken. Det eneste nye er at faktorene ikke lenger er primtall som $2$ og $3$, men polynomfaktorer som $(x-2)$ og $(x+3)$ -- og dem lærte du å finne i kapittel 1.1.

Én ting krever imidlertid skjerpet oppmerksomhet: en nevner kan bli null. Brøken $\displaystyle \frac{x+3}{x-2}$ er fullt frisk for alle $x$ -- unntatt $x = 2$, der den bryter sammen. Derfor starter enhver seriøs behandling av et rasjonalt uttrykk med spørsmålet: for hvilke $x$ gir dette mening? Det er definisjonsmengden, og det er der vi begynner.

Definisjonsmengden -- hvor uttrykket lever

Et rasjonalt uttrykk har formen $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynomer. Definisjonsmengden er alle $x$-verdier der nevneren ikke er null:

$$D = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$$

Å finne den er en nullpunktsjakt i nevneren -- med verktøyene fra kapittel 1.1. For $\displaystyle \frac{x+3}{x-2}$ er nevneren null bare når $x = 2$, så $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. For $\displaystyle \frac{x^2}{x^2-4}$ faktoriserer vi nevneren med konjugatsetningen: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, som er null for $x = \pm 2$, så begge må utelukkes. Og noen ganger er det ingenting å utelukke: i $\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$ er nevneren alltid minst $1$, så $D = \mathbb{R}$.

Hvorfor er dette så viktig? Fordi resten av kapittelet handler om å omforme uttrykk -- forkorte, utvide, slå sammen -- og to uttrykk er bare like der begge er definert. Når vi senere forkorter $\displaystyle \frac{x(x+1)}{x}$ til $x + 1$, gjelder likheten kun for $x \neq 0$. Det opprinnelige uttrykket har et «hull» i $x = 0$ som det forkortede ikke har, og det hullet må vi bære med oss i notasjonen.

Tenk på definisjonsmengden som uttrykkets pass: før du tar et rasjonalt uttrykk med på reise gjennom en beregning, sjekker du hvor det har lov til å være. I ligninger blir dette helt avgjørende -- en løsning som gjør en nevner til null, er ingen løsning.

Forkorting, multiplikasjon og divisjon

Hvordan forkorter du $\displaystyle \frac{12}{18}$? Du faktoriserer: $\displaystyle \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3}$, og stryker felles faktorer til $\displaystyle \frac{2}{3}$. Rasjonale uttrykk forkortes på nøyaktig samme måte: faktoriser teller og nevner, og del ut felles faktorer.

$$\frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}, \quad x \neq -2$$

Her gjorde konjugatsetningen og første kvadratsetning jobben. Tilsvarende blir $\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{x-3}{x-2}$ for $x \neq 2$.

Og nå, den vanligste feilen i hele kapittelet: du kan bare forkorte faktorer, aldri enkeltledd. Fristelsen til å stryke $x$-ene i $\displaystyle \frac{x^2+1}{x}$ og få $x + 1$ er stor -- og helt gal. Telleren $x^2 + 1$ er en sum, ikke et produkt med $x$ som faktor. Test selv med $x = 1$: $\displaystyle \frac{1+1}{1} = 2$, mens $x + 1 = 2$... prøv heller $x = 2$: $\displaystyle \frac{4+1}{2} = 2{,}5$, men $x + 1 = 3$. Ulike! Derimot er $\displaystyle \frac{x(x+1)}{x} = x + 1$ helt riktig for $x \neq 0$, fordi $x$ der står som faktor.

Multiplikasjon er rett fram: teller ganger teller, nevner ganger nevner. Men ikke gang ut i blinde -- faktoriser og forkort først:

$$\frac{x^2-1}{x+3} \cdot \frac{x^2+3x}{x^2+x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x(x+3)}{x(x+1)} = x - 1$$

for $x \neq 0, -1, -3$. Alt kollapset fordi faktorene fikk møte hverandre. Divisjon følger brøkregelen du kan fra før: å dele på en brøk er å gange med den omvendte, $\displaystyle \frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R}$.

Fellesnevner: addisjon, subtraksjon og ligninger

For å legge sammen $\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$ trenger du fellesnevneren $12$. For algebraiske brøker er oppskriften identisk: faktoriser nevnerne, finn minste felles nevner, utvid hver brøk, og slå sammen tellerne.

Ta $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}$. Nevnerne har ingen felles faktorer, så fellesnevneren er produktet $(x-1)(x+2)$:

$$\frac{2(x+2) + 3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$$

Faktoriseringen lønner seg når nevnerne overlapper. I $\displaystyle \frac{x}{x^2-4} - \frac{1}{x+2}$ avslører konjugatsetningen at $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ -- den første nevneren inneholder allerede den andre. Fellesnevneren er bare $(x-2)(x+2)$, og vi får $\displaystyle \frac{x - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{(x-2)(x+2)}$. Husk parentesen rundt det du trekker fra: minustegnet rammer hele telleren.

Sammensatte brøker -- brøker i brøken -- ryddes med ett grep: gang teller og nevner med fellesnevneren til småbrøkene. For $\displaystyle \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$ ganger vi oppe og nede med $xy$ og får $\displaystyle \frac{y+x}{y-x}$. Elegant, ikke sant?

Til slutt ligninger med rasjonale uttrykk, som $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{x^2-1}$. Vi ganger begge sider med fellesnevneren $(x-1)(x+1)$, og alle brøkene forsvinner: $2(x+1) + 3(x-1) = 5$, altså $5x - 1 = 5$ og $\displaystyle x = \frac{6}{5}$. Men nå melder definisjonsmengden seg: hadde svaret blitt $x = 1$ eller $x = -1$, måtte vi forkastet det, for da er den opprinnelige ligningen full av nuller i nevnerne. Her er $\displaystyle \frac{6}{5}$ trygt -- løsningen godkjennes.

Fortellingen i et nøtteskall

Parallellkoblede motstander og linseformler viste oss at naturvitenskapen er full av rasjonale uttrykk $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ -- brøker av polynomer. Og hele kapittelet hvilte på én beroligende sannhet: reglene er de samme som for tallbrøker, bare med polynomfaktorer i hovedrollene.

Først kommer alltid definisjonsmengden: alle $x$ der nevneren ikke er null. Den finner du ved å faktorisere nevneren og lokalisere nullpunktene -- og den følger uttrykket gjennom alle omforminger.

Forkorting er faktorisering pluss utdeling av felles faktorer, og kapittelets viktigste advarsel lyder: bare faktorer kan forkortes, aldri enkeltledd. $\displaystyle \frac{x^2+1}{x}$ lar seg ikke forenkle; $\displaystyle \frac{x(x+1)}{x}$ blir $x+1$.

Multiplikasjon er teller ganger teller og nevner ganger nevner -- men faktoriser og forkort før du ganger ut, så kollapser uttrykkene pent. Divisjon er multiplikasjon med den omvendte brøken. Addisjon og subtraksjon krever fellesnevner, som du finner ved å faktorisere nevnerne; husk parentes når du subtraherer en hel teller. Sammensatte brøker ryddes ved å gange oppe og nede med småbrøkenes fellesnevner.

I ligninger ganger vi bort alle nevnerne med fellesnevneren -- men da kan falske løsninger snike seg inn, så hver kandidat sjekkes mot definisjonsmengden til den opprinnelige ligningen.

Med polynomfaktorisering fra 1.1 og brøkhåndverket herfra har du algebraen som trengs når de rasjonale funksjonene med asymptoter og grenseverdier venter i kapittel 2 og 3.