1.1 Polynomer og polynomdivisjon

Matematikkens arbeidshester

Når du skanner en QR-kode med mobilen, skjer det noe bemerkelsesverdig: selv om koden er delvis tildekket eller skadet, leser telefonen den likevel riktig. Hemmeligheten er polynomdivisjon. Dataene i koden er kodet som koeffisienter i et polynom, og ved å dividere med et bestemt kontrollpolynom kan mobilen oppdage og rette feil. Den samme ideen, Reed-Solomon-koder, beskytter data på Blu-ray-plater og i kommunikasjon med romsonder milliarder av kilometer unna.

Polynomer er på mange måter matematikkens arbeidshester. De er enkle nok til at vi kan regne med dem for hånd, men fleksible nok til å beskrive alt fra banen til en fotball til rentebanen i en låneavtale. I dette kapittelet skal vi bli ordentlig kjent med dem: hva de er, hvordan vi regner med dem, og -- viktigst av alt -- hvordan vi kan faktorisere dem.

Å faktorisere et polynom er som å primtallsfaktorisere et tall: vi avslører byggesteinene det er laget av. Og byggesteinene henger nøye sammen med polynomets nullpunkter -- de $x$-verdiene som gjør polynomet lik null. Veien dit går gjennom tre verktøy du skal mestre: polynomdivisjon, faktorteoremet og teoremet om rasjonale røtter. La oss begynne med begynnelsen: hva et polynom egentlig er.

Hva er et polynom?

Et polynom i variabelen $x$ er et uttrykk på formen

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$$

der koeffisientene $a_n, \ldots, a_0$ er reelle tall og $n$ er et ikke-negativt heltall. Tre ord går igjen når vi snakker om polynomer. Graden er den høyeste potensen av $x$ som faktisk forekommer. Den ledende koeffisienten er tallet foran denne høyeste potensen, og konstantleddet er $a_0$ -- leddet uten $x$.

Ta $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$. Her er graden $4$, den ledende koeffisienten $3$ og konstantleddet $-1$. I $Q(x) = -2x^3 + x$ er graden $3$, ledende koeffisient $-2$, og konstantleddet er $0$ siden det ikke står noe konstantledd der. Til og med et rent tall som $R(x) = 7$ er et polynom -- av grad $0$.

Å regne med polynomer er heldigvis ikke noe nytt: vi bruker reglene du allerede kan. Ved addisjon og subtraksjon kombinerer vi like ledd, altså ledd med samme potens av $x$. Med $P(x) = 2x^2 + 3x - 1$ og $Q(x) = x^2 - 2x + 4$ får vi $P(x) + Q(x) = 3x^2 + x + 3$, og $P(x) - Q(x) = x^2 + 5x - 5$ -- husk at minustegnet skifter fortegn på alle leddene i $Q$.

Ved multiplikasjon bruker vi distributiv lov: hvert ledd i det ene polynomet ganges med hvert ledd i det andre. Da blir $P(x) \cdot Q(x) = 2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4$ etter at vi har samlet like ledd. Legg merke til et nyttig mønster: graden til produktet er summen av gradene, her $2 + 2 = 4$.

Polynomdivisjon -- divisjon med rest

Husker du divisjon med rest fra barneskolen? $17$ delt på $5$ gir $3$ med rest $2$, altså $17 = 5 \cdot 3 + 2$. Polynomdivisjon er nøyaktig samme idé, bare med polynomer i stedet for tall. Vi deler et polynom $P(x)$ (dividenden) på et polynom $D(x)$ (divisoren) og får en kvotient $Q(x)$ og en rest $R(x)$:

$$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$$

Divisjonsalgoritmen garanterer at kvotienten og resten finnes og er entydige, og at graden til resten alltid er lavere enn graden til divisoren -- akkurat som resten $2$ er mindre enn $5$ i talleksempelet. Deler vi på et førstegradspolynom som $x - 1$, blir resten derfor bare et tall.

Selve regningen følger samme rytme som tallregning: del, gang, trekk fra, ta ned neste ledd. La oss dele $x^3 - 2x^2 + 5x - 3$ på $x - 1$. Først: $x^3 \div x = x^2$. Vi ganger $x^2$ med $(x-1)$ og trekker fra; igjen står $-x^2 + 5x$. Så: $-x^2 \div x = -x$, gang og trekk fra; igjen står $4x - 3$. Til slutt: $4x \div x = 4$, og etter siste subtraksjon står vi igjen med resten $1$. Altså:

$$x^3 - 2x^2 + 5x - 3 = (x - 1)(x^2 - x + 4) + 1$$

To praktiske råd: skriv alltid polynomene i synkende potensrekkefølge, og sett inn $0$ som koeffisient for potenser som mangler -- ellers er det fort gjort å rote seg bort. Og du kan alltid kontrollere svaret ved å gange kvotienten med divisoren og legge til resten. Et elegant frampek: resten ved divisjon med $(x - a)$ er alltid lik $P(a)$. Sjekk selv: $P(1) = 1 - 2 + 5 - 3 = 1$, nøyaktig resten vi fant.

Faktorteoremet -- nøkkelen til faktorisering

Nå kommer kapittelets viktigste innsikt. Tenk på hva det betyr at divisjonen av $P(x)$ med $(x - a)$ går opp, altså at resten er null. Da er $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$, og setter vi inn $x = a$, blir $P(a) = 0 \cdot Q(a) = 0$. Og siden resten ved divisjon med $(x-a)$ alltid er $P(a)$, gjelder også det motsatte. Dette er faktorteoremet:

$$P(a) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x - a) \text{ er en faktor i } P(x)$$

Nullpunkter og faktorer er altså to sider av samme sak. Hvert nullpunkt avslører en faktor, og hver faktor avslører et nullpunkt.

Dette gir oss en jaktstrategi for å faktorisere polynomer av grad tre og høyere, der ingen abc-formel finnes. Først gjetter vi et nullpunkt -- prøv gjerne små heltall som $\pm 1, \pm 2, \pm 3$. Finner vi en verdi $a$ med $P(a) = 0$, vet vi at $(x - a)$ er en faktor. Så dividerer vi $P(x)$ på $(x - a)$ og står igjen med et polynom av lavere grad, som vi angriper på nytt.

Se hvordan det fungerer på $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Vi prøver $x = 1$: $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Treff! Da er $(x - 1)$ en faktor, og polynomdivisjon gir $P(x) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$. Dette andregradsuttrykket kan vi faktorisere på vanlig måte: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Dermed er

$$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$$

og nullpunktene er $x = 1$, $x = 2$ og $x = 3$. Tredjegradspolynomet er knekket helt opp i førstegradsfaktorer -- byggesteinene er avslørt.

Systematisk jakt: teoremet om rasjonale røtter

Å gjette nullpunkter i blinde kan bli slitsomt. Heldigvis finnes det et teorem som krymper jaktområdet dramatisk. Teoremet om rasjonale røtter sier: hvis polynomet $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ har heltallskoeffisienter og et rasjonalt nullpunkt $\displaystyle \frac{p}{q}$ på forkortet form, så må $p$ være en divisor i konstantleddet $a_0$, og $q$ må være en divisor i den ledende koeffisienten $a_n$.

Intuisjonen er at konstantleddet «husker» produktet av nullpunktene, mens den ledende koeffisienten styrer nevnerne som kan dukke opp. Kandidatlisten blir dermed endelig og ofte kort.

La oss bruke dette på $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$. Konstantleddet er $2$, så $p \in \{\pm 1, \pm 2\}$. Den ledende koeffisienten er $2$, så $q \in \{1, 2\}$. De eneste mulige rasjonale nullpunktene er dermed $\pm 1$, $\pm 2$ og $\displaystyle \pm \frac{1}{2}$ -- seks kandidater i stedet for uendelig mange.

Vi tester: $P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2$, bom. $P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0$, treff! $P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$, treff igjen. Med to faktorer $(x+1)$ og $(x-2)$ i boks dividerer vi: $P(x) : \left[(x+1)(x-2)\right] = 2x - 1$, og dermed er

$$P(x) = (x+1)(x-2)(2x-1)$$

med nullpunkter $x = -1$, $x = 2$ og $\displaystyle x = \frac{1}{2}$. Legg merke til at $\displaystyle \frac{1}{2}$ passer perfekt med teoremet: $p = 1$ deler konstantleddet $2$, og $q = 2$ deler den ledende koeffisienten $2$.

Fortellingen i et nøtteskall

Vi startet med QR-koder og endte med en komplett verktøykasse for å plukke polynomer fra hverandre. Et polynom $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ kjennetegnes av graden sin, den ledende koeffisienten og konstantleddet, og vi adderer, subtraherer og multipliserer dem med helt vanlige regneregler.

Polynomdivisjon er divisjon med rest, akkurat som for tall: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, der resten har lavere grad enn divisoren. Rytmen er den samme hver gang -- del, gang, trekk fra, ta ned neste ledd -- og svaret kan alltid kontrolleres ved å gange ut igjen.

Kapittelets juvel er faktorteoremet: $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a) = 0$. Nullpunkter og faktorer er to sider av samme sak, og det gir oss strategien for å faktorisere polynomer av høy grad: finn ett nullpunkt, divider ut faktoren, og gjenta på det enklere polynomet som står igjen.

Når vi leter etter nullpunkter, slipper vi å gjette vilt. Teoremet om rasjonale røtter forteller at en rasjonal rot $\displaystyle \frac{p}{q}$ må ha $p$ som divisor i konstantleddet og $q$ som divisor i den ledende koeffisienten -- en kort kandidatliste vi kan teste systematisk.

Disse verktøyene følger deg gjennom hele R1: faktorisering trengs når du skal forkorte rasjonale uttrykk, løse ulikheter med fortegnslinje og analysere funksjoner. Polynomene er arbeidshester -- nå vet du hvordan du temmer dem.