3.4 Kapasitans og kondensatorer | Fysikk 2

Kondensatorer, kapasitans, lagret energi og kobling av kondensatorer.

45 min

12 oppgaver

KondensatorerKapasitansParallellplatekondesatorDielektrikumLagret energiSerie- og parallellkobling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Elektrisk potensial og spenning

Hva er en kondensator?

En kondensator er en komponent som kan lagre elektrisk ladning og energi. Den består av to ledende plater (eller overflater) som er adskilt av et isolerende materiale.

Hverdagseksempler:
- Kameraets blits – kondensatoren lagrer energi som frigjøres raskt
- Defibrillator – medisinsk utstyr som gir elektrisk støt til hjertet
- Glattekondensatorer i strømforsyninger
- Minnelagring (DRAM) i datamaskiner
- Berøringsskjermer (kapasitive)

Hvorfor er kondensatorer viktige?
- Lagrer energi for senere bruk
- Jevner ut spenningsvariasjoner
- Filtrerer frekvenser i elektronikk
- Grunnlag for mange sensorer

Prinsipp:
Når vi kobler en kondensator til et batteri, strømmer elektroner til den ene platen og bort fra den andre. Platene får motsatte ladninger +Q og -Q, og det bygges opp en spenning mellom dem.

Kapasitans

C

Kapasitans

C = \frac{Q}{U}

Omformet:

Q = CU \quad \text{og} \quad U = \frac{Q}{C}

**Tolkning:** Jo større kapasitans, desto mer ladning kan lagres ved samme spenning.

Platekondensatoren

Den enkleste kondensatoren er platekondensatoren – to parallelle, plane metallplater med areal $A$ og avstand $d$ mellom seg.

Kapasitans for platekondensator:

$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}$

der:
- $C$ er kapasitansen [F]
- $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m er permittiviteten i vakuum
- $A$ er arealet til hver plate [m²]
- $d$ er avstanden mellom platene [m]

Hva påvirker kapasitansen?
- Større areal $A$ → større kapasitans (mer plass til ladning)
- Mindre avstand $d$ → større kapasitans (sterkere elektrisk felt)

Eksempel:
To plater med areal 1.0 cm² = $1.0 \times 10^{-4}$ m² og avstand 0.1 mm = $1.0 \times 10^{-4}$ m:

$C = 8.85 \times 10^{-12} \cdot \frac{1.0 \times 10^{-4}}{1.0 \times 10^{-4}} = 8.85 \text{ pF}$

Kapasitans for platekondensator

C = \varepsilon0 \frac{A}{d} $der $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m er permittiviteten i vakuum. **Med dielektrikum:**$ C = \varepsilon0 \varepsilon_r \frac{A}{d}

der $\varepsilon_r$ er den relative permittiviteten til materialet mellom platene.

Elektrisk felt i en platekondensator

Mellom platene i en platekondensator er det elektriske feltet homogent – det har samme styrke og retning overalt (bortsett fra ved kantene).

Feltstyrke:

$E = \frac{U}{d}$

der:
- $E$ er feltstyrken [V/m = N/C]
- $U$ er spenningen over kondensatoren [V]
- $d$ er avstanden mellom platene [m]

Feltretning:
- Feltet peker fra positiv plate (+Q) til negativ plate (-Q)
- Feltlinjene er parallelle og jevnt fordelt

Sammenheng med ladning:
Fra $C = \varepsilon_0 A/d$ og $C = Q/U$ får vi:

$E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{Cd} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}$

Eller:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

der $\sigma = Q/A$ er overflateladningstettheten på platene.

Praktisk betydning:
- Sterkere felt → mer kraft på ladninger
- For sterk felt → "gjennomslag" (gnister)
- Luft: gjennomslag ved ca. $3 \times 10^6$ V/m

Elektrisk felt i platekondensator

E = \frac{U}{d}

Alternativt uttrykt ved ladning:

E = \frac{\sigma}{\varepsilon0} = \frac{Q}{\varepsilon0 A}

der $\sigma = Q/A$ er overflateladningstettheten [C/m²].

Dielektrikum

Et dielektrikum er et isolerende materiale som plasseres mellom platene i en kondensator. Dette kan være luft, papir, plast, glass, keramikk, eller andre isolatorer.

Hva skjer med dielektrikum?

Når vi setter inn et dielektrikum:
1. Molekylene i materialet polariseres – de får en liten elektrisk dipol
2. Dipolene ordner seg slik at de delvis motvirker det ytre feltet
3. Feltet inne i materialet blir svakere
4. Kapasitansen øker!

Relativ permittivitet (dielektrisk konstant):

$\varepsilon_r = \frac{C_{med}}{C_{uten}}$

Kapasitans med dielektrikum:
$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$

Typiske verdier for $\varepsilon_r$ :

Materiale	$\varepsilon_r$
Vakuum	1.0000
Luft	1.0006
Papir	2-4
Glass	4-10
Keramikk	10-10000
Vann	80

Fordeler med dielektrikum:
- Øker kapasitansen uten å øke størrelsen
- Isolerer platene fra hverandre
- Øker gjennomslaget (tåler høyere spenning)

Relativ permittivitet

\varepsilon_r

Energi lagret i en kondensator

Når vi lader opp en kondensator, lagres det energi i det elektriske feltet mellom platene.

Utledning:
Arbeidet som trengs for å flytte en liten ladning $dq$ fra den ene platen til den andre når spenningen er $U$ :

$dW = U \, dq = \frac{q}{C} \, dq$

Totalt arbeid (fra $q=0$ til $q=Q$ ):
$W = \int_0^Q \frac{q}{C} \, dq = \frac{1}{C} \cdot \frac{Q^2}{2} = \frac{Q^2}{2C}$

Tre ekvivalente uttrykk for energi:

$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C}$

Velg formelen basert på hvilke størrelser du kjenner!

Eksempel:
En kondensator på 100 μF lades til 12 V:
$E = \frac{1}{2} \cdot 100 \times 10^{-6} \cdot 12^2 = 7.2 \times 10^{-3} \text{ J} = 7.2 \text{ mJ}$

Energitetthet:
Energien per volum i feltet:
$u = \frac{E}{Ad} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

der $E$ er feltstyrken.

Energi lagret i kondensator

E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C}

der: - $E$ er energien [J] - $C$ er kapasitansen [F] - $U$ er spenningen [V] - $Q$ er ladningen [C] **Energitetthet:**

u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2

der $E$ er feltstyrken i kondensatoren.

Kondensatorer i serie og parallell

Akkurat som motstander, kan kondensatorer kobles i serie eller parallell.

Parallellkobling

Ved parallellkobling er spenningen lik over alle kondensatorene.

Ekvivalent kapasitans:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + \cdots$

Parallellkoblet kapasitans adderes – motsatt av motstander!

Hvorfor? Samme spenning gir ladninger $Q_1 = C_1 U$ , $Q_2 = C_2 U$ , osv.
Total ladning: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 + \cdots = (C_1 + C_2 + \cdots)U$

Seriekobling

Ved seriekobling er ladningen lik på alle kondensatorene.

Ekvivalent kapasitans:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \cdots$

For to kondensatorer:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$

Seriekoblet kapasitans er mindre enn den minste enkeltkapasitansen.

Hvorfor? Samme ladning $Q$ gir spenninger $U_1 = Q/C_1$ , $U_2 = Q/C_2$ , osv.
Total spenning: $U_{total} = U_1 + U_2 + \cdots$

Sammenligning

Serie	Parallell
Ladning	Lik	Fordelt
Spenning	Fordelt	Lik
Kapasitans	Minker	Øker

Kondensatorer i serie og parallell

**Parallellkobling:**

C{eq} = C1 + C2 + C3 + \cdots

**Seriekobling:**

\frac{1}{C{eq}} = \frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} + \frac{1}{C3} + \cdots

For to kondensatorer i serie:

C{eq} = \frac{C1 \cdot C2}{C1 + C_2}

✏️Beregne kapasitans og ladning

Oppgave:
En kondensator har kapasitans 47 μF og er koblet til en 9 V kilde. Beregn ladningen som lagres.

Løsning:
Gitt: $C = 47$ μF $= 47 \times 10^{-6}$ F, $U = 9$ V

Fra $C = Q/U$ får vi:
$Q = CU = 47 \times 10^{-6} \cdot 9 = 4.23 \times 10^{-4} \text{ C} = 423 \text{ μC}$

Svar: Ladningen er 423 μC eller 0.42 mC.

✏️Platekondensator med dielektrikum

Oppgave:
En platekondensator har plater med areal 20 cm² og avstand 0.5 mm. Mellom platene er det glass med

\varepsilon_r = 5

. Beregn kapasitansen.

Løsning:
Gitt:
- $A = 20$ cm² $= 20 \times 10^{-4}$ m² $= 2.0 \times 10^{-3}$ m²
- $d = 0.5$ mm $= 0.5 \times 10^{-3}$ m $= 5 \times 10^{-4}$ m
- $\varepsilon_r = 5$
- $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m

Kapasitans med dielektrikum:
$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$
$C = 8.85 \times 10^{-12} \cdot 5 \cdot \frac{2.0 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4}}$
$C = 8.85 \times 10^{-12} \cdot 5 \cdot 4 = 1.77 \times 10^{-10} \text{ F}$

Svar: Kapasitansen er 177 pF (eller 0.177 nF).

✏️Energi i kondensator

Oppgave:
En defibrillator bruker en kondensator på 32 μF ladet til 5000 V. Hvor mye energi frigjøres ved utladning?

Løsning:
Gitt: $C = 32$ μF $= 32 \times 10^{-6}$ F, $U = 5000$ V

Energi lagret:
$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \times 10^{-6} \cdot 5000^2$
$E = \frac{1}{2} \cdot 32 \times 10^{-6} \cdot 25 \times 10^6 = 400 \text{ J}$

Svar: 400 J energi frigjøres.

Perspektiv: Dette er nok energi til å løfte en 4 kg gjenstand 10 meter opp ( $E_p = mgh = 4 \cdot 10 \cdot 10 = 400$ J).

📝Oppgave 3.37

Hva skjer med kapasitansen til en platekondensator hvis avstanden mellom platene halveres?

📝Oppgave 3.38

En kondensator på 100 μF er ladet til 10 V. Hvor mye energi er lagret?

📝Oppgave 3.39

Hva er det elektriske feltet i en platekondensator med spenning 12 V og plateavstand 2.0 mm?

📝Oppgave 3.40

En platekondensator har sirkulære plater med diameter 8.0 cm og avstand 1.0 mm mellom platene. Det er luft mellom platene ( $\varepsilon_r \approx 1$ ).

a) Beregn kapasitansen.
b) Kondensatoren kobles til et 9.0 V batteri. Hvor stor ladning lagres på hver plate?
c) Hva er feltstyrken mellom platene?

📝Oppgave 3.41

En kondensator på 220 μF er ladet opp til 25 V.

a) Beregn ladningen som er lagret.
b) Beregn energien som er lagret.
c) Kondensatoren lades ut gjennom en motstand og frigjør all energien som varme på 0.50 s. Hva er gjennomsnittlig effekt?

📝Oppgave 3.42

En platekondensator med luft mellom platene har kapasitans 50 pF. Mellomrommet fylles med et dielektrikum (isolerende materiale), og kapasitansen måles til 175 pF.

a) Bestem den relative permittiviteten $\varepsilon_r$ til dielektrikumet.
b) Hva slags materiale kan dette være? (Se tabellen i teoridelen)

📝Oppgave 3.43

I en platekondensator er det et homogent elektrisk felt på 50 kV/m. Avstanden mellom platene er 2.0 mm.

a) Beregn spenningen over kondensatoren.
b) Hvis platene har areal 100 cm², hva er kapasitansen? (Luft mellom platene)
c) Beregn ladningen på hver plate.

📝Oppgave 3.44

To kondensatorer med kapasitans $C_1 = 10$ μF og $C_2 = 20$ μF kobles sammen.

a) Beregn den ekvivalente kapasitansen når de kobles i parallell.
b) Beregn den ekvivalente kapasitansen når de kobles i serie.
c) Parallellkoblingen i (a) kobles til et 12 V batteri. Hvor mye energi lagres totalt?

📝Oppgave 3.45

Tre kondensatorer med kapasitans 2.0 μF, 3.0 μF og 6.0 μF er koblet i serie og tilkoblet en 24 V kilde.

a) Beregn den ekvivalente kapasitansen.
b) Beregn ladningen på hver kondensator.
c) Beregn spenningen over hver kondensator.
d) Verifiser at summen av spenningene er 24 V.

📝Oppgave 3.46

En platekondensator har plater med areal 50 cm² og avstand 0.50 mm. Mellom platene er det luft. Kondensatoren lades til 500 V.

a) Beregn kapasitansen.
b) Beregn feltstyrken mellom platene.
c) Beregn energitettheten (energi per volum) i feltet.
d) Beregn total energi lagret ved å bruke energitettheten og volumet.
e) Verifiser svaret i (d) med formelen $\displaystyle E = \frac{1}{2}CU^2$ .

📝Oppgave 3.47

I kretsen under er $C_1 = 4.0$ μF, $C_2 = 6.0$ μF, og $C_3 = 12$ μF. $C_1$ og $C_2$ er koblet i parallell, og denne kombinasjonen er koblet i serie med $C_3$ . Spenningen over kretsen er 18 V.

a) Beregn den totale ekvivalente kapasitansen.
b) Beregn ladningen på $C_3$ .
c) Beregn spenningen over $C_3$ .
d) Beregn spenningen over $C_1$ og $C_2$ .
e) Beregn ladningen på $C_1$ og $C_2$ hver for seg.

📝Oppgave 3.48

En platekondensator med luft mellom platene har kapasitans 100 pF og er ladet til 200 V. Kondensatoren er ikke koblet til batteriet.

a) Beregn ladningen og energien som er lagret.

Nå settes det inn et dielektrikum med $\varepsilon_r = 4$ mellom platene.

b) Hva skjer med ladningen?
c) Beregn den nye kapasitansen.
d) Beregn den nye spenningen over kondensatoren.
e) Beregn den nye energien. Hvor ble det av energien som mangles?

Oppsummering

Kondensator:
- Lagrer elektrisk ladning og energi
- To ledende plater adskilt av isolator

Kapasitans:
$C = \frac{Q}{U}$
- Enhet: Farad (F) – typisk μF, nF, pF
- Mål på hvor mye ladning kondensatoren kan lagre per volt

Platekondensator:
$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \quad \text{eller} \quad C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$
- $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m

Elektrisk felt i kondensator:
$E = \frac{U}{d}$
- Homogent felt mellom platene

Dielektrikum:
- Isolerende materiale mellom platene
- Øker kapasitansen med faktor $\varepsilon_r$
- $\varepsilon_r$ = relativ permittivitet

Energi i kondensator:
$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C}$

Energitetthet:
$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

Serie og parallell:

Serie	Parallell
Kapasitans	$\displaystyle \frac{1}{C} = \sum\frac{1}{C_i}$	$C = \sum C_i$
Ladning	Lik	Fordelt
Spenning	Fordelt	Lik

Neste kapittel:
Vi skal lære om elektrisk strøm og motstand.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.