2.1 Funksjonstyper og egenskaper | Matematikk R1

Ulike funksjonstyper, definisjonsmengde og verdimengde.

50 min

10 oppgaver

PolynomfunksjonerRasjonale funksjonerEksponentialfunksjonerDefinisjonsmengde

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.2Omvendte funksjoner 2.3Sammensatte funksjoner

Funksjonstyper

I R1 arbeider vi med ulike typer funksjoner. Det er viktig å kunne gjenkjenne dem og forstå deres egenskaper.

Viktige funksjonstyper

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

✏️Eksempel 1: Identifisere funksjonstyper

Klassifiser funksjonene:

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1$
b) $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 3}$
c) $h(x) = 2 \cdot 3^x$
d) $k(x) = \sqrt{x}$

Løsning:

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1$ er en polynomfunksjon av grad 4.

Svar: polynomfunksjon

b) $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 3}$ er en rasjonal funksjon (brøk av polynomer).

Svar: rasjonal funksjon

c) $h(x) = 2 \cdot 3^x$ er en eksponentialfunksjon med grunntall 3.

Svar: eksponentialfunksjon

d) $k(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ er en potensfunksjon med eksponent $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

Svar: potensfunksjon

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden $D_f$ er mengden av alle $x$ -verdier der funksjonen er definert.

Verdimengden $V_f$ er mengden av alle $y$ -verdier funksjonen kan anta.

📜Regler for definisjonsmengde

Begrensninger på definisjonsmengden:

1. Divisjon med null: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ er udefinert når $Q(x) = 0$

2. Kvadratrot av negativt tall: $\sqrt{f(x)}$ krever $f(x) \geq 0$

3. Logaritme av ikke-positivt tall: $\ln f(x)$ krever $f(x) > 0$

✏️Eksempel 2: Finne definisjonsmengde

Finn definisjonsmengden til:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x - 2}$
b) $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$
c) $h(x) = \ln(x - 1)$
d) $\displaystyle k(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$

Løsning:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x - 2}$

Nevneren kan ikke være null: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ eller $D_f = \langle \leftarrow, 2 \rangle \cup \langle 2, \rightarrow \rangle$

Svar: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

b) $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$

Må ha: $4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$

$D_g = [-2, 2]$

Svar: $D_g = [-2, 2]$

c) $h(x) = \ln(x - 1)$

Må ha: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

$D_h = \langle 1, \rightarrow \rangle$

Svar: $D_h = \langle 1, \rightarrow \rangle$

d) $\displaystyle k(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$

To krav: $x \geq 0$ og $x \neq 4$

$D_k = [0, 4\rangle \cup \langle 4, \rightarrow \rangle$

Svar: $D_k = [0, 4\rangle \cup \langle 4, \rightarrow \rangle$

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengden til funksjonene.

\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^2 - 9}

g(x) = \sqrt{x - 3}

h(x) = \ln(2x + 4)

\displaystyle k(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}

m(x) = \sqrt{x} + \ln x

✏️Eksempel 3: Finne verdimengde

Finn verdimengden til:

a) $f(x) = x^2$
b) $g(x) = e^x$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{x}$ for $x > 0$

Løsning:

a) $f(x) = x^2$

Kvadratet er alltid $\geq 0$ , og kan bli vilkårlig stort.

$V_f = [0, \rightarrow \rangle$

Svar: $V_f = [0, \rightarrow \rangle$

b) $g(x) = e^x$

Eksponentialfunksjonen er alltid positiv og kan bli vilkårlig stor og vilkårlig nær 0, men aldri 0.

$V_g = \langle 0, \rightarrow \rangle$

Svar: $V_g = \langle 0, \rightarrow \rangle$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{x}$ for $x > 0$

Når $x \to 0^+$ , går $h(x) \to \infty$ .
Når $x \to \infty$ , går $h(x) \to 0^+$ .

$V_h = \langle 0, \rightarrow \rangle$

Svar: $V_h = \langle 0, \rightarrow \rangle$

📝Oppgave 2

Finn verdimengden til funksjonene.

f(x) = x^2 + 1

g(x) = -x^2 + 4

h(x) = 2^x - 1

k(x) = |x|

Forskyvning og strekking av grafer

Fra grafen til en kjent funksjon $f$ får vi grafene til mange nye funksjoner ved å forskyve og strekke.

Se på $g(x) = f(x - a)$ . Funksjonsverdien $f(x_0)$ dukker opp i $g$ når $x - a = x_0$ , altså når $x = x_0 + a$ . Punktet $(x_0, f(x_0))$ på grafen til $f$ flyttes dermed til $(x_0 + a, f(x_0))$ på grafen til $g$ : $a$ enheter mot høyre.

📜Forskyvning og strekking

- $g(x) = f(x - a)$ : grafen til $f$ forskyves $a$ enheter mot høyre (mot venstre når $a < 0$ ).
- $g(x) = f(x) + b$ : grafen til $f$ forskyves $b$ enheter opp (ned når $b < 0$ ).
- $g(x) = k \cdot f(x)$ med $k > 0$ : alle $y$ -verdier ganges med $k$ , og grafen strekkes loddrett med faktor $k$ .
- $g(x) = -f(x)$ : grafen speiles om $x$ -aksen.

✏️Eksempel 4: Forskyvning av

\ln x

La $g(x) = \ln(x - 2) + 1$ .

a) Forklar hvordan grafen til $g$ kommer fra grafen til $f(x) = \ln x$ .

b) Finn definisjonsmengden og den loddrette asymptoten til $g$ .

c) Finn nullpunktet til $g$ .

g(x) = f(x - 2) + 1

. Grafen til

\ln x

forskyves

2

enheter mot høyre og

1

enhet opp. Punktet

(1, 0)

på grafen til

f

flyttes til

(3, 1)

Svar: $2$ mot høyre og $1$ opp.

$x - 2 > 0$
$x > 2$

Grafen til $\ln x$ har loddrett asymptote $x = 0$ , som flyttes $2$ mot høyre.

Svar: $D_g = \langle 2, \rightarrow \rangle$ , loddrett asymptote $x = 2$ .

$\ln(x - 2) + 1 = 0$
$\ln(x - 2) = -1$
$x - 2 = e^{-1}$
$x = 2 + e^{-1} \approx 2{,}37$

Svar: $x = 2 + e^{-1} \approx 2{,}37$

📝Oppgave 3

Grafen til $f(x) = x^2$ skal forskyves og strekkes.

Grafen forskyves $3$ enheter mot høyre og $2$ enheter ned. Skriv opp funksjonsuttrykket $g(x)$ for den nye grafen.

Finn bunnpunktet på grafen til $g$ .

Grafen til $f$ strekkes i stedet loddrett med faktor $3$ og forskyves $1$ enhet opp. Skriv opp funksjonsuttrykket $h(x)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

La $g(x) = e^{x + 1} - 3$ .

Forklar hvordan grafen til $g$ kommer fra grafen til $f(x) = e^x$ .

Finn den vannrette asymptoten og verdimengden til $g$ .

Finn nullpunktet til $g$ eksakt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Punktet $(2, 5)$ ligger på grafen til en funksjon $f$ . Finn et punkt som ligger på grafen til funksjonen.

g(x) = f(x - 4)

h(x) = 3f(x) + 1

k(x) = -f(x + 1)

Symmetri: Like og odde funksjoner

En funksjon kan ha spesiell symmetri som gjør det enklere å forstå og tegne grafen.

Like og odde funksjoner

f(-x) = f(x)

✏️Eksempel 5: Avgjøre symmetri

Avgjør om funksjonene er like, odde eller ingen av delene:

a) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$
b) $g(x) = x^3 - x$
c) $h(x) = x^2 + x$

Løsning:

a) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$

$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$

Like funksjon (symmetrisk om $y$ -aksen)

Svar: $f$ er en like funksjon.

b) $g(x) = x^3 - x$

$g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$

Odde funksjon (punktsymmetrisk om origo)

Svar: $g$ er en odde funksjon.

c) $h(x) = x^2 + x$

$h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$

$h(-x) \neq h(x)$ og $h(-x) \neq -h(x)$

Verken like eller odde

Svar: $h$ er verken like eller odde.

Gjør dette i GeoGebra

Like og odde funksjoner

Sammenlign en like funksjon (

x^2

) og en odde funksjon (

x^3

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
g(x) = x^3

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 6

Avgjør om funksjonene er like, odde eller ingen av delene.

f(x) = x^6 + x^2

g(x) = x^5 - 2x^3

h(x) = e^x

\displaystyle k(x) = \frac{x}{x^2 + 1}

m(x) = x^2 \cdot e^x

Nullpunkter og fortegn

Nullpunkter er $x$ -verdiene der $f(x) = 0$ . Disse punktene deler $x$ -aksen i intervaller der funksjonen har konstant fortegn.

✏️Eksempel 6: Nullpunkter og fortegnsanalyse

Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - 4x$ og bestem fortegnet til $f(x)$ på hvert intervall.

Løsning:

Nullpunkter:
$f(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) = 0$
$x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2$

Fortegnsanalyse:
Vi tester ett punkt i hvert intervall:

Intervall	Testpunkt	Fortegn av $f(x)$
$x < -2$	$x = -3$	$(-)(-)(-) = -$
$-2 < x < 0$	$x = -1$	$(-)(-)(+) = +$
$0 < x < 2$	$x = 1$	$(+)(-)(+) = -$
$x > 2$	$x = 3$	$(+)(+)(+) = +$

Fortegnslinje:

\begin{array}{c|ccccccc} x & & -2 & & 0 & & 2 & \\ \hline f(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

Svar: Nullpunktene er

x = -2

x = 0

x = 2

f(x) < 0

for

x < -2

0 < x < 2

, og

f(x) > 0

for

-2 < x < 0

x > 2

📝Oppgave 7

Finn nullpunktene og lag fortegnsskjema.

f(x) = x^2 - 4x + 3

g(x) = (x-1)(x+2)(x-3)

\displaystyle h(x) = \frac{x-2}{x+1}

📝Oppgave 8

Sammensatte oppgaver om funksjonsegenskaper.

Finn $D_f$ og $V_f$ for $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ .

Vis at $\displaystyle f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ er en odde funksjon.

For hvilke verdier av $k$ er $f(x) = x^4 + kx^3 + 4$ en like funksjon?

Løs oppgaven

Påstander om funksjoner — sann eller usann

På eksamen skal du ofte avgjøre om en påstand om funksjoner er sann eller usann. Et svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

- En sann påstand begrunnes generelt, med et argument som gjelder for alle funksjonene påstanden handler om.
- En usann påstand motbevises med ett moteksempel: én konkret funksjon der påstanden ikke holder. Vis med regning at den ikke holder.

Svaret skrives slik: først «sann» eller «usann», så begrunnelsen eller moteksempelet, og til slutt konklusjonen.

✏️Eksempel 7: Moteksempel med et hull

Vurder påstanden: «Alle funksjoner $f(x) = \dfrac{x^2 + bx + c}{x - 1}$ har den loddrette asymptoten $x = 1$ .»

Påstanden er usann.

Moteksempel: $b = 0$ og $c = -1$ gir

$\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2 - 1}{x - 1} \\ &= \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad \text{for } x \neq 1 \end{aligned}$

Når $x$ nærmer seg $1$ , nærmer $f(x)$ seg $2$ . Funksjonsverdiene vokser ikke over alle grenser, så $x = 1$ er ikke en asymptote. Grafen er linjen $y = x + 1$ med et hull i $(1, 2)$ .

For $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ er telleren $2 \neq 0$ når $x = 1$ , og der er $x = 1$ en loddrett asymptote.

Svar: Usann. Telleren avgjør: er telleren også null i $x = 1$ , kan grafen ha et hull i stedet for en asymptote.

✏️Eksempel 8: Vannrett tangent uten topp- eller bunnpunkt

Frampek: Eksemplet bruker den deriverte $f'(x)$ , som innføres i kapittel 4. Kom tilbake til det når du har lært derivasjonsreglene der.

Vurder påstanden: «Hvis $f'(a) = 0$ , har $f$ et topp- eller bunnpunkt i $x = a$ .»

Påstanden er usann.

Moteksempel: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x$ .

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x - 2)^2$
$f'(2) = 0$

$f'(x) > 0$ for alle $x \neq 2$ , så $f$ er voksende på begge sider av $x = 2$ :

$f(1) = 7 < f(2) = 8 < f(3) = 9$

Grafen har vannrett tangent i $(2, 8)$ , men ikke topp- eller bunnpunkt der.

Svar: Usann. $f'(a) = 0$ er ikke nok; $f'$ må skifte fortegn i $x = a$ .

📝Oppgave 9

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne. Begrunn svaret.

«Hvis $f(a) = f(b)$ , så er $a = b$ .»

«Summen av to odde funksjoner er en odde funksjon.»

«Produktet av to odde funksjoner er en odde funksjon.»

📝Oppgave 10

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne. Begrunn svaret.

«Hvis $0 < a < b$ , så er $\ln a < \ln b$ .»

«Alle linjer $y = ax + b$ skjærer grafen til $f(x) = e^x$ .»

«Alle funksjoner $f(x) = \dfrac{x^2 + bx + c}{x - 2}$ har den loddrette asymptoten $x = 2$ .»

📝Oppgave 11

Bruk grafen til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x$ i eksempel 8.

Les av grafen og finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 1$ til $x = 3$ .

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 0$ til $x = 4$ .

Hva er den momentane vekstfarten i $x = 2$ ?

Vurder påstanden: «Hvis den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 1$ til $x = 3$ er positiv, er funksjonen voksende på hele $[1, 3]$ .»

Løs oppgaven

Oppsummering

Funksjonstyper:
- Polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner, potensfunksjoner

Definisjonsmengde:
- Unngå divisjon med null, kvadratrot av negativt, logaritme av ikke-positivt

Forskyvning og strekking:
- $f(x - a) + b$ : $a$ mot høyre og $b$ opp
- $k \cdot f(x)$ : loddrett strekking med faktor $k$

Sann eller usann:
- Sann påstand: generelt argument
- Usann påstand: ett moteksempel med regning

Symmetri:
- Like funksjon: $f(-x) = f(x)$ (symmetri om $y$ -aksen)
- Odde funksjon: $f(-x) = -f(x)$ (punktsymmetri om origo)

Nullpunkter og fortegn:
- Nullpunkter deler tallinja i intervaller med konstant fortegn

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.