1.3 Eksponential- og logaritmeligninger | Matematikk R1

Løse eksponentialligninger og logaritmeligninger.

55 min

11 oppgaver

EksponentialligningerLogaritmeligningerLøsningsstrategier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Potenser og logaritmer

Brukes videre i

5.1Eksponentiell vekst

Eksponentiallikningar

Ei eksponentiallikning er ei likning der den ukjende står i eksponenten. For å løyse slike likningar bruker vi logaritmar.

Eksponentiallikning

a^{f(x)} = b

✏️Døme 1: Enkle eksponentiallikningar

Løys likningane:

a) $2^x = 16$
b) $3^x = 50$
c) $5^{2x} = 125$

Løysing:

a) $2^x = 16$

Vi ser at $16 = 2^4$ , så $2^x = 2^4$ , altså $x = 4$ .

Alternativt med logaritme: $\displaystyle x = \log_2 16 = \frac{\ln 16}{\ln 2} = 4$

b) $3^x = 50$

Her må vi bruke logaritme:
$x = \log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} \approx \frac{3{,}912}{1{,}099} \approx 3{,}56$

c) $5^{2x} = 125$

Vi har $125 = 5^3$ , så $5^{2x} = 5^3$
$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

📝Oppgave 1

Løys eksponentiallikningane.

2^x = 32

3^x = 81

5^x = 20

10^x = 500

4^{x-1} = 16

e^x = 10

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 2: Likningar med ukjend på begge sider

Løys likninga $2^{x+1} = 5^{x-2}$ .

Løysing:

Vi tek den naturlege logaritmen på begge sider:
$\ln(2^{x+1}) = \ln(5^{x-2})$
$(x+1)\ln 2 = (x-2)\ln 5$

Vi utvidar:
$x \ln 2 + \ln 2 = x \ln 5 - 2\ln 5$

Samlar $x$ -ledda på éi side:
$x \ln 2 - x \ln 5 = -2\ln 5 - \ln 2$
$x(\ln 2 - \ln 5) = -2\ln 5 - \ln 2$
$x = \frac{-2\ln 5 - \ln 2}{\ln 2 - \ln 5} = \frac{2\ln 5 + \ln 2}{\ln 5 - \ln 2}$

Med kalkulator:
$x = \frac{2 \cdot 1{,}609 + 0{,}693}{1{,}609 - 0{,}693} = \frac{3{,}911}{0{,}916} \approx 4{,}27$

📝Oppgave 2

Løys eksponentiallikningane.

2 \cdot 3^x = 54

5 \cdot 2^{x+1} = 80

3^{2x} = 7^x

2^{x+3} = 3^{x-1}

Løs oppgaven Tren

Logaritmelikningar

Ei logaritmelikning er ei likning der den ukjende står inne i ein logaritme. Vi løyser slike likningar ved å bruke definisjonen av logaritme.

Logaritmelikning

\log_a(f(x))

✏️Døme 3: Logaritmelikningar

Løys likningane:

a) $\ln x = 3$
b) $\lg(2x + 1) = 2$
c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Løysing:

a) $\ln x = 3$

Ved definisjonen: $x = e^3 \approx 20{,}09$

b) $\lg(2x + 1) = 2$

Ved definisjonen: $2x + 1 = 10^2 = 100$
$2x = 99 \quad \Rightarrow \quad x = 49{,}5$

Sjekk: $2 \cdot 49{,}5 + 1 = 100 > 0$ ✓

c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Bruker produktregelen:
$\ln[(x-1)(x+1)] = \ln 8$
$(x-1)(x+1) = 8$
$x^2 - 1 = 8$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$

Sjekk: For $x = 3$ : $\ln 2 + \ln 4 = \ln 8$ ✓
For $x = -3$ : $\ln(-4)$ er udefinert ✗

Svar: $x = 3$

📝Oppgave 3

Løys logaritmelikningane. Hugs å sjekke løysinga!

\ln x = 5

\lg x = -1

\ln(3x - 2) = 0

\lg(x^2) = 4

\ln x + \ln(x + 2) = \ln 3

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4: Likningar med logaritmar på begge sider

Løys likninga $\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + 1$ .

Løysing:

Vi skriv om høgre side:
$\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + \log_2 2$
$\log_2(x + 3) = \log_2[2(2x - 1)]$
$\log_2(x + 3) = \log_2(4x - 2)$

Sidan logaritmane er like:
$x + 3 = 4x - 2$
$5 = 3x$
$x = \frac{5}{3}$

Sjekk:
- $\displaystyle x + 3 = \frac{5}{3} + 3 = \frac{14}{3} > 0$ ✓
- $\displaystyle 2x - 1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3} > 0$ ✓

Svar: $\displaystyle x = \frac{5}{3}$

Praktiske bruksområde

Eksponentiallikningar dukkar ofte opp i praktiske samanhengar, spesielt i modellar for vekst og nedbryting.

Halveringstid og doblingstid

N(t) = N_0 \cdot a^t

✏️Døme 5: Radioaktiv nedbryting

Karbon-14 har ei halveringstid på 5730 år. Eit arkeologisk funn inneheld 35% av den opphavlege mengda karbon-14. Kor gammalt er funnet?

Løysing:

Med halveringstid $T_{1/2} = 5730$ år har vi vekstmodellen:
$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Vi skal finne $t$ når $N(t) = 0{,}35 N_0$ :
$0{,}35 N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$
$0{,}35 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Tek logaritmen på begge sider:
$\ln 0{,}35 = \frac{t}{5730} \cdot \ln\frac{1}{2}$
$t = \frac{5730 \cdot \ln 0{,}35}{\ln 0{,}5}$
$t = \frac{5730 \cdot (-1{,}050)}{-0{,}693} \approx 8680 \text{ år}$

Svar: Funnet er om lag 8680 år gammalt.

✏️Døme 6: Bakterievekst

Ein bakteriekultur doblar seg kvar 3. time.

a) Finn ein modell for talet på bakteriar $N(t)$ etter $t$ timar, gitt at det er 1000 bakteriar ved $t = 0$ .
b) Kor lang tid tek det før det er 50 000 bakteriar?

Løysing:

a) Doblingstid $T_2 = 3$ timar gir:
$N(t) = N_0 \cdot 2^{t/3} = 1000 \cdot 2^{t/3}$

b) Vi løyser $1000 \cdot 2^{t/3} = 50000$ :
$2^{t/3} = 50$
$\frac{t}{3} = \log_2 50 = \frac{\ln 50}{\ln 2} \approx 5{,}64$
$t \approx 16{,}9 \text{ timar}$

Svar: Det tek om lag 17 timar.

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene.

Ein bakteriekultur veks med 15% per time. Finn doblingstida.

Eit radioaktivt stoff har halveringstid 10 dagar. Kor stor del er igjen etter 25 dagar?

Ei investering veks med 5% årleg rente. Kor lang tid tek det å tredoble investeringa?

📝Oppgave 5

Løys dei samansette oppgåvene.

Løys $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$

Løys $2^x + 2^{-x} = 3$

Løys $\ln(\ln x) = 0$

Løs oppgaven Tren

📊Løysing av eksponentiallikning grafisk

Finn skjeringspunktet mellom $y = 2^x$ og $y = 5$ .

Oppsummering

Eksponentiallikningar:
- $a^{f(x)} = b$ blir løyst ved $\displaystyle f(x) = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
- Ta logaritmen på begge sider når den ukjende er i eksponenten

Logaritmelikningar:
- $\log_a f(x) = c$ blir løyst ved $f(x) = a^c$
- Hugs å sjekke at løysinga gir positivt argument

Praktiske bruksområde:
- Doblingstid: $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$
- Halveringstid: $\displaystyle T_{1/2} = -\frac{\ln 2}{\ln a}$

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.