1.5 Bevis i algebra | Matematikk R1

Algebraiske bevismetoder, direkte bevis og bruk av algebraiske identiteter.

50 min

21 oppgaver

Algebraiske bevisDirekte bevisAlgebraiske identiteterDelelighet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Polynomer og polynomdivisjon

Ulikheter og absoluttverdier

En ulikhet er et utsagn om at et uttrykk er større enn, mindre enn, eller ulikt et annet. I motsetning til likninger, der løsningen ofte er enkeltpunkter, er løsningen på en ulikhet vanligvis et intervall eller en forening av intervaller.

Intervallnotasjon

\langle a, b \rangle

Notasjon	Mengde	Beskrivelse
$\langle a, b \rangle$	$\{x \mid a < x < b\}$	Åpent intervall
$[a, b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	Lukket intervall
$[a, b \rangle$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	Halvåpent
$\langle a, \rightarrow \rangle$	$\{x \mid x > a\}$	Alt større enn $a$
$\langle \leftarrow, b]$	$\{x \mid x \leq b\}$	Alt opp til og med $b$

📜Regneregler for ulikheter

For alle reelle tall $a$ , $b$ og $c$ :

1. Addisjon: Hvis $a < b$ , så er $a + c < b + c$
2. Positivt tall: Hvis $a < b$ og $c > 0$ , så er $ac < bc$
3. Negativt tall: Hvis $a < b$ og $c < 0$ , så er $ac > bc$ (tegnet snur)

✏️Eksempel 1: Lineære ulikheter

Løs:
a) $3x - 7 < 2x + 5$
b) $-2x + 3 \geq 7$

Løsning:

a) $3x - 2x < 5 + 7$

$x < 12$

Svar: $\langle \leftarrow, 12 \rangle$ .

b) $-2x \geq 7 - 3$

$-2x \geq 4$

Deler med $-2$ og snur ulikhetstegnet: $x \leq -2$

Svar: $\langle \leftarrow, -2]$ .

📝Oppgave 1

Løs ulikhetene og oppgi svaret med intervallnotasjon.

2x + 1 > 5

4 - 3x \leq 10

5x - 2 < 3x + 8

-x + 4 \geq 2x - 5

✏️Eksempel 2: Dobbel ulikhet

Løs $-1 \leq 2x - 3 < 5$ .

Løsning:

Legg til $3$ : $2 \leq 2x < 8$ . Del med $2$ : $1 \leq x < 4$

Svar: $[1, 4 \rangle$ .

📝Oppgave 2

Løs de doble ulikhetene.

0 < 3x + 6 \leq 12

-4 \leq 1 - x < 3

Kvadratiske ulikheter

For å løse kvadratiske ulikheter bruker vi fortegnslinje. Metoden bygger på at et produkt av faktorer skifter fortegn ved nullpunktene.

Fremgangsmåte:
1. Flytt alt over på en side: $f(x) > 0$
2. Faktoriser $f(x)$
3. Finn nullpunktene
4. Tegn fortegnslinje
5. Les av løsningen

✏️Eksempel 3: Kvadratisk ulikhet

Løs $x^2 - x - 6 > 0$ .

Løsning:

Faktoriser: $(x-3)(x+2) > 0$ . Nullpunkter: $x = -2$ og $x = 3$ .

Fortegnslinje:

$x < -2$	$-2 < x < 3$	$x > 3$
$(x+2)$	$-$	$+$	$+$
$(x-3)$	$-$	$-$	$+$
Produkt	$+$	$-$	$+$

Svar:

x \in \langle \leftarrow, -2 \rangle \cup \langle 3, \rightarrow \rangle

Fortegnsskjema for (x+2)(x-3)

x-linje

-2

3

(x+2)

(x-3)

(x+2)(x-3)

📝Oppgave 3

Løs ulikhetene ved hjelp av fortegnslinje.

x^2 - 4 \leq 0

x^2 + x - 12 > 0

2x^2 - 5x - 3 \geq 0

📝Oppgave 4

Løs ulikhetene.

x^2 < 9

x^2 \geq 2x + 3

x^2 + 2x + 1 > 0

Viktig ved brøk-ulikheter

Aldri gang begge sider med et uttrykk som kan være negativt. Bruk alltid fortegnslinje i stedet.

✏️Eksempel 4: Rasjonell ulikhet

Løs $\displaystyle \frac{x-1}{x+3} \geq 0$ .

Løsning:

Telleren er null for $x = 1$ . Nevneren er null for $x = -3$ , der er brøken ikke definert.

Fortegnslinje:

$x < -3$	$-3 < x < 1$	$x > 1$
$(x-1)$	$-$	$-$	$+$
$(x+3)$	$-$	$+$	$+$
$\displaystyle \frac{x-1}{x+3}$	$+$	$-$	$+$

x = 1

er med, fordi brøken er

0

der og ulikheten er

\geq

x = -3

er ikke med, fordi brøken ikke er definert der.
Svar:

x \in \langle \leftarrow, -3 \rangle \cup [1, \rightarrow \rangle

📝Oppgave 5

Løs ulikhetene.

\displaystyle \frac{x+2}{x-1} > 0

\displaystyle \frac{x}{x+4} \leq 0

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 2} < 0

Absoluttverdi

a

1. $|a| \geq 0$ og $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
2. $|-a| = |a|$
3. $|ab| = |a| \cdot |b|$
4. $\displaystyle \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ for $b \neq 0$
5. Trekantulikheten: $|a + b| \leq |a| + |b|$

✏️Eksempel 5: Likning med absoluttverdi

Løs $|2x - 3| = 7$ .

Løsning:

$2x - 3 = 7$ gir $x = 5$ . $2x - 3 = -7$ gir $x = -2$ .

Svar: $x = 5$ eller $x = -2$

📝Oppgave 6

Løs likningene.

|x| = 4

|x + 1| = 3

|3x - 6| = 0

|x - 5| = -2

Løs oppgaven

📜Ulikheter med absoluttverdi

For $c > 0$ :

Innenfor: $|f(x)| < c \;\Leftrightarrow\; -c < f(x) < c$

Utenfor: $|f(x)| > c \;\Leftrightarrow\; f(x) < -c$ eller $f(x) > c$

Geometrisk: $|x - a| < c$ betyr at avstanden fra $x$ til $a$ er mindre enn $c$ .

✏️Eksempel 6: Ulikheter med absoluttverdi

Løs:
a) $|x - 2| < 5$
b) $|2x + 1| \geq 3$

Løsning:

a) $-5 < x - 2 < 5$

$-3 < x < 7$

Svar: $\langle -3, 7 \rangle$ .

b) $2x + 1 \leq -3$ eller $2x + 1 \geq 3$

$2x \leq -4$ eller $2x \geq 2$

$x \leq -2$ eller $x \geq 1$

Svar: $\langle \leftarrow, -2] \cup [1, \rightarrow \rangle$ .

📝Oppgave 7

Løs ulikhetene.

|x| \leq 3

|x - 4| > 2

|3x + 2| \leq 8

|1 - 2x| > 5

📝Oppgave 8

Løs likningene med absoluttverdi.

|x - 1| = |x + 3|

|2x - 1| = x + 2

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs ulikhetene.

\displaystyle \frac{x+1}{x-2} \geq 1

\displaystyle \frac{x^2-4}{x+1} \leq 0

📝Oppgave 10

Løs ulikhetene.

x^3 - 4x > 0

|x^2 - 1| < 3

📝Oppgave 11

Skriv mengdene med intervallnotasjon.

\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -1\}

\{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x \leq 5\}

\{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \text{ eller } x > 7\}

📝Oppgave 12

Skriv ulikhetene som absoluttverdier.

-5 < x < 5

1 < x < 7

x < -3

eller

x > 3

📝Oppgave 13

Vis trekantulikheten $|a + b| \leq |a| + |b|$ for alle reelle tall $a$ og $b$ .

📝Oppgave 14

Et rektangels lengde er $(10 \pm 0{,}2)$ cm og bredde er $(5 \pm 0{,}1)$ cm. a) Skriv usikkerheten som absoluttverdi. b) Finn minste og største mulige areal.

📝Oppgave 15

Løs $|x - 3| + |x + 1| \leq 8$ .

📝Oppgave 16

For hvilke verdier av $x$ er uttrykket $\displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}$ definert og positivt?

Oppsummering

Lineære ulikheter: Løses som likninger, men snu tegnet ved multiplikasjon/divisjon med negativt tall.

Kvadratiske ulikheter: Faktoriser og bruk fortegnslinje.

Rasjonale ulikheter: Flytt alt over på en side, bruk fortegnslinje. Aldri gang med nevneren.

Absoluttverdi: $|a|$ er avstanden fra $a$ til $0$ .
- $|f(x)| < c \Leftrightarrow -c < f(x) < c$
- $|f(x)| > c \Leftrightarrow f(x) < -c$ eller $f(x) > c$

Intervallnotasjon: Vinkelparentes for $<$ / $>$ , hakeparentes for $\leq$ / $\geq$ . Mot $\leftarrow$ og $\rightarrow$ alltid vinkelparentes.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.