3.5 Ladede partikler i elektriske felt | Fysikk 2

Bevegelse av ladede partikler i elektriske felt, akselerasjon og avbøyning.

50 min

14 oppgaver

Kraft på ladede partiklerAkselerasjon i homogene feltAvbøyningKatodestrålerørElektronkanoner

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Elektrisk felt 1.2Bevegelse i to dimensjoner

Brukes videre i

4.5Lorentzkraften

Elektrisk energi og ladede partikler

I de forrige kapitlene har vi lært om elektrisk felt, potensial og kondensatorer. Nå skal vi bruke denne kunnskapen til å studere hvordan ladede partikler beveger seg i elektriske felt.

Dette er et svært viktig tema med mange praktiske anvendelser:
- Partikkelakseleratorer ved CERN og andre laboratorier
- Katodestrålerør (CRT) i gamle TV-er og oscilloskop
- Elektronmikroskoper for nanoteknologi
- Massespektrometri for kjemisk analyse

Vi starter med å forstå energi i elektriske felt, og ser deretter på hvordan partikler akselereres og avbøyes.

Potensiell energi i elektrisk felt

Fra potensial til potensiell energi

Vi vet at elektrisk potensial $V$ er potensiell energi per ladning:
$V = \frac{E_p}{q}$

Dette gir oss den potensielle energien for en ladning $q$ i et punkt med potensial $V$ :

Potensiell energi i elektrisk felt

E_p = qV

Der: - $E_p$ er potensiell energi (J) - $q$ er ladningen (C) - $V$ er det elektriske potensialet (V) **Merk:** Fortegn er viktig! - Positiv ladning: $E_p > 0$ ved høyt potensial - Negativ ladning: $E_p < 0$ ved høyt potensial (elektronet vil bevege seg mot høyere potensial)

Potensiell energi mellom to punktladninger

For to punktladninger $q_1$ og $q_2$ med avstand $r$ mellom seg, er den potensielle energien:

Potensiell energi mellom punktladninger

Ep = k\frac{q1 q_2}{r}

Der: - $k = 8.99 \times 10^9$ N·m²/C² (Coulombs konstant) - $q_1, q_2$ er ladningene (C) - $r$ er avstanden mellom ladningene (m) **Fortegn:** - Samme fortegn (frastøtning): $E_p > 0$ - Motsatt fortegn (tiltrekning): $E_p < 0$ **Referanse:** $E_p = 0$ når $r \to \infty

✏️Potensiell energi for et elektron

Oppgave: Et elektron befinner seg i et punkt der potensialet er

V = 100

V. Beregn elektronets potensielle energi.

Løsning:

Elektronets ladning: $q = -e = -1.60 \times 10^{-19}$ C

$E_p = qV = (-1.60 \times 10^{-19}) \cdot 100 = -1.60 \times 10^{-17} \text{ J}$

I elektronvolt (eV):
$E_p = -100 \text{ eV}$

Tolkning: Den negative verdien betyr at elektronet har lavere energi ved høyt potensial. Elektronet vil naturlig bevege seg mot høyere potensial (mot positiv plate).

Energibevaring for ladede partikler

Når en ladet partikkel beveger seg i et elektrisk felt uten andre krefter, er mekanisk energi bevart:

Energibevaring

Ek + Ep = \text{konstant}

Eller mellom to punkter 1 og 2:

\frac{1}{2}mv1^2 + qV1 = \frac{1}{2}mv2^2 + qV2

**Endring i kinetisk energi:**

\Delta Ek = -\Delta Ep = q(V1 - V2) = qU

Der $U = V_1 - V_2$ er potensialforskjellen (spenningen) partikkelen beveger seg gjennom.

Elektronvolt (eV)

1 \text{ eV} = 1.60 \times 10^{-19} \text{ J}

Akselerasjon av ladede partikler

I en potensialforskjell

Når en partikkel med ladning $q$ og masse $m$ starter i ro og akselereres gjennom en potensialforskjell $U$ , kan vi finne sluttfarten fra energibevaring:

$qU = \frac{1}{2}mv^2$

Hastighet etter akselerasjon

v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}

Der: - $v$ er sluttfarten (m/s) - $q$ er ladningen (C) - bruk absoluttverdien - $U$ er potensialforskjellen (V) - $m$ er massen (kg) **For elektroner:**

ve = \sqrt{\frac{2eU}{me}} \approx 5.93 \times 10^5 \sqrt{U} \text{ m/s}

**For protoner:**

vp = \sqrt{\frac{2eU}{mp}} \approx 1.38 \times 10^4 \sqrt{U} \text{ m/s}

✏️Elektron akselerert i spenning

Oppgave: Et elektron starter i ro og akselereres gjennom en potensialforskjell på 500 V. Beregn:
a) Kinetisk energi i eV og joule
b) Sluttfarten

Løsning:

a) Kinetisk energi:
Fra energibevaring: $E_k = eU$
$E_k = 500 \text{ eV} = 500 \cdot 1.60 \times 10^{-19} = 8.0 \times 10^{-17} \text{ J}$

b) Sluttfart:
$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8.0 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{1.76 \times 10^{14}} = 1.33 \times 10^7 \text{ m/s}$

Dette er ca. 4.4% av lyshastigheten!

Akselerasjon i homogent elektrisk felt

I et homogent elektrisk felt (f.eks. mellom kondensatorplater) virker en konstant kraft på en ladet partikkel:

$F = qE$

Med Newtons 2. lov får vi akselerasjonen:

Akselerasjon i homogent felt

a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}

For en platekondensator med spenning $U$ og plateavstand $d$:

a = \frac{qU}{md}

**Retning:** - Positiv ladning: akselererer i feltretningen - Negativ ladning: akselererer mot feltretningen

Partikkelakseleratorer

Partikkelakseleratorer bruker elektriske felt til å gi ladede partikler svært høye energier. De brukes i grunnforskning, medisin og industri.

Lineære akseleratorer (LINAC)

En lineær akselerator består av en rekke metallrør koblet til en vekselstrømkilde. Partiklene akselereres i gapene mellom rørene.

Prinsipp:
1. Partikkelen trekkes inn i første rør av et elektrisk felt
2. Mens partikkelen er inne i røret, skifter feltet polaritet
3. Når partikkelen kommer ut, blir den igjen akselerert mot neste rør
4. Rørene blir lengre for å kompensere for økende hastighet

Anvendelser:
- Injektorer for større akseleratorer
- Medisinsk strålebehandling
- Materialforskning

Van de Graaff-generator

Van de Graaff-generatoren er en elektrostatisk akselerator som bruker en kontinuerlig oppladning av en metallkule.

Prinsipp:
1. Et transportbånd fører ladning til en metallkule
2. Kulen oppnår svært høyt potensial (flere MV)
3. Partikler akselereres fra kulen (eller mot den)

Fordeler:
- Stabil stråleenergi
- Kan brukes for både akselerasjon og retardasjon

Begrensning:
- Maksimalt ca. 10-20 MeV pga. elektrisk gjennomslag

Bevegelse i elektrisk felt

Partikkel skutt inn vinkelrett på feltet

Når en ladet partikkel skytes inn i et homogent elektrisk felt vinkelrett på feltlinjene, får vi en parabolsk bane - akkurat som kastebevegelse i tyngdefeltet!

Sammenligning:

Kast i tyngdefelt	Ladet partikkel i E-felt
$F = mg$	$F = qE$
$a = g$	$a = qE/m$
Nedover	I feltretningen (positiv) eller mot (negativ)

Avbøyning i homogent felt

For en partikkel som skytes inn med hastighet $v_0$ vinkelrett på et felt med lengde $L$: **Tid i feltet:**

t = \frac{L}{v0} $**Avbøyning i feltet:**$ y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{qEL^2}{2mv0^2}

**Avbøyningsvinkel:**

\tan\theta = \frac{vy}{vx} = \frac{at}{v0} = \frac{qEL}{mv0^2}

Spenning $U$ og plateavstand $d$ gir $E = U/d$:

y = \frac{qUL^2}{2mdv_0^2}

✏️Elektron i kondensator

Oppgave: Et elektron skytes inn horisontalt med hastighet

v_0 = 2.0 \times 10^7

m/s mellom to kondensatorplater. Platene har lengde

L = 5.0

cm, avstand

d = 1.0

cm, og spenning

U = 200

Beregn:
a) Det elektriske feltet mellom platene
b) Akselerasjonen til elektronet
c) Tiden elektronet bruker i feltet
d) Vertikal avbøyning når elektronet forlater feltet
e) Avbøyningsvinkelen

Løsning:

a) Elektrisk felt:
$E = \frac{U}{d} = \frac{200}{0.010} = 20\,000 \text{ V/m} = 20 \text{ kV/m}$

b) Akselerasjon:
$a = \frac{eE}{m_e} = \frac{1.60 \times 10^{-19} \cdot 20\,000}{9.11 \times 10^{-31}} = 3.5 \times 10^{15} \text{ m/s}^2$

(Enorm akselerasjon! Ca. $3.6 \times 10^{14}$ g)

c) Tid i feltet:
$t = \frac{L}{v_0} = \frac{0.050}{2.0 \times 10^7} = 2.5 \times 10^{-9} \text{ s} = 2.5 \text{ ns}$

d) Vertikal avbøyning:
$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.5 \times 10^{15} \cdot (2.5 \times 10^{-9})^2 = 0.011 \text{ m} = 1.1 \text{ cm}$

e) Avbøyningsvinkel:
$v_y = at = 3.5 \times 10^{15} \cdot 2.5 \times 10^{-9} = 8.75 \times 10^6 \text{ m/s}$
$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{8.75 \times 10^6}{2.0 \times 10^7} = 0.44$
$\theta = \arctan(0.44) = 24°$

Katodestrålerør (CRT)

Katodestrålerøret (Cathode Ray Tube) var grunnlaget for TV-er og dataskjermer i mange tiår før flatskjermer tok over. Det er også historisk viktig fordi det førte til oppdagelsen av elektronet.

Oppbygging

Et CRT består av:
1. Katode - oppvarmet metalltråd som sender ut elektroner (termisk emisjon)
2. Akselerasjonselektroder - gir elektronene høy hastighet
3. Avbøyningsplater - styrer elektronstrålens retning
4. Fosforskjerm - lyser opp der elektronene treffer

Prinsipp

1. Elektroner frigjøres fra katoden ved oppvarming
2. Elektronene akselereres av høy spenning (typisk 10-30 kV)
3. Strålen avbøyes horisontalt og vertikalt av elektriske felt
4. Elektronene treffer fosforskjermen og skaper lys

Historisk betydning

J.J. Thomson brukte katodestråler i 1897 til å:
- Bevise at katodestråler består av negativt ladede partikler
- Måle forholdet $e/m$ for elektronet
- Oppdage elektronet

Dette var første bevis på at atomer inneholder mindre partikler!

Millikan-eksperimentet

Robert Millikan utførte i 1909-1913 et berømt eksperiment som bestemte elementærladningen $e$ med stor nøyaktighet.

Eksperimentets oppbygging

1. Små oljedråper sprøytes inn mellom to kondensatorplater
2. Dråpene lades opp ved friksjon eller ioniserende stråling
3. Et elektrisk felt kan justeres for å balansere tyngdekraften
4. Dråpenes bevegelse observeres gjennom et mikroskop

Kraftbalanse

Når dråpen svever i ro, er kreftene i likevekt:

Elektrisk kraft oppover:
$F_E = qE = q\frac{U}{d}$

Tyngdekraft nedover:
$F_G = mg$

Likevekt:
$q\frac{U}{d} = mg$

Millikans beregning

Ladningen på dråpen:

q = \frac{mgd}{U}

Massen kan finnes fra dråpens fallhastighet (uten felt) ved å bruke Stokes' lov:

m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho

**Millikans resultat:** Alle målte ladninger var heltallsmultipler av en minste ladning:

e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}

Dette beviste at elektrisk ladning er **kvantisert** - den kommer i diskrete "pakker".

✏️Millikan-beregning

Oppgave: I et Millikan-eksperiment svever en oljedråpe med masse

m = 4.9 \times 10^{-15}

kg i ro mellom plater med avstand

d = 1.0

cm når spenningen er

U = 300

V. Dråpen er negativt ladet.

a) Beregn ladningen på dråpen
b) Hvor mange elementærladninger har dråpen?

Løsning:

a) Ladningen:
Kraftbalanse: $qE = mg$
$q = \frac{mgd}{U} = \frac{4.9 \times 10^{-15} \cdot 9.81 \cdot 0.010}{300}$
$q = 1.60 \times 10^{-18} \text{ C}$

b) Antall elementærladninger:
$n = \frac{q}{e} = \frac{1.60 \times 10^{-18}}{1.60 \times 10^{-19}} = 10$

Dråpen har 10 overflødige elektroner.

📝Oppgave 3.49

Et elektron akselereres fra ro gjennom en potensialforskjell på 1000 V. Hva er kinetisk energi til elektronet etter akselerasjonen?

📝Oppgave 3.50

Et proton og et elektron akselereres begge fra ro gjennom samme potensialforskjell. Hvilken påstand er riktig?

📝Oppgave 3.51

I et katodestrålerør (CRT) akselereres elektroner av et elektrisk felt. Hva skjer med elektronets bane når det passerer mellom avbøyningsplater med horisontalt felt?

📝Oppgave 3.52

Et proton ( $m_p = 1.67 \times 10^{-27}$ kg) akselereres fra ro gjennom en potensialforskjell på 10 kV.

a) Beregn kinetisk energi i joule og keV.
b) Beregn protonets sluttfart.
c) Hvor stor må potensialforskjellen være for at protonet skal oppnå 1% av lyshastigheten?

📝Oppgave 3.53

Et elektron har hastighet $v_1 = 1.0 \times 10^6$ m/s i et punkt der potensialet er $V_1 = 0$ V. Elektronet beveger seg mot et område med potensial $V_2 = -50$ V.

a) Beregn elektronets kinetiske energi i punkt 1.
b) Beregn elektronets hastighet i punkt 2.
c) Hva er det høyeste potensialet elektronet kan nå?

📝Oppgave 3.54

I et CRT akselereres elektroner fra ro gjennom en spenning $U_a = 2000$ V. De passerer deretter mellom to avbøyningsplater med lengde $L = 4.0$ cm, avstand $d = 1.0$ cm og spenning $U_d = 100$ V.

a) Beregn elektronenes hastighet etter akselerasjonen.
b) Beregn det elektriske feltet mellom avbøyningsplatene.
c) Beregn elektronenes avbøyning når de forlater platene.

📝Oppgave 3.55

To protoner befinner seg med avstand $r = 1.0 \times 10^{-15}$ m fra hverandre (omtrent radiusen til en atomkjerne).

a) Beregn den potensielle energien i systemet.
b) Uttrykk svaret i MeV.
c) Hvis protonene starter i ro, hvilken fart har hvert proton når de er svært langt fra hverandre?

📝Oppgave 3.56

I et CRT akselereres elektroner gjennom $U_a = 5.0$ kV. De skytes deretter inn horisontalt mellom avbøyningsplater (lengde $L = 3.0$ cm, avstand $d = 8.0$ mm, spenning $U_d = 40$ V). Etter å ha forlatt platene fortsetter elektronene til en skjerm som er $D = 20$ cm fra midten av platene.

a) Beregn elektronenes hastighet inn i avbøyningsplatene.
b) Beregn avbøyningsvinkelen når elektronene forlater platene.
c) Beregn total avbøyning på skjermen (målt fra sentrum).

📝Oppgave 3.57

I et Millikan-eksperiment observeres en oljedråpe med radius $r = 1.5$ μm og tetthet $\rho = 920$ kg/m³. Plateavstanden er $d = 1.5$ cm.

a) Beregn dråpens masse.
b) Dråpen svever i ro når spenningen mellom platene er $U = 420$ V. Beregn ladningen på dråpen.
c) Hvor mange elementærladninger har dråpen?
d) Hvis spenningen økes til $U = 500$ V, hvilken akselerasjon får dråpen?

📝Oppgave 3.58

En Van de Graaff-akselerator har en terminal med potensial $V = 5.0$ MV. Protoner akselereres fra denne terminalen.

a) Beregn kinetisk energi til protonene i MeV.
b) Beregn protonenes hastighet.
c) Hvilken andel av lyshastigheten er dette?
d) Akseleratoren kan også brukes til å akselerere $\alpha$ -partikler (heliumkjerner) med ladning $+2e$ og masse $4m_p$ . Beregn kinetisk energi og hastighet for $\alpha$ -partikler.

📝Oppgave 3.59

Et elektron med kinetisk energi 50 keV nærmer seg en atomkjerne med ladning $+Ze$ der $Z = 79$ (gull).

a) Hva er elektronets minimale avstand til kjernen hvis det beveger seg rett mot den?
b) Sammenlign dette med gullatomets radius ( $r_{Au} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ m) og gullkjernens radius ( $r_{kjerne} \approx 7 \times 10^{-15}$ m).
c) Hvorfor er dette relevant for røntgenstråling?

📝Oppgave 3.60

J.J. Thomson målte forholdet $e/m$ for elektroner ved å studere avbøyning i elektriske og magnetiske felt. I en forenklet versjon skytes elektroner (med ukjent hastighet) inn i et homogent elektrisk felt $E = 20$ kV/m. Feltet har lengde $L = 5.0$ cm, og avbøyningen ved enden av feltet er $y = 1.2$ cm.

a) Utled et uttrykk for $e/m$ ved hjelp av $E$ , $L$ og $y$ .
b) Beregn $e/m$ fra de oppgitte verdiene.
c) Sammenlign med den kjente verdien $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}$ C/kg.

Oppsummering

Potensiell energi:
$E_p = qV \quad \text{og} \quad E_p = k\frac{q_1 q_2}{r}$

Energibevaring:
$\frac{1}{2}mv_1^2 + qV_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + qV_2$

Hastighet etter akselerasjon:
$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Elektronvolt:
$1 \text{ eV} = 1.60 \times 10^{-19} \text{ J}$

Akselerasjon i homogent felt:
$a = \frac{qE}{m}$

Avbøyning i homogent felt:
$y = \frac{qEL^2}{2mv_0^2} = \frac{qUL^2}{2mdv_0^2}$

Millikan-eksperimentet:
$q = \frac{mgd}{U}$
Viser at ladning er kvantisert: $q = ne$

Anvendelser:
- Partikkelakseleratorer (LINAC, Van de Graaff, synkrotron)
- Katodestrålerør (CRT) - historisk viktig
- Elektronmikroskoper
- Massespektrometri

Neste kapittel:
Vi skal lære om elektrisk strøm og resistans.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.