1.5 Bevis i algebra

Verden er ikke eksakt -- den er innenfor toleranse

På en fabrikk som lager kulelagre, er ingen kule nøyaktig $10{,}000$ mm i diameter. Kravet i tegningen lyder i stedet: diameteren skal avvike fra $10$ mm med mindre enn $0{,}05$ mm. Matematisk er det en ulikhet med absoluttverdi:

$$|d - 10| < 0{,}05$$

Avstanden fra $d$ til $10$ skal være under $0{,}05$. Slik tenker ingeniører, kjemikere og programmerere hele tiden: medisindoser skal ligge i et trygt intervall, en rakettbane innenfor en korridor, en numerisk feil under en toleranse. Mens likninger handler om eksakte treff, handler ulikheter om områder -- og svarene er ikke enkeltpunkter, men intervaller.

I dette kapittelet bygger vi opp verktøykassen i tre etapper. Først lineære ulikheter og språket for å beskrive svarene: intervallnotasjon, med runde og firkantede parenteser som forteller om endepunktene er med eller ikke. Underveis møter du regelen alle snubler i minst én gang: ganger eller deler du med et negativt tall, snur ulikhetstegnet.

Deretter kvadratiske og rasjonale ulikheter, der løsningen krever et genialt lite diagram: fortegnslinjen, som viser hvor hvert uttrykk er positivt og negativt. Og til slutt absoluttverdien -- avstandsmåleren som gjorde kulelager-kravet så kompakt -- med sine egne likninger og ulikheter. La oss starte der alt er kjent: med det lineære.

Lineære ulikheter og intervallenes språk

En ulikhet løses nesten som en likning: du kan legge til og trekke fra det samme på begge sider, og du kan gange og dele med positive tall. Men ganger eller deler du med et negativt tall, snur ulikhetstegnet. Hvorfor? Tenk på $2 < 5$. Gang begge sider med $-1$: $-2$ og $-5$. På tallinja ligger $-5$ til venstre for $-2$, så nå er $-5 < -2$ -- rekkefølgen er speilvendt.

Se det i praksis. Ulikheten $3x - 7 < 2x + 5$ gir $x < 12$ uten dramatikk. Men $-2x + 3 \geq 7$ gir $-2x \geq 4$, og når vi deler med $-2$, snur tegnet: $x \leq -2$.

Svarene skriver vi med intervallnotasjon. Rund parentes betyr at endepunktet ikke er med, hakeparentes at det er med: $(a, b)$ er alle $x$ med $a < x < b$, mens $[a, b]$ tar med endepunktene. Blandinger som $[a, b)$ er lov, og mot uendelig bruker vi alltid rund parentes -- $\infty$ er ikke et tall man kan «nå». Løsningene ovenfor blir dermed $(-\infty, 12)$ og $(-\infty, -2]$.

Doble ulikheter klemmer $x$ fra begge kanter og løses ved å gjøre samme operasjon på alle tre deler. Fra $-1 \leq 2x - 3 < 5$ legger vi til $3$ over hele linja: $2 \leq 2x < 8$, og deler på $2$: $1 \leq x < 4$. Svaret er det halvåpne intervallet $[1, 4)$ -- venstre endepunkt med, høyre ikke. Legg merke til hvordan notasjonen bærer presis informasjon: én parentesform skiller «minst 1» fra «mer enn 1».

Fortegnslinjen -- kart over pluss og minus

Hva med $x^2 - x - 6 > 0$? Å «ta kvadratrot på begge sider» fører galt av sted. Nøkkelinnsikten er en annen: et faktorisert uttrykk kan bare skifte fortegn i nullpunktene sine. Mellom nullpunktene er fortegnet konstant. Så vi faktoriserer, finner nullpunktene, og tegner et kart -- fortegnslinjen.

Her: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$, med nullpunkter $x = -2$ og $x = 3$. De deler tallinja i tre soner. For $x < -2$ er begge faktorene negative, og produktet positivt. Mellom $-2$ og $3$ er $(x+2)$ positiv men $(x-3)$ negativ -- produktet negativt. For $x > 3$ er begge positive. Vi ville ha produktet positivt, så svaret er

$$x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$$

To adskilte intervaller, limt sammen med unionstegnet. Endepunktene er ikke med, siden ulikheten var streng.

Samme metode tar rasjonale ulikheter som $\displaystyle \frac{x-1}{x+3} \geq 0$ -- en brøk skifter jo også bare fortegn der teller eller nevner er null. Kritiske punkter: $x = 1$ (teller) og $x = -3$ (nevner). Fortegnslinjen gir positivt utenfor og negativt mellom, så løsningen er $(-\infty, -3) \cup [1, \infty)$. Legg nøye merke til parentesene: $x = 1$ er med (brøken er null, og «$\geq$» tillater null), men $x = -3$ er aldri med -- der er brøken udefinert.

Og en advarsel med rød skrift: gang aldri en ulikhet med et uttrykk som kan være negativt, slik som nevneren $(x+3)$. Du vet ikke om tegnet skal snus eller ikke, for det avhenger av $x$. Fortegnslinjen omgår hele problemet -- den spør bare hvor ting er positivt og negativt, og den svarer alltid riktig.

Absoluttverdien -- matematikkens avstandsmåler

Tilbake til kulelageret: $|d - 10| < 0{,}05$. Nå har vi verktøyene til å forstå og løse slike krav. Absoluttverdien er definert stykkevis:

$$|a| = \begin{cases} a & \text{hvis } a \geq 0 \\ -a & \text{hvis } a < 0 \end{cases}$$

men den geometriske tolkningen er den du bør tenke med: $|a|$ er avstanden fra $a$ til null, og $|a - b|$ er avstanden mellom $a$ og $b$. Avstander er aldri negative, og $|-a| = |a|$. Absoluttverdien oppfører seg pent med produkt og kvotient, $|ab| = |a||b|$, og for summer gjelder trekantulikheten $|a+b| \leq |a| + |b|$ -- en omvei er aldri kortere enn den rette veien.

Likninger med absoluttverdi har typisk to løsninger, for to tall har samme avstand til null. $|2x-3| = 7$ betyr at $2x - 3$ er enten $7$ eller $-7$, som gir $x = 5$ eller $x = -2$.

Ulikheter med absoluttverdi deler seg i to mønstre, og begge blir åpenbare med avstandsbildet. Innenfor: $|f(x)| < c$ betyr at $f(x)$ ligger mellom $-c$ og $c$, altså $-c < f(x) < c$ -- en dobbel ulikhet. Utenfor: $|f(x)| > c$ betyr at $f(x)$ ligger lenger ute enn $c$ på en av sidene: $f(x) < -c$ eller $f(x) > c$ -- to adskilte intervaller.

Eksempel på hver: $|x - 2| < 5$ sier at $x$ er nærmere $2$ enn $5$ enheter, altså $-3 < x < 7$, svaret er $(-3, 7)$. Og $|2x+1| \geq 3$ gir $2x + 1 \leq -3$ eller $2x + 1 \geq 3$, altså $x \leq -2$ eller $x \geq 1$: svaret er $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Kulelager-kravet? $|d - 10| < 0{,}05$ betyr $d \in (9{,}95,\; 10{,}05)$ -- toleranseintervallet, sort på hvitt.

Fortellingen i et nøtteskall

Kulelagerfabrikken lærte oss at virkeligheten sjelden krever eksakte verdier -- den krever verdier innenfor grenser. Det er ulikhetenes domene, og nå behersker du det.

Lineære ulikheter løses som likninger, med ett unntak hugget i stein: multiplikasjon eller divisjon med negativt tall snur ulikhetstegnet. Svarene formuleres med intervallnotasjon -- rund parentes for endepunkter som ikke er med, hakeparentes for dem som er med, og alltid rund parentes mot $\pm\infty$.

Kvadratiske og rasjonale ulikheter løses med fortegnslinjen: flytt alt over på én side, faktoriser, finn nullpunktene (og nevnerens nullpunkter), og les av hvor uttrykket har riktig fortegn. Husk at nevnerens nullpunkter aldri er med i løsningen, og gang aldri med et uttrykk hvis fortegn du ikke kjenner.

Absoluttverdien $|a|$ er avstanden fra $a$ til null, og $|a-b|$ er avstanden mellom $a$ og $b$. Likningen $|f(x)| = c$ spalter seg i to tilfeller, og ulikhetene følger to mønstre: $|f(x)| < c$ gir det sammenhengende båndet $-c < f(x) < c$, mens $|f(x)| > c$ gir to ytterintervaller.

Disse verktøyene er ikke pensum for pensumets skyld. Fortegnslinjen blir selve arbeidsmetoden når du skal drøfte monotoni med $f'(x) > 0$ i derivasjonskapitlene, og absoluttverdi-tenkningen om «vilkårlig nær» er kjernen i grenseverdibegrepet som venter i kapittel 3. Du har nettopp lært presisjonsspråket for resten av R1.