1.1 Polynom og polynomdivisjon | Matematikk R1

Polynom, polynomdivisjon og faktorisering.

60 min

12 oppgaver

PolynomPolynomdivisjonFaktorteoremetNullpunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.4Rasjonale uttrykk 1.5Bevis i algebra

Kva er eit polynom?

Eit polynom er eit uttrykk som består av ledd med variablar opphøgde i ikkje-negative heiltal, multiplisert med konstantar (koeffisientar). Polynom er grunnleggjande i matematikk og dukkar opp i mange samanhengar.

Polynom

x

✏️Døme 1: Polynom

Identifiser graden, leiande koeffisient og konstantledd for følgjande polynom:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
b) $Q(x) = -2x^3 + x$
c) $R(x) = 7$

Løysing:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
- Grad: $4$ (høgaste potens av $x$ )
- Leiande koeffisient: $3$
- Konstantledd: $-1$

Svar: Grad $4$ , leiande koeffisient $3$ , konstantledd $-1$ .

b) $Q(x) = -2x^3 + x$
- Grad: $3$
- Leiande koeffisient: $-2$
- Konstantledd: $0$ (inkje konstantledd)

Svar: Grad $3$ , leiande koeffisient $-2$ , konstantledd $0$ .

c) $R(x) = 7$
- Grad: $0$ (konstant polynom)
- Leiande koeffisient: $7$
- Konstantledd: $7$

Svar: Grad $0$ , leiande koeffisient $7$ , konstantledd $7$ .

📝Oppgave 1

Finn graden, leiande koeffisient og konstantledd for kvart polynom.

P(x) = 2x^5 - 3x^3 + x - 4

Q(x) = -x^2 + 6x + 9

R(x) = 4x^3 - x^2

S(x) = -5

Rekning med polynom

Vi kan addere, subtrahere og multiplisere polynom ved å bruke kjende reknereglar.

Addisjon og subtraksjon: Kombiner like ledd (ledd med same potens av $x$ ).

Multiplikasjon: Bruk distributiv lov – gang kvart ledd i det eine polynomet med kvart ledd i det andre.

✏️Døme 2: Polynomrekning

La $P(x) = 2x^2 + 3x - 1$ og $Q(x) = x^2 - 2x + 4$ .

Rekn ut:
a) $P(x) + Q(x)$
b) $P(x) - Q(x)$
c) $P(x) \cdot Q(x)$

Løysing:

a) $P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2 + x^2 + 3x - 2x - 1 + 4$
$= 3x^2 + x + 3$

Svar: $3x^2 + x + 3$

b) $P(x) - Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2 - x^2 + 3x + 2x - 1 - 4$
$= x^2 + 5x - 5$

Svar: $x^2 + 5x - 5$

c) $P(x) \cdot Q(x) = (2x^2 + 3x - 1)(x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2(x^2 - 2x + 4) + 3x(x^2 - 2x + 4) - 1(x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^4 - 4x^3 + 8x^2 + 3x^3 - 6x^2 + 12x - x^2 + 2x - 4$
$= 2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4$

Svar: $2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4$

📝Oppgave 2

La $P(x) = x^2 + 2x - 3$ og $Q(x) = 2x^2 - x + 1$ . Rekn ut:

P(x) + Q(x)

P(x) - Q(x)

2P(x) + 3Q(x)

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Multipliser polynoma og skriv svaret på standardform.

(x + 2)(x^2 - 3x + 1)

(x - 1)(x + 1)(x + 2)

(2x - 3)^2

(x + 1)^3

Løs oppgaven

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon fungerer på same måte som vanleg divisjon av tal. Vi deler eit polynom (dividenden) på eit anna polynom (divisoren) og får ein kvotient og eventuelt ein rest.

$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$

eller ekvivalent:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der graden til $R(x)$ er lågare enn graden til $D(x)$ .

📜Divisjonsalgoritmen for polynom

For eitkvart polynom

P(x)

og divisor

D(x)

med

D(x) \neq 0

, finst det unike polynom

Q(x)

(kvotienten) og

R(x)

(resten) slik at:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der $\text{grad}(R) < \text{grad}(D)$ eller $R(x) = 0$ .

✏️Døme 3: Polynomdivisjon

Utfør polynomdivisjonen:

$\frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x - 1}$

Løysing:

Vi deler leddvis, med det høgaste leddet først.

$x^3 \div x = x^2$ . Gang $x^2$ med $(x-1)$ : $x^3 - x^2$

Trekk frå: $(x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = -x^2$

Ta ned neste ledd: $-x^2 + 5x$

$-x^2 \div x = -x$ . Gang $-x$ med $(x-1)$ : $-x^2 + x$

Trekk frå: $(-x^2 + 5x) - (-x^2 + x) = 4x$

Ta ned neste ledd: $4x - 3$

$4x \div x = 4$ . Gang $4$ med $(x-1)$ : $4x - 4$

Trekk frå: $(4x - 3) - (4x - 4) = 1$

Svar:
$\frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x - 1} = x^2 - x + 4 + \frac{1}{x-1}$

Kvotient: $Q(x) = x^2 - x + 4$ , Rest: $R = 1$

Tips for polynomdivisjon:
- Skriv alltid polynoma i synkande potensrekkjefølgje
- Hugs å setje inn

0

som koeffisient for manglande potensar
- Kontroller svaret ved å gange kvotienten med divisoren og leggje til resten

📝Oppgave 4

Utfør polynomdivisjonen. Oppgi kvotient og rest.

\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}

\displaystyle \frac{x^3 - 8}{x - 2}

\displaystyle \frac{2x^3 + 3x^2 - 5x + 1}{x + 2}

\displaystyle \frac{x^4 - 1}{x - 1}

Faktorteoremet

Faktorteoremet gir oss ein samanheng mellom nullpunkt og faktorar i eit polynom. Dette er eit av dei viktigaste verktøya for å faktorisere polynom.

Først ei følgje av divisjonsalgoritmen. Deler vi $P(x)$ med $(x - a)$ , er resten eit tal $R$ , fordi divisoren har grad $1$ :

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R$

Set vi inn $x = a$ , blir det første leddet null:

$P(a) = 0 \cdot Q(a) + R = R$

Restteoremet: Resten når $P(x)$ blir delt med $(x - a)$ , er $P(a)$ .

Er resten $0$ , går divisjonen opp. Det er dette faktorteoremet seier.

📜Faktorteoremet

Eit polynom $P(x)$ har $(x - a)$ som faktor viss og berre viss $P(a) = 0$ .

Med andre ord: $x = a$ er eit nullpunkt for $P(x)$ $\Leftrightarrow$ $(x - a)$ er ein faktor i $P(x)$ .

Praktisk bruk av faktorteoremet:

1. Gjett eit nullpunkt $x = a$ (prøv ofte $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ )
2. Sjekk at $P(a) = 0$
3. Divider $P(x)$ på $(x - a)$ for å finne den andre faktoren
4. Gjenta prosessen med den reduserte faktoren

✏️Døme 4: Faktorisering med faktorteoremet

Faktoriser polynomet $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ fullstendig.

Løysing:

Vi prøver å finne eit nullpunkt ved å teste enkle verdiar.

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓

Sidan $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ ein faktor ifølgje faktorteoremet.

Vi utfører polynomdivisjon:

$\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 1} = x^2 - 5x + 6$

Vi faktoriserer $x^2 - 5x + 6$ :

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar:
$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunkta er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

Gjør dette i GeoGebra

Polynom med nullpunkt

Grafen til

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)

med nullpunkta markerte.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)
A = (1, 0)
B = (2, 0)
C = (3, 0)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 5

Bruk faktorteoremet til å faktorisere polynoma fullstendig.

P(x) = x^3 - 7x + 6

Q(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6

R(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12

Løs oppgaven

Metode for å finne rasjonale nullpunkt

Når vi leitar etter nullpunkt, kan vi bruke ein systematisk metode basert på koeffisientane i polynomet.

📜Teoremet om rasjonale røter

Viss eit polynom $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ med heiltalskoeffisientar har eit rasjonalt nullpunkt $\displaystyle \frac{p}{q}$ (på forkorta form), så er:

- $p$ ein divisor i konstantleddet $a_0$
- $q$ ein divisor i den leiande koeffisienten $a_n$

✏️Døme 5: Finne rasjonale nullpunkt

Finn alle nullpunkt til $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ .

Løysing:

Moglege rasjonale nullpunkt er $\displaystyle \frac{p}{q}$ der:
- $p$ deler konstantleddet $2$ : $p \in \{\pm 1, \pm 2\}$
- $q$ deler leiande koeffisient $2$ : $q \in \{1, 2\}$

Moglege kandidatar: $\displaystyle \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$

Test:
- $P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2 \neq 0$
- $P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0$ ✓
- $P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ ✓

Vi har funne to nullpunkt: $x = -1$ og $x = 2$ .

Polynomdivisjon gir:
$\begin{aligned} &\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{(x+1)(x-2)} \\ = {}&\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} \\ = {}&2x - 1 \end{aligned}$

Det siste nullpunktet: $\displaystyle 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Svar: Nullpunkta er $x = -1$ , $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 6

Finn alle nullpunkt til polynoma.

P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6

Q(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2

R(x) = x^4 - 5x^2 + 4

Oppsummering

Polynom:
- Eit polynom har forma $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0$
- Graden er den høgaste potensen av $x$

Polynomdivisjon:
- Brukt til å dele eit polynom på eit anna
- $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Faktorteoremet:
- $(x - a)$ er faktor i $P(x)$ $\Leftrightarrow$ $P(a) = 0$

Teoremet om rasjonale røter:
- Moglege rasjonale nullpunkt er $\displaystyle \frac{p}{q}$ der $p$ deler konstantleddet og $q$ deler leiande koeffisient

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.