3.5 Ladede partikler i elektriske felt | Fysikk 2

Bevegelse av ladede partikler i elektriske felt, akselerasjon og avbøyning.

50 min

14 oppgaver

Kraft på ladede partiklerAkselerasjon i homogene feltAvbøyningKatodestrålerørElektronkanoner

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Elektrisk felt 1.2Bevegelse i to dimensjoner

Brukes videre i

4.5Lorentzkraften

Elektrisk energi og ladde partiklar

I dei førre kapitla har vi lært om elektrisk felt, potensial og kondensatorar. No skal vi bruke denne kunnskapen til å studere korleis ladde partiklar rører seg i elektriske felt.

Dette er eit svært viktig tema med mange praktiske bruksområde:
- Partikkelakseleratorar ved CERN og andre laboratorium
- Katodestrålerøyr (CRT) i gamle TV-ar og oscilloskop
- Elektronmikroskop for nanoteknologi
- Massespektrometri for kjemisk analyse

Vi startar med å forstå energi i elektriske felt, og ser deretter på korleis partiklar blir akselererte og avbøygde.

Potensiell energi i elektrisk felt

Frå potensial til potensiell energi

Vi veit at elektrisk potensial $V$ er potensiell energi per ladning:
$V = \frac{E_p}{q}$

Dette gir oss den potensielle energien for ein ladning $q$ i eit punkt med potensial $V$ :

Potensiell energi i elektrisk felt

E_p = qV

Der: - $E_p$ er potensiell energi (J) - $q$ er ladninga (C) - $V$ er det elektriske potensialet (V) **Merk:** Forteikn er viktig! - Positiv ladning: $E_p > 0$ ved høgt potensial - Negativ ladning: $E_p < 0$ ved høgt potensial (elektronet vil røre seg mot høgare potensial)

Potensiell energi mellom to punktladningar

For to punktladningar $q_1$ og $q_2$ med avstand $r$ mellom seg, er den potensielle energien:

Potensiell energi mellom punktladningar

Ep = k\frac{q1 q_2}{r}

Der: - $k = 8.99 \times 10^9$ N·m²/C² (Coulombs konstant) - $q_1, q_2$ er ladningane (C) - $r$ er avstanden mellom ladningane (m) **Forteikn:** - Same forteikn (frastøyting): $E_p > 0$ - Motsett forteikn (tiltrekking): $E_p < 0$ **Referanse:** $E_p = 0$ når $r \to \infty

✏️Potensiell energi for eit elektron

Oppgåve: Eit elektron er i eit punkt der potensialet er

V = 100

V. Rekn ut den potensielle energien til elektronet.

Løysing:

Ladninga til elektronet: $q = -e = -1.60 \times 10^{-19}$ C

$E_p = qV = (-1.60 \times 10^{-19}) \cdot 100 = -1.60 \times 10^{-17} \text{ J}$

I elektronvolt (eV):
$E_p = -100 \text{ eV}$

Tolking: Den negative verdien tyder at elektronet har lågare energi ved høgt potensial. Elektronet vil naturleg røre seg mot høgare potensial (mot positiv plate).

Energibevaring for ladde partiklar

Når ein ladd partikkel rører seg i eit elektrisk felt utan andre krefter, er mekanisk energi bevart:

Energibevaring

Ek + Ep = \text{konstant}

Eller mellom to punkt 1 og 2:

\frac{1}{2}mv1^2 + qV1 = \frac{1}{2}mv2^2 + qV2

**Endring i kinetisk energi:**

\Delta Ek = -\Delta Ep = q(V1 - V2) = qU

Der $U = V_1 - V_2$ er potensialskilnaden (spenninga) partikkelen rører seg gjennom.

Elektronvolt (eV)

1 \text{ eV} = 1.60 \times 10^{-19} \text{ J}

Akselerasjon av ladde partiklar

I ein potensialskilnad

Når ein partikkel med ladning $q$ og masse $m$ startar i ro og blir akselerert gjennom ein potensialskilnad $U$ , kan vi finne sluttfarten frå energibevaring:

$qU = \frac{1}{2}mv^2$

Fart etter akselerasjon

v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}

Der: - $v$ er sluttfarten (m/s) - $q$ er ladninga (C) - bruk absoluttverdien - $U$ er potensialskilnaden (V) - $m$ er massen (kg) **For elektron:**

ve = \sqrt{\frac{2eU}{me}} \approx 5.93 \times 10^5 \sqrt{U} \text{ m/s}

**For proton:**

vp = \sqrt{\frac{2eU}{mp}} \approx 1.38 \times 10^4 \sqrt{U} \text{ m/s}

✏️Elektron akselerert i spenning

Oppgåve: Eit elektron startar i ro og blir akselerert gjennom ein potensialskilnad på 500 V. Rekn ut:
a) Kinetisk energi i eV og joule
b) Sluttfarten

Løysing:

a) Kinetisk energi:
Frå energibevaring: $E_k = eU$
$E_k = 500 \text{ eV} = 500 \cdot 1.60 \times 10^{-19} = 8.0 \times 10^{-17} \text{ J}$

b) Sluttfart:
$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8.0 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{1.76 \times 10^{14}} = 1.33 \times 10^7 \text{ m/s}$

Dette er ca. 4.4% av lysfarten!

Akselerasjon i homogent elektrisk felt

I eit homogent elektrisk felt (t.d. mellom kondensatorplater) verkar ei konstant kraft på ein ladd partikkel:

$F = qE$

Med Newtons 2. lov får vi akselerasjonen:

Akselerasjon i homogent felt

a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}

For ein platekondensator med spenning $U$ og plateavstand $d$:

a = \frac{qU}{md}

**Retning:** - Positiv ladning: akselererer i feltretninga - Negativ ladning: akselererer mot feltretninga

Partikkelakseleratorar

Partikkelakseleratorar bruker elektriske felt til å gi ladde partiklar svært høge energiar. Dei blir brukte i grunnforsking, medisin og industri.

Lineære akseleratorar (LINAC)

Ein lineær akselerator består av ei rekkje metallrøyr kopla til ei vekselstraumkjelde. Partiklane blir akselererte i gapa mellom røyra.

Prinsipp:
1. Partikkelen blir trekt inn i det første røyret av eit elektrisk felt
2. Medan partikkelen er inne i røyret, skiftar feltet polaritet
3. Når partikkelen kjem ut, blir han igjen akselerert mot neste røyr
4. Røyra blir lengre for å kompensere for aukande fart

Bruksområde:
- Injektorar for større akseleratorar
- Medisinsk strålebehandling
- Materialforsking

Van de Graaff-generator

Van de Graaff-generatoren er ein elektrostatisk akselerator som bruker ei kontinuerleg opplading av ei metallkule.

Prinsipp:
1. Eit transportband fører ladning til ei metallkule
2. Kula oppnår svært høgt potensial (fleire MV)
3. Partiklar blir akselererte frå kula (eller mot ho)

Føremoner:
- Stabil stråleenergi
- Kan brukast for både akselerasjon og retardasjon

Avgrensing:
- Maksimalt ca. 10-20 MeV pga. elektrisk gjennomslag

Rørsle i elektrisk felt

Partikkel skoten inn vinkelrett på feltet

Når ein ladd partikkel blir skoten inn i eit homogent elektrisk felt vinkelrett på feltlinjene, får vi ei parabolsk bane - akkurat som kastrørsle i tyngdefeltet!

Samanlikning:

Kast i tyngdefelt	Ladd partikkel i E-felt
$F = mg$	$F = qE$
$a = g$	$a = qE/m$
Nedover	I feltretninga (positiv) eller mot (negativ)

Avbøying i homogent felt

For ein partikkel som blir skoten inn med fart $v_0$ vinkelrett på eit felt med lengd $L$: **Tid i feltet:**

t = \frac{L}{v0} $**Avbøying i feltet:**$ y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{qEL^2}{2mv0^2}

**Avbøyingsvinkel:**

\tan\theta = \frac{vy}{vx} = \frac{at}{v0} = \frac{qEL}{mv0^2}

Spenning $U$ og plateavstand $d$ gir $E = U/d$:

y = \frac{qUL^2}{2mdv_0^2}

✏️Elektron i kondensator

Oppgåve: Eit elektron blir skote inn horisontalt med fart

v_0 = 2.0 \times 10^7

m/s mellom to kondensatorplater. Platene har lengd

L = 5.0

cm, avstand

d = 1.0

cm, og spenning

U = 200

Rekn ut:
a) Det elektriske feltet mellom platene
b) Akselerasjonen til elektronet
c) Tida elektronet bruker i feltet
d) Vertikal avbøying når elektronet forlèt feltet
e) Avbøyingsvinkelen

Løysing:

a) Elektrisk felt:
$E = \frac{U}{d} = \frac{200}{0.010} = 20\,000 \text{ V/m} = 20 \text{ kV/m}$

b) Akselerasjon:
$a = \frac{eE}{m_e} = \frac{1.60 \times 10^{-19} \cdot 20\,000}{9.11 \times 10^{-31}} = 3.5 \times 10^{15} \text{ m/s}^2$

(Enorm akselerasjon! Ca. $3.6 \times 10^{14}$ g)

c) Tid i feltet:
$t = \frac{L}{v_0} = \frac{0.050}{2.0 \times 10^7} = 2.5 \times 10^{-9} \text{ s} = 2.5 \text{ ns}$

d) Vertikal avbøying:
$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.5 \times 10^{15} \cdot (2.5 \times 10^{-9})^2 = 0.011 \text{ m} = 1.1 \text{ cm}$

e) Avbøyingsvinkel:
$v_y = at = 3.5 \times 10^{15} \cdot 2.5 \times 10^{-9} = 8.75 \times 10^6 \text{ m/s}$
$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{8.75 \times 10^6}{2.0 \times 10^7} = 0.44$
$\theta = \arctan(0.44) = 24°$

Katodestrålerøyr (CRT)

Katodestrålerøyret (Cathode Ray Tube) var grunnlaget for TV-ar og dataskjermar i mange tiår før flatskjermar tok over. Det er òg historisk viktig fordi det førte til oppdaginga av elektronet.

Oppbygging

Eit CRT består av:
1. Katode - oppvarma metalltråd som sender ut elektron (termisk emisjon)
2. Akselerasjonselektrodar - gir elektrona høg fart
3. Avbøyingsplater - styrer retninga til elektronstrålen
4. Fosforskjerm - lyser opp der elektrona treff

Prinsipp

1. Elektron blir frigjorde frå katoden ved oppvarming
2. Elektrona blir akselererte av høg spenning (typisk 10-30 kV)
3. Strålen blir avbøygd horisontalt og vertikalt av elektriske felt
4. Elektrona treff fosforskjermen og skaper lys

Historisk tyding

J.J. Thomson brukte katodestrålar i 1897 til å:
- Bevise at katodestrålar består av negativt ladde partiklar
- Måle forholdet $e/m$ for elektronet
- Oppdage elektronet

Dette var det første beviset på at atom inneheld mindre partiklar!

Millikan-eksperimentet

Robert Millikan utførte i 1909-1913 eit berømt eksperiment som bestemte elementærladninga $e$ med stor nøyaktigheit.

Oppbygginga av eksperimentet

1. Små oljedropar blir sprøyta inn mellom to kondensatorplater
2. Dropane blir ladde opp ved friksjon eller ioniserande stråling
3. Eit elektrisk felt kan justerast for å balansere tyngdekrafta
4. Rørsla til dropane blir observert gjennom eit mikroskop

Kraftbalanse

Når dropen svever i ro, er kreftene i likevekt:

Elektrisk kraft oppover:
$F_E = qE = q\frac{U}{d}$

Tyngdekraft nedover:
$F_G = mg$

Likevekt:
$q\frac{U}{d} = mg$

Millikans utrekning

Ladninga på dropen:

q = \frac{mgd}{U}

Massen kan finnast frå fallfarten til dropen (utan felt) ved å bruke Stokes' lov:

m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho

**Millikans resultat:** Alle målte ladningar var heiltalsmultiplar av ei minste ladning:

e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}

Dette beviste at elektrisk ladning er **kvantisert** - ho kjem i diskrete "pakkar".

✏️Millikan-utrekning

Oppgåve: I eit Millikan-eksperiment svever ein oljedrope med masse

m = 4.9 \times 10^{-15}

kg i ro mellom plater med avstand

d = 1.0

cm når spenninga er

U = 300

V. Dropen er negativt ladd.

a) Rekn ut ladninga på dropen
b) Kor mange elementærladningar har dropen?

Løysing:

a) Ladninga:
Kraftbalanse: $qE = mg$
$q = \frac{mgd}{U} = \frac{4.9 \times 10^{-15} \cdot 9.81 \cdot 0.010}{300}$
$q = 1.60 \times 10^{-18} \text{ C}$

b) Talet på elementærladningar:
$n = \frac{q}{e} = \frac{1.60 \times 10^{-18}}{1.60 \times 10^{-19}} = 10$

Dropen har 10 overflødige elektron.

📝Oppgave 3.49

Eit elektron blir akselerert frå ro gjennom ein potensialskilnad på 1000 V. Kva er den kinetiske energien til elektronet etter akselerasjonen?

📝Oppgave 3.50

Eit proton og eit elektron blir begge akselererte frå ro gjennom same potensialskilnad. Kva påstand er rett?

📝Oppgave 3.51

I eit katodestrålerøyr (CRT) blir elektron akselererte av eit elektrisk felt. Kva skjer med bana til elektronet når det passerer mellom avbøyingsplater med horisontalt felt?

📝Oppgave 3.52

Eit proton ( $m_p = 1.67 \times 10^{-27}$ kg) blir akselerert frå ro gjennom ein potensialskilnad på 10 kV.

a) Rekn ut kinetisk energi i joule og keV.
b) Rekn ut sluttfarten til protonet.
c) Kor stor må potensialskilnaden vere for at protonet skal oppnå 1% av lysfarten?

📝Oppgave 3.53

Eit elektron har fart $v_1 = 1.0 \times 10^6$ m/s i eit punkt der potensialet er $V_1 = 0$ V. Elektronet rører seg mot eit område med potensial $V_2 = -50$ V.

a) Rekn ut den kinetiske energien til elektronet i punkt 1.
b) Rekn ut farten til elektronet i punkt 2.
c) Kva er det høgaste potensialet elektronet kan nå?

📝Oppgave 3.54

I eit CRT blir elektron akselererte frå ro gjennom ei spenning $U_a = 2000$ V. Dei passerer deretter mellom to avbøyingsplater med lengd $L = 4.0$ cm, avstand $d = 1.0$ cm og spenning $U_d = 100$ V.

a) Rekn ut farten til elektrona etter akselerasjonen.
b) Rekn ut det elektriske feltet mellom avbøyingsplatene.
c) Rekn ut avbøyinga til elektrona når dei forlèt platene.

📝Oppgave 3.55

To proton er med avstand $r = 1.0 \times 10^{-15}$ m frå kvarandre (omtrent radiusen til ein atomkjerne).

a) Rekn ut den potensielle energien i systemet.
b) Uttrykk svaret i MeV.
c) Dersom protona startar i ro, kva fart har kvart proton når dei er svært langt frå kvarandre?

📝Oppgave 3.56

I eit CRT blir elektron akselererte gjennom $U_a = 5.0$ kV. Dei blir deretter skotne inn horisontalt mellom avbøyingsplater (lengd $L = 3.0$ cm, avstand $d = 8.0$ mm, spenning $U_d = 40$ V). Etter å ha forlate platene held elektrona fram til ein skjerm som er $D = 20$ cm frå midten av platene.

a) Rekn ut farten til elektrona inn i avbøyingsplatene.
b) Rekn ut avbøyingsvinkelen når elektrona forlèt platene.
c) Rekn ut total avbøying på skjermen (målt frå sentrum).

📝Oppgave 3.57

I eit Millikan-eksperiment blir det observert ein oljedrope med radius $r = 1.5$ μm og tettleik $\rho = 920$ kg/m³. Plateavstanden er $d = 1.5$ cm.

a) Rekn ut massen til dropen.
b) Dropen svever i ro når spenninga mellom platene er $U = 420$ V. Rekn ut ladninga på dropen.
c) Kor mange elementærladningar har dropen?
d) Dersom spenninga blir auka til $U = 500$ V, kva akselerasjon får dropen?

📝Oppgave 3.58

Ein Van de Graaff-akselerator har ein terminal med potensial $V = 5.0$ MV. Proton blir akselererte frå denne terminalen.

a) Rekn ut den kinetiske energien til protona i MeV.
b) Rekn ut farten til protona.
c) Kor stor del av lysfarten er dette?
d) Akseleratoren kan òg brukast til å akselerere $\alpha$ -partiklar (heliumkjernar) med ladning $+2e$ og masse $4m_p$ . Rekn ut kinetisk energi og fart for $\alpha$ -partiklar.

📝Oppgave 3.59

Eit elektron med kinetisk energi 50 keV nærmar seg ein atomkjerne med ladning $+Ze$ der $Z = 79$ (gull).

a) Kva er den minimale avstanden til elektronet frå kjernen dersom det rører seg rett mot han?
b) Samanlikn dette med radiusen til gullatomet ( $r_{Au} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ m) og radiusen til gullkjernen ( $r_{kjerne} \approx 7 \times 10^{-15}$ m).
c) Kvifor er dette relevant for røntgenstråling?

📝Oppgave 3.60

J.J. Thomson målte forholdet $e/m$ for elektron ved å studere avbøying i elektriske og magnetiske felt. I ein forenkla versjon blir elektron (med ukjend fart) skotne inn i eit homogent elektrisk felt $E = 20$ kV/m. Feltet har lengd $L = 5.0$ cm, og avbøyinga ved enden av feltet er $y = 1.2$ cm.

a) Utled eit uttrykk for $e/m$ ved hjelp av $E$ , $L$ og $y$ .
b) Rekn ut $e/m$ frå dei oppgitte verdiane.
c) Samanlikn med den kjende verdien $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}$ C/kg.

Oppsummering

Potensiell energi:
$E_p = qV \quad \text{og} \quad E_p = k\frac{q_1 q_2}{r}$

Energibevaring:
$\frac{1}{2}mv_1^2 + qV_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + qV_2$

Fart etter akselerasjon:
$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Elektronvolt:
$1 \text{ eV} = 1.60 \times 10^{-19} \text{ J}$

Akselerasjon i homogent felt:
$a = \frac{qE}{m}$

Avbøying i homogent felt:
$y = \frac{qEL^2}{2mv_0^2} = \frac{qUL^2}{2mdv_0^2}$

Millikan-eksperimentet:
$q = \frac{mgd}{U}$
Viser at ladning er kvantisert: $q = ne$

Bruksområde:
- Partikkelakseleratorar (LINAC, Van de Graaff, synkrotron)
- Katodestrålerøyr (CRT) - historisk viktig
- Elektronmikroskop
- Massespektrometri

Neste kapittel:
Vi skal lære om elektrisk straum og resistans.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.